2025-2026学年人教版八年级数学上学期必刷常考题之等边三角形

2025-2026学年上学期初中数学人教版八年级期中必刷常考题之等边三角

形

一.选择题（共6小题）

I.（2024秋•昭通期末）已知a,b,c是^ABC的三边长，且心-b\+（b-c）2=（）,则4ABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（2024秋嘲州市期末）如图，等边中，A3=4,点。是高A“上一点，过点。作防〃相，分

别交AC,BC于点E,F,连接CQ,当CO_LE尸时，FH=（）

3.（2024秋•郸城县期末）在△ABC中，AB=BC=\Q,N8=60。，则AC的长为（）

A.10B.5C.12D.6

4.（2024秋•临高县期末）如图，在△A8C中，NAC4=90。，/%垂直平分分别交回、BC于点、D、

E,人石平分NR4C,N4=30。，DE=2,则2c的长为（）

5.（2025春•樊城区期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P,

若木棍A端沿墙下滑，且8沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点。的距离（）

OBM

A.变小B.不变C.变大D.无法判断

6.（2025•寿阳县校级开学）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,N8AO=130，，点E为对

角线AC的中点，连接。E,BE,BD,则的度数为（）

二.填空题（共7小题）

7.（2024秋•上饶期末）如图，在等边三角形A4C中，£为A8反向延长线上一点且A£=1,”为线段4c

上一点且Cr=2,NAFB=2NE,则F到直线人8和直线AC距离之和为

8.（2024秋•山亭区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：加）测量某三角形部件的尺寸.已知NACB

=90。，点D为边48的中点，点A、B对应的刻度为1、7,则CO=cm.

点力在4C边上，点“在A“边上，过点/）

作OEJ_BC,垂足是E,NFED=NB,4NFDE-NA=180。.下列结论:①2NCOE=NA；②

③AOM是等边三角形；④过点。作。M_LOE,交A3边于点M,若M是”的中点，0M=3,则BC

=9.其中正确的是

A

10.（2024秋•嵩县期末）如图，在RtA48C中，ZC=90°,/8=60。，点。，E分另U是8C,48上的动点，

将4BDE沿直线DE翻折，点B的对点夕恰好落在AC上，若AAE9是等腰三角形，那么NBEB，的大

小为.

B

11.（2025•东港区校级开学）如图，ZC=60°,AB=BC,Zl=°,三角形ABC按边分是

三角形.

12.（2024秋•葫芦岛期末）如图.在△人AC中，Z4CB=90°,CD是AB边上的高，NA=60。，B口=2,

则4B=.

13.（2024秋•龙潭区校级期末）如图，在Rt△4“。中，ZA=90°,Z23=30°,CM平分NACO交A/3于点

M，过点“作“"〃8c交AC于点M且MN平分NAMC,若AN=I,则的长为.

三,解答题（共2小题）

20252026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级期中必刷常考题之

等边三角形

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案ABADBB

一.选择题（共6小题）

I.（2024秋•昭通期末）已知a,b,c是^ABC的三边长，且例+"-c）2=（）,则4ABC的形状是（）

A.等边三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【考点】等边三角形的判定；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据非负数的性质求出〃=从b=c,即可得出a=b=c,从而判断出三角形的形状.

【解答】解：・・・|a-"+（〃-c）2=0,

又・・・0-川演）,（b-c）2>0.

:・a-b=0,b-c=0,

:.a=b,b=cf

：.a=b=c,

J△ABC是等边三角形，

故选：A.

【点评】本题考查r等边三角形的判定，非负数的性质：绝对值，偶次方，证得是解题的关键.

2.（2024秋•霸州市期末）如图，等边aABC中，A8=4,点。是高A"上一点，过点。作EB748,分

别交AC,BC于点、E,F,连接CO,当CQ_L"时，FH=（）

BFHC

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形.

【答案】B

【分析】由等边三角形的性质可得NB=/4C3=60。，AC=8C=4,根据A〃_L3C,可得4〃=C〃=2,

根据平行线的性质得到/石尸C=N6=6（『,推山△石尸C足等边三角形，根据CO_LER可得ZCD尸=90。，

ZDCF=30°,求出凡设贝ljCF=2+x,求出。F=l+：x,再求出/产。〃=30°,得

到尸"=20凡从而得到X=3（1+±乃，求解即可.

