2025-2026学年北师大版高一数学上学期必刷常考题之不等式

2025-2026学年上学期高一数学北师大版期中必刷常考题之不等式

一.选择题（共5小题）

I.（2025春•金安区校级月考）已知破。则a+黑的最小值为（）

Q+4

A.4B.5C.6D.7

2.（2025•镇江开学）已知x>0,y>0,且2x+y=2xy,则x+.y的最小值为（）

35l3

A.-B.-C.2\/2D.-+<r2

422

3.（2025秋•丰顺县校级月考）已知〃>0,》>0,且岫-28+1=0,则工+9b的最小值是（）

a

A.4B.6C.7D.8

4.（2025秋•丰顺县校级月考）已知正实数x,y满足盯+x+2y=4,则％+2），的最小值是（）

A.4V3-4B.4C.2V3-2D.2V3

5.（2025秋•广西月考）关于基本不等式，下列选项正确的有（）

函数f（x）=J*

A.的最小值为2

+4

B.若x>（）,贝k+［最小值为2

C.若xV-1,则x+喜的最大值为・1

人IJL

D.），=x（4-3x）取得最大值为2

二.多选题（共3小题）

（多选）6.（2025•扬州开学）下列说法正确的是（）

A.若a<b,c<0,则一

ab

B.若a<b,c<0,则ac>0c

C.若;■V万，则aVb

c2c2

r/+cb

D.若a>b>0,c>0,则--->—

a+ca

（多选）7.（2025秋•昌吉市校级月考）下列说法中正确的有（

A.不等式a+b>恒成立

B.存在实数a,使得不等式Q+：W2成立

ab

C.若a>0,b>0,则1+—22

ba

D.若x>0,y>0Kx+y=2,则工+工N2

%y

（多选）8.（2024秋•贵州校级期末）若实数x,y满足（x+y）2='+3xy,贝U（）

A.xy<-^B.xy>\C.|x4-y|<V3D.|x+y|>2

三.填空题（共4小题）

9.12025•六合区校级开学）（1）已知实数"满足.d+V+duZ,则冷空，z+xz的取值范围是一

x18

（2）已知x>2），>0,-+-+——=10,求x的最大值是

“2yx-2y---------

10.（2025秋•朝阳区校级月考）若出（0,1）,则，（17）的最大值为

1a

II.（2025•杨浦区校级开学）已知。力>0,a+b=\,则一+工的取值范围为.

ab

12.（2025•杨浦区校级开学）若直角三角形斜边长等于4企c）〃，则直角三角形面积的最大值为

四.解答题（共3小题）

13.（2025秋•陕西月考）已知。>0,b>0,且2a+3b=3.

（1）求ab的最大值；

（2）求a-的最大值；

6b

23

（3）求一+7—的最小值.

a匕+1

14.（2024秋•吐鲁番市期末）（1）已知41,求x+工的最小值.

X—1

（2）求Jx（10-x）的最大值.

（3）已知正数x,y满足x+3）=l,求2+2的最小值.

%y

15.（2024秋•南昌县校级期末）上知关于x的不等式/・妙・3Vo的解集为

（1）求m,n的值.

（2）若正实数a,5满足“oh汕=1,求工+二;的最小值.

a2b

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期中必刷常考题之不等

式

参考答案与试题解析

一,选择题（共5小题）

题号12345

答案ADDAB

二,多选题（共3小题）

题号678

答案BCDBCDAC

一.选择题（共5小题）

1.（2025春•金安区校级月考）已知则a+提的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】原式可变为［（Q+4）+苛］—4,利用基本不等式求解.

【解答】解：当“X）时，由Q+=［（a+4）+-422J（a+4）X—4=4,

IXII,VVI1\vVI■

当且仅当Q+4==&时取等号，即。=0时取等号.

Q十4

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题，

2.（2025•镇江开学）已知%>0,），>0,且2x+y="y,则x+y的最小值为（）

35l3

A.-B.-C.2\［2D.-+7r2

422

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用：运算求解.