【解答】解：•・•等边△A6C中，A4=4,

NB=ZACB=60°,AC=BC=4,

'：AHIBC,

：.BH=CH=^BC=2,

*：EF//AB,

・・・NEFC=N8=60。，

•••△EFC是等边三角形，

\*CD±EF,

AZCDF=90°,ZDCF=30°;

:・DF二CF,

设FH=x,则C~=2+x,

・,.Z）F="F=I+聂，

VZEEC=60°,N4”4=90°,

••・ZFD/7=90°ZEFC=30°,

:.FH=^DF,

.*.%=^（14-^x）,

99

.*.%=即FH=子

故选:B.

【点评】本题考查了本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握以上性质是解题的美

键.

3.（2024秋•郸城县期末）在AABC中，AB=BC=10,N8=60。，则AC的长为（）

A.10B.5C.12D.6

【考点】等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】先根据“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形"证明aABC是等边三角形，再根据等边三

先形的性质得出答案.

【解答】解：・・・NB=60。，AB=BC,

•••△A4C是等边三角形，

：.AC=AB=\0.

故选：A.

【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABC是等边三角形.

4.（2024秋•临高县期末）如图，在AABC中，NACB=90。，DE垂直平分A8,分别交4B、8c于点。、

E,AE平分/BAC,NB=30。，DE=2,则BC的长为（）

A.2V5+2B.4>/3C.4D.6

【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】利用线段的垂直平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得

出结论.

【解答】解：•・•£）£垂直平分A3,N4C3=90。，AE平分NMC,

：.EC=ED=2,

•・・。七垂直平分48,

.\ZBDE=90°.

在^BDE中,

•・・N8DE=90°.N8=30°.

:.BE=2DE=4.

BC=BE+EC=4+2=6,

故选：D.

【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30。

角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

5.（2025春•樊城区期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P,

若木棍A端沿墙下滑，且8沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点。的距离（）

A.变小B.不变C.变大D.无法判断

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【答案】B

【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出。，。二98=〃，即可得出答案.

【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，

理由是：连接OP，

VZAOB=90°,。为A8中点，AB=2a,

JOP=^AB=a,

即在木棍滑动的过程中，点。到点O的距离不发生变化，永远是。：

故选；B.

【点评】此题考查/解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

6.（2025•寿阳县校级开学）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,N8AO=130，，点E为对

角线AC的中点，连接。£,BE,BD,则NOB笈的度数为（)

C.30°D.25°

【考点】直角三角形斜边上的中线：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与宜角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】先求出NBCO=50。，再由直角三角形的性质可得BE=CE=OE=//1C,由等边对等角可得

NEBC=NECB,NEDC=NECD,NEBD=NEDB,再由三角形外角的定义及性质可得100。，

最后再由三角形内角和定理计算即可得解.

【解答】解：由四边形的内角和是360°,可知，ZBCD=360°-ZABC-ZADC-ZBAD=50°,

•・・NA8C=NAOC=90。，点E为对角线AC的中点，

：.BE=CE=DE=^AC,

：・/EBC=/ECB,ZEDC=7ECD,ZEBD=ZEDB,

AZBED=ZBEA+ZDEA=ZEBC+ZECB+ZEDC+ZECD=2QECB+/ECD）=100%

，乙EBD=乙EDB=180°丁F'=40°,

故选：B.

【点评】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，

关键是根据直角一•.角形的性质解答.

二.填空题（共7小题）

7.（2024秋•上饶期末）如图，在等边三角形46C中，E为AB反向延长线上一点且AE=1,“为线段BC

」3V2+V3

上一点且CF=2,NAFB=2/E,则尸到直线相和直线4c距离之和为-------.

E

A

BFC

【考点】等边三角形的性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

[答案]—I—,

【分析】延长FC至点G,使得CG=AE=1,过点尸作FIYAB,FHLAC,于点1,H,过点A作AK_L8c

于点K,先证明△84七且△ACG(S4S),再导角得到以="G=2+1=3,则4C=2KC,在RQAKC中，

由勾股定理得，AK=®C,设KF=x,则AK=K(2-X),在RtAAKF中，由勾股定理得/+

[V3(2-%)]2=32,再解方程即可.