【答案】D

【解答】解：由冲+x+2)，=4,3，>0,可得戊=箝="第产=备一2,

所以％+2丫=*-2+2丫=券+28+1)—4工2/*'2。+1)—4=4百一4,

当且仅当一^=2(y+1),即尸-1时，等号成立，此时x+2y取得最小值46-4.

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题，

5.(2025秋•广西月考)关于基本不等式，下列选项正确的有()

A.函数/'(%)=子咨的最小值为2

、/+4

B.若x>0,则%+［最小值为2

C.若彳<-1,则不+击的最大值为-1

D.)，=x(4-3x)取得最大值为2

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】B

【分析】由基本不等式即对勾函数的性质，逐一判断所给命题的真假.

【解答】解：人中，函数fJ)=子注=华"1=回战:+十二，

J/+4J/+4按+4

令=+4N2,所以g(t)=汁4在［2,4-00)单调递增，所以g(7)min=g(2)=2+1=楙，

BPf(x)的最小值为小所以A不正确；

3中，因为x>0,所以x+?N2、］m=2,当且仅当x=：,即x=l时取等号，所以的最小值为2,

所以B正确；

。中，因为XV-1,所以戈+1V0,所以-(x+l)>0,所以-("1)+曷F"卜无+1.-(3=2,

当且仅当-(A-+1)=z(7+T):即x=-2时取等号，

所以(x+1)+-^-<-2,所以4=x+l++工-2・11=-3,

人IJLIJL-IJLT

即X+击的最大值为-3,所以。不正确；

人IX

D中,y=x(4-3x)=-3』+4x,开口向下,对称轴为x=所以x=.时,ymax=-3(1)2+4x.=*

所以。不正确.

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式的性质的应用及二次函数的性质的应用，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)6.(2025♦扬州开学)下列说法正确的是(〉

A.若a<b,c<(),则£>£

ab

B.若a<b,c<(),则ac>力c

ab

C.若于V-7,则。<力

b+cb

D.若a>b>0,c>0,则一>-

a+ca

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】BCD

【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断8c的正误，利用作差法结合不等式的性

质可判断。的正误.

【解答】解：对于A：取。=1,b=2,c=-1,A显然错误.

选项3：因为aV/b而cVO,故ac>力c,故3正确.

选项C：由3V刍，可得c'o,

"c2

则不等式两边均乘以可得aVO,故C正确.

、年m八"Cba(b+c)-”Q+c)c(a-b)

选项D：-----=---------------=------

a+caa(a+c)a(a+c)

又〃>力>0,c>0,则>0,a+c>0,

则平V>o,则处£>匕故。止确.

a(a+c)a+ca

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

(多选)7.(2025秋•昌吉市校级月考)下列说法中正确的有()

A.不等式Q+bZ2而恒成立

B.存在实数小使得不等式Q+：W2成立

ab

C.若a>0,b>0,则一+—>2

ba

11

D.若x>0,)>()且x+y=2,则［+1之2

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式”••正二定三相等“判断A8C的正误，用力”的代换判断。的正误.

【解答】解：不等式。+622房只有在〃，力都为非负数的时候才恒成立，故A错误；

当〃=・1时，a+^=-2,故8正确：

若a,be(0,+co),

则由基本不等式得2+7^2-x^=2,

ab7ab

当且仅当一=71即a=〃时，等号成立，故C正确;

ab

因为x>0,y>0,且x+y=2,

xv

所以一+乙=1,

22

”「1111xy

所叫+lq+pq+5)=

vXXV

当且仅当/二r且：+3=1时取等号，即x=y=l时取等号，故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

3

-

(多选)8.(2024秋•贵州校级期末)若实数长)，满足(x+y)24

3一

A.xyB.xy>lC.\x+y\<V3D.|x+y|>2

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据常见不等式，结合题目中的等量关系，整理不等式，逐项检验，可得答案.

【解答】解：因为(％+/2=:+3盯24孙，所以刈工率所以A正确，8错误；

o33x+y23X+V2

<-+O

因为(％+y)?=4+3xy,又1+3%yW[+3(—^―),所以[X+y)2-43(2

所以(x+y)2<3,所以氏+训工6，所以C正确，。错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

三,填空题(共4小题)

9.(2025•六合区校级升学)(1)已知实数小户z满足了十)2乜2=2,则“十尸十位的取值范围是

2］_.

%18

(2)己知x>2)>0,-+—+----=10,求x的最大值是18.

-2yx-2y------

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】⑴［7,2］；

(2)18.

%2+丫2V2+Z2/+z2

【分析】(1)根据一-—>xy,--—>yz,--—>xz,得到xy+yz+xz<2,由完全平方公式可得

乙乙乙

x)>+yz+xz>-1,由此可得结论；

(2)由条件可得2+4%+氢q%+8=(10-轴，结合基本不等式证明工笠+三包N8,

x-2y2y2)x-2y2y

由此可得(10-6％218,解不等式可得x的范围，由此可得结论.

32+y2

【解答】解：(1)因为当且仅当工=)，时等号成立，

y2+z2

--—>yz,当且仅当y=z时等号成立，

%2+z2

-~~：--->XZ,当且仅当x=zE寸等号成立，

所以2=:+>2+22行)，+)2+”当且仅当x=y=z时等号成立，

所以X)七⑶比2,当且仅当“=y=z=坐或t=y=z=-苧时等号成立，

又2Yy+2yz+2jiz=(x+y+z)2-(.P+V+z2)>-2,

所以xy+yz+xz>-1,当且仅当x+y+z=0,且A^+J^+Z2=2时等号成立，

所以外+yz+xz的取值范围为［-1,21；

、一、，318

(2)因为一+-+-----=10,x>2y>0,

2yx-2y'

所以［2y+(x—2y)］确+不与)=(10一处,

所以2+图+%经+8=(10-万％，

因为x>2y>0,所以二也>0,2(X-2y)>o,

x-2y2y

由基本不等式可得号+1N2I弩=8,

x-2y2yyjx-2y2y

当且仅当x=18,y=3或x=2,y=£时等号成立，

所以(10-5)%=2+4^-+2/2y)+8N2+8+8,

所以(10-aN18,故f-20,计36W0,

所以2g18,

所以x的最大值为18,

故答案为：（I）［-1，2］；

（2）18.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题.

10.（2025秋嘲阳区校级月考）若任（0,1）,则/（1-/）的最大值为二

-4-

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想：综合法；不等式；运算求解.

【答案】7-

4

【分析】根据均值不等式勤工（竽产，即可得答案.

【解答】解：因为0W1,

1

所以r(1-r)<（2）4一

当且仅当，=17,耽=劣时，等号成立.

1

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题.

1a

11.（2025•杨浦区校级开学）已知岫＞0,a+b=\,则一+一的取值范围为［3,+oo）

ab

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想：综合法；不等式的解法及应用：不等式；运算求解.

【答案】［3,十8）.

【分析】根据〃+8=1,将所求式化为1+A+小运用基本不等式求出该式的最小值，进而可得本题答

案.

【解答】解：由题意得工+~=~~+~=1+^+r>1+2?=3,

abababyjib

当且仅当。=力二；时，等号成立，

1a1a

由一+丁之3,可知一+丁的取值范围为［3,-HTO）.

abab

故答案为：［3,+8）.

【点评】本题主要考查不等式的性质、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题.

12.（2025•杨浦区校级开学）若直角三角形斜边长等于4a5?，则直角三角形面积的最大值为_^_.

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】转化思想；综合法；解三角形；不等式；运算求解.

【答案】8.

【分析】设直角三角形43c的斜边4B=c=4四,由勾股定理得/+庐=32,然后根据三角形的面枳公

式与基本不等式进行求解，即可得到本题的答案.

【解答】解：设RS48C中，C=90°,则c=迎2+炉=小②所以M+庐=32,

由基本不等式，可得岫式包£=16,当且仅当。=。=4时，等号成立，

所以△人区。的面积5=38,当且仅当。=8=4时，△ABC的面积最大值为8.

故答案为：8.

【点评】本题主要考行勾股定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于基础题.

四.解答题（共3小题）

13.（2025秋•陕西月考）已知a>0,b>0,且2a+35=3.