【解答】解：延长尸C至点G,使得CG=4E=1,过点/作FHA.AC,于点/,H,过点A作

AK上BC于点K,

•・•△ABC为等边三角形,

,AB=AC=BC,N84C=N4CB=60°,

；・NBAE=N4CG,

在484E与△ACG中，

AB=AC

乙BAE=Z.ACG»

AE=CG

•••△8AEgzMCG(SAS),

••・NE=NG,设NE=NG=ct,

/AFB=2/E=NG+N物G,

2a=a+ZMG,

：.ZFAG=ZG=a,

AM=FG=2+I=3,

\*AK.LBC,AB=AC,

：,LKAC=AC=30°,

：.AC=2KC,

由勾股定理得，AK=V3KC,

设K〃=x,则4K=b(2-;0,

由勾股定理得，x2+[V3(2-r)]2=32,

解得：x=竽或％=主於（舍）,

4c»

6+3&

.*.AK=

-2-

TSAABC=^BCAK=\AB-Fl+^AC-FH,

乙L乙

而"=BC=AC,

：.FI+FH=AK=叵磐

3&+遍

”到直线”和直线AC距离之和为丁

3V2+V3

故答案为：?.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质，等腰三角

形的判定与性质，勾股定理，30。角直角三角形的性质等知识点，难度较大，运用面积法求解是解题的

关键.

8.（2024秋•山亭区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：。〃）测量某三角形部件的尺寸.已知N4CB

=90。，点D为边A8的中点，点A、8对应的刻度为1、7,则CD=3c，〃.

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长.

【解答】解：由图可得，

NACB=9()。，AB=1-1=6(cm),点。为线段A8的中点，

：.CD=^AB=3cm,

故答案为：3.

【点评】本题考杳直角三角形斜边上的中线，解答本题的关诞是明确题意，利用数形结合的思想解答.

9.(2024秋•灯塔市校级期末)如图，在△ABC中，点D在4c边上，点尸在AB边上，过点。

作DELBC,垂足是E,ZFED=/B,4/FDE-NA=180。.下列结论:①2NCOE=ZA；®BC=BF+CD；

③△DE尸是等边三角形；④过点。作。M_LOE,交A8边于点M,若M是4尸的中点，QM=3,贝ijBC

=9.其中正确的是①®@.

【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

【专题】图形的全等：等腰三角形与直角三角形：几何直观：运算能力：推理能力.

【答案】①②④.

【分析】①根据AB=AC得NB=NC,进而得N4=180。-2NC,再根据OE_L8C得NCOE=90。-ZC,

由此可对结论①进行判断；

②设N8=NC=a,则NF£Q=N8=NC=a,进而得NA=180。・2a,根据4NFDE-/A=180°得

ZFDE=90°-1a,再根据三角形的内角和定理得/。隹=90。一之€(,由此得NQFE,则DE=

乙乙

EF,再证NCQE=N8£F,据此可依据“AA夕判定△CDE和A8后尸全等，从而得CO=8E,CE=BF,

由此可对结论②进行判断；

③不妨假设△尸是等边三角形，则/尸石。=60。，由此得N8=NFED=60。，则△/WC是等边三角形，

但是根据已知条件无法判定△八8c是等边三角形，因此假设是错误的.据此可对结论③进行判断；

④证/4MO=NAOM得△AM。为等腰三角形，再证NMDF=/MFQ,设DM=FM=3,根据点M是

A尸的中点得AM=FM=OM=3,则△AMO为等边三角形，从而得4M=QM=AO=3,证NAQF=90。，

由勾股定理可求出FD=3百，再证△ABC,△尸均为等边三角形，则EF=FD=373,NBEF=30。，

然后在RtzxBE/中由勾股定理求出8斤=3,进而得A8=9,由此可对结论④进行判断，综上所述即可

得出答案.

【解答】解：①在△"(?中，AB=AC,

:.NB=NC,

••・ZA=180°-2ZC,

•：DEIBC,

ZCDE=90°-ZC,

：.2ZCDE=NA,

故结论①正确；

②设N8=NC=a,则/FEO=N8=NC=a,

・•・乙4=180。-2a,

V4ZFD£-ZA=180°,

；・4NFDE・(180°-2a)=180°,

/.ZFDE=90°-1a,

11

.\ZDFE=I8O°-QFED+NFDE)=180°-(a+90°-^a)=90。一扣，

••・4FDE=NDFE,

：.DE=EF,

,:DE上BC,

AZCD£+ZC=90°,NBEF+NFED=90°,

,:NC=NFED=a,

：.NCDE=/BEF,

在^BE/中，

Z.CDE=乙BEF

Z.B=Z.C»

DE=EF

:./\CDE名ABEF(AAS),

:・CD=BE,CE=BF,

，BC=CE+BE=BF+CD,

故结论②正确；

③不妨假设△DEF是等边三角形,

.,.ZFED=60°,

：.ZB=ZFED=60°,

・•・△ABC是等边三角形，

根据已知条件，无法判定△4BC是等边三角形，

・••假设是错误的.