（1）求ab的最大值；

（2）求。一义的最大值；

bo

23

（3）求一+「■的最小值.

ab+1

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】⑴

8

【分析】(1)由基本不等式即可直接求解；

(2)由条件得到Q=,-，6,代入4,再由基本不等式即可求解;

(3)由条件得到加+3((+D=6,再由乘“1”法即可求解.

【解答】解：⑴由题意得2Q+3b=3之2遍乐得时工系

O

当且仅当2Q=3/)=',即。=,，匕=4时，等号成立，

3

故ab的最大值是工

8

04

(2)由2。+3b=3,得。=尹部>0,则OVbVL

则。一/=A眩b+春)VA2身』=\>

当且仅当=即a=l,匕=/时，等号成立.

26b3

故a-上的最大值是:7.

bu2

(3)由2。+3%=3,

r,2312316(b+l)6a16(b+l)6a

则—+----=-(-+----)[2a+3(b+1)]=-[13+------+----]>—[13+2------,----1=

ab+16'a匕+1八'7J6Lab+116La匕+1」

25

—->

6

当且仅当竺二3=詈，即b=等号成立.

ab+155

2325

故一+--的最小值为

ab+16

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

14.(2024秋•吐鲁番市期末)(1)已知x>l,求工+工的最小值.

X-L

(2)求Jx(lO-x)的最大值.

(3)己知正数x,y满足x+3)=l,求工+白的最小值.

xy

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】(1)3；(2)5；(3)7+2遍.

【分析】(1)配凑后根据基本不等式求最值；

(2)由基本不等式求积的最大值；

(3)利用“1”的变形及基本不等式求最值.

【解答】解：(1)因为x>l,

所以％+=%-1++1工2J(%—1)'+1=3，

当且仅当一L二%-1,即工=2时，等号成立，x+—彳的最小值3.

x-1

(2)由x(10-x)X)可得0球10,

当x=0或x=1()时，^/x(10-x)-0,

当OVxVIO时，由基本不等式可得，4(10_幻十吗一』=5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号

成立，

综上Jx(10-x)的最大值为5.

(3)因为正数x,y满足x+3j=l,

由基本不等式可得，一+—=(3+3y)(—+—)=74--4-->7+2—*—=74-2ylii,

xyxyxy'xy

当且仅当?=票且x+3,y=1,即y=唁，工=暂时等号成立.

12「

即一+一的最小值为2乃+7.

%y

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.

15.(2024秋•南昌县校级期末)已知关于x的不等式7-心-3<0的解集为｛R-

(1)求in,n的值.

(2)若正实数a,b满足na+mb=1,求工+三的最小值.

【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；运算求解.

【答案】(1)〃?=2,〃=3；

(2)4+2V3.

【分析】(I)由题意得-1,〃是方程/-〃〃--3=0的两根，再利用韦达定理即可求解.

(2)由(1)得正实数小一满足%+2b=1,再利用“1的代换”即可求解.

【解答】解：(1)关于x的不等式』-尔-3Vo的解集为(川-IVx<〃)

是方程x2-mx-3=0的两根，

则｛二;曹：二解得机=2,〃=3；

(2)由(1)得正实数小人满足3〃+2。=1,

“「I1113a2b3a2b

所以一+—=(3a+2b)(—+—)=3+—+—+1>4+2/—♦—=4+2Vr3,

a2ba2b2bay2ba

(3—6

3a2b|Q=­z-

当且仅当二二一，且3a+28=1,即《/-时等号成立，

2ba屋6-1

Vb=­

所以二+々的最小值为4+2V3.

a2b

【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的

应用，属于中档题.

考点卡片

1.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(I)对于任意两个实数小b,有且只有以下三种情况之一成立：

①4~/?>0；

②a〈boa-/?<0；

®a=b<=>a-b=0.

<2)不等式的基本性质

①对称性：4bob<a；

②传递性:a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b=>a+c>b+c.

④司向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

⑥司向整数可乘性：a>b>0,c>d>O=>ac>b(h

⑦平方法则:a>b>O=>an>lf(nEN,且QI)；

⑧开方法则：a>b>O=>tVa>Vb(«GN,且〃>1).