故结论③不正确.

DMIDE,DELBC,

C.DM//BC,ZMDE=90°,

AZAMD=ZB,ZADM=ZC,ZMDF+ZFDE^O0,

,:NB=NC,

：,ZAMD=ZADMf

・•.△AM。为等腰三角形，

:△COE也△BET7,

:・/DEC=/EFB=9U。,

JZEFM=90°,即ZMFD+ZEFD=900,

NFDE=NDFE,

：.ZMDF=/MFD.

・・・ZW=FM=3,

•・•点M是A尸的中点,

：,AM=FM=DM=3,

・•・△AM。为等边三角形，

/.ZADM=ZAMD=ZA=60\AM=DM=AD=3,

/.Z™D=120°,

1,NMDF=NMFD=3(180°-NFMD)=1(180°-120°)=30。,

/.ZADF=ZADM+ZMDF=600+30°=90°,

在RSAO/中，AF=AM+FM=6,AD=3,

由勾股定理得：FD=y/AF2-AD2=373,

•・・NAMO=NB=60°,NAQM=NC=60°,

•••△ABC为等边三角形，

：.BC=AB,

,/ZFED=ZB=60°,DE=EF,

；.ADEF为等边三角形,

：.EF=FD=3V3,

VZEFB=90Q,NB=90。，

尸=30°,

在RsBEb中，ZBEF=30°,

:,BE=2BF,

由勾股定理得：B®・BF2=EF，

即(2BQ2-3产=(3圾2,

:.BF=3,

尸+B/=6+3=9,

：,BC=AB=9.

故结论④正确.

综上所述：正确的结论是①@④.

故答案为：①②④.

【点评】此题主要考杳了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，勾股定理等，理解等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判

定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键.

10.（2024秋•寓县期末）如图,在RSA8C中，ZC=90°,N8=60。，点。，E分别是BC,上的动点,

将ABOE沿直线OE翻折，点8的对点夕恰好落在AC上，若夕是等腰三角形，那么的大

小为150°或105。或60。.

【考点】含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.

【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；应用意识.

【答案】150。或105。或60。.

【分析】由NC=9由,ZB=60°,得NA=30。,分三种情况讨论：①当8A=8E时，可得由=180°

-ZB'EA=I5O°；②当48=AE1时，即得NAE8=NA8'E=史与幺=75°,即得/8EB'=105°；③当

E4=E8时，可得NBEB'=NA+NE8'A=60。.

【解答】解：・・・/C=90。，N8=60。，

JNA=30。，

分三种情况讨论：

①当84=9E时，如图：

••・N8E4=N4=30。，

・•・ZBEB'=I8O°-ZB'EA=150°；

②当A8'=AE时，如图：

JZBEB'=1800-ZAEB'=105°；

③当必=砧时，如图：

NA=NE8A=30。,

/.ZBEB'=ZA+ZEB'A=60°；

综上所述，N8E8为150。或105。或60。，

故答案为：150。或105。或60。.

【点评】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论.

II.（2025•东港区校级开学）如图，ZC=60°,AB=BC,Zl=45。，三角形ABC按边分是等边三

【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质.

【专题】三角形：等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】45,等边.

【分析】先利用A4=4C',得出三角形A4c是等腰三角形，得NA=NC'=60。，再利用三角形内角和定

理得出NABC=I8O。-N/l-/C=60。，利用平角即可求出N1,利用等边三角形的特征即可判断三角形

/WC的形状.

【解答】解：因为AB=8C,

所以三角形ABC是等腰三角形，

所以NA=/C=60。，

所以NA5C=180。-ZA-ZC=180°-60°-60°=60°,

所以N1=180°-75°-ZABC=180°-75°-60°=45°,

因为NABC=N4=NC=60。，

所以三角形ABC是等边三角形，

故答案为：45,等边.

【点评】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握.