2.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用r求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：誓之疝(应。，以))，变形为〃后(早)2或者。+生2面.常常

用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

A：a,b均为负数,则改+—>2.B：XrZ^->2.C：sinx+-^->4.D：aGR+,(3-a)(l<0.

b2aVx2+1a7

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、。均满足条件.

对于C选项中siiu¥±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：c.

A选项告诉我们正数的要求是整个式了•为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；8分了其实可以写成

『+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=/立的最值？当OVxVl时，如何求、=五当的最大值.

解：当人=0时，>=0>

当时’、二品=不'

用基本不等式

若上>0时，ov)s¥，

若xVO时,<y<0,

综上得，可以得出一寸0£半

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素(函数)相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【辩题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1：求下列函数的值域.

⑴y=3x?+*⑵y=x+3

解:⑴y=3x?+击22y3x噎=a.二值域为[加，《)

⑵当x>0时，v=x+；>2\/x-J=2j

当x<0时，y=x+：=-(-)工-2yxi=-2

・•・值域为(-oo,-2]U[2,-KX))

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR~,且a+b+c=l。求证：；，一1）；:一],。一"28

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

1_1=匕£=三之也，可由此变形入手。

aaaa

..,一0♦,,,1.1,\-ab-t-c2-Jbc闩,困1,2^/ac1«、24sl

y^-:.a、b、ccRfa+b+c=l。..——1=-----=------之-----«同土里一一12--------,——12--------。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

V&-1卜乎•平.8。当且仅当a=b=C=；时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>0j>0且一+-=1,求使不等式x+yN加恒成立的实数冽的取值范围。

*y

5A19,x+v9x+9v,10v9x1

解：令x+y=£;x>0Aj>0A：-+-=l,——-+=1.—4--=1

xykxkykkxky

in3

:A-->2--o/.Jt>16>me(-oo,16]

kk

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>6>LP=Jlga/gb，2=：（lg4+lgb）,&=lg（4）,则尸，。小的大小关系是

分析:a>>>1lga>0,lg1>0

Q=~(1ga।1g6)>Jiga」gb=p

R=lg("；0)>lg4ab=gigab=Q.'.R>O>P»

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<H求函数v=4x-2+—!—的最大值。

4"4x-5

解：因44-5<0,所以首先要•调答符号，又（以-2）・二一不是常累，所以对44-2要进行拆、凑项,

4x-5

vx<y,.\5-4x>0>/.v=4x-2+—!—=一|5—4x+—5—]+34-2+3=1

4J4x-5I5-4x）

当且仅当5-4x=」一,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，刈3s=1。

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其枳为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0VxV4时，求y=x(8・2t)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必找和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2叶(8-2K)=8为定值，故只需将y=x(8-22凑上一个系数即可.

1、12x+8-2xn

y=x(8-2x)=皿・(8-2.r)J<4(------------)2=8

・2122

当2AU8-2X,即x=2时取等号，当x=2时，y=x(8-x2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求)，=:普：1°(%>一1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有G-+1)的项，再将其分离.

X2+7X+10_(X+1)2+5(X+1)+4_4

尸m--市-+申+5,

当人>-1,即人+1>0时，十1)k击十5=9(当且仅当人=1时取“=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令/="1,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=x+/的单调性.

2

X4-5

例4：求函数y=j【4的值域。

解：令夕+4=仆2),则广尸=、,江工，二——^」一)

{X'+4Jr+41

因=但”;解得"±1不在区间口+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为y=r+；在区间［L+8)单调递增，所以在其子区间［2+8)为单调递增函数，故y之

所以，所求函数的值域为工田：。

技巧六：整体代换

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例5：已知x>0,y>0,且±+'=1,求x+y的最小值。

xy

错好：x>0,y>0,且工+2=1,x+j,=j1.+2：(x+7)之=12故(x+J'ZtjUl?o

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+N22历等号成立条件是x=y,在]，+222区等号成立条

xyN盯

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件是4=3即>.=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

%y

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛉转换是否有误的一种方法。

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