12.（2024秋•葫芦岛期末）如图，在△A8C中，N4CB=90。，CO是48边上的高，ZB=60°,BD=2,

则A4=8.

A

DB

【考点】含30度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形：推理能力.

【答案】8.

［分析］由含30度角的直角三角形的性质推出A8=48O=4x2=8.

【解答】解：VZAC«=90°,NB=60。，

・・・NA=90。-ZB=30°,

：.AB=2BC,

•・・CO_LA8于。，

JZBDC=90",

••・N8CQ=90。-ZB=30°,

：.BC=2BD,

，AB=4BO=4x2=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查含30度角的直角三角形，关键是掌握在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边

的一半.

13.（2024秋•龙潭区校级期末）如图，在RsA8c中，NA=90。，ZB=30°,CM平分NAC8交A3于点

M,过点M作MN〃BC交AC于点N,且MN平分N4MC,若AN=1,则BC的长为6.

【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】6.

【分析】根据三角形的内角和定理求出NAC8,根据平行线的性质求出N4MN=30。，根据角平分线的

定义求出NMWC=/ACM=30。，根据含30。角的直角三角形的性质求出即可5

【解答】解：在Rl△人BC中，NA=90°,N8=30。，

NACB=60。，

：,NAMN=NB=30°,

VZA=90°,AN=\,

:・MN=2AN=2,

•「MN平分NAMC,NAMN=30。，

••・NAMC=NAMN+NMWC=6（）°

「CM平分NACB,/ACB=60。，

1

ZACM=宏N4CK=30。，

/.NACM=NNMC,

:,MN=CN=2,

・・・4C=AN+CN=1+2=3,

•・•在RtaABC中，ZA=90°,ZB=30°,

・・・8C=2AC=2x3=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30。角的直角三角形的性质和角平分线的定义等知识点,

能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

三,解答题（共2小题）

14.（2024秋•平桥区期末）如图，△ABC是等边三角形，8£＞是中线，延长8C至E,使CE=CQ,DF1BE,

垂足为点F.

（1）求证：是等腰三角形；

（2）若C产=4,求△ABC的周长.

【考点】等边一角形的性质；含30度角的直角「角形；等腰三角形的判定与性质.

【专题】三角形.

【答案】（1）△ABC等边三角形，8£）是中线；

AZABC=ZACB=60°,BDLAC,8。平分N48C,

"DBC=^Z-ACB=|x60°=30°,

•.*ZACB=60°=/E+/CDE,

•:CE=CD,ZE=ZCDE,

：,ZE+ZCDE=ZACB,

即2ZE=60°,

ZE=30°,

:.NE=NDBC,

:・BD=DE,

•••△8OE是等腰三角形；

(2)48.

【分析】(1)根据等边三角形的性质可知N4C8=60。，再证明NC4Q=/七=30。，即可得出结论；

(2)由。〃=4可得出。C=2Cr=8,故可得出AC的长，迸而可得出结论.

【解答】(1)证明：••'△ABC等边三角形，是中线；

・・・NABC=N4CB=60。，BDLAC,8。平分N4BC,

，乙DBC=\LACB=1X60°=30°,

*/NAC8=60°=ZE+ZCDF,

'：CE=CD,/E=4CDE,

:./E+/CDE=NACB,

即2NE=60。，

NE=30。，

:./E=NDBC,

:,BD=DE,

•••△8DE是等腰三角形；

(2)解尸_LB£,/AC8=60°,

JZFDC=90°-ZACB=90°-60°=30°,

ADC=2FC=2x4=8,4c=2DC=2x8=16,

丁•△ABC周长：16x3=48.

【点评】本题主要考杳了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中30。所对的边是斜边的一半等知

识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点.

15.(2024秋•抚顺县期末)如图，在等边三角形ABC中，点E在A8边上，点。在CB的延长线上，且

AE=BD.

（1）当点£为AB的中点时，如图1,求证EC=£D：

（2）当点E不是A6的中点时，如图2,

①过点七作石户〃8C.请补全省形，并求证尸是等边三角形;

②直接写出EC与ED的数量关系.

【考点】等边三角形的性质；平行线的性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角

形的判定.

【专题】等腰三角形与宜角三角形；推理能力.

【答案】（1）•••△ABC是等边三角形，

：,CA=CB,ZABC=ZAC5=60°,

•・•点E为A8的中点，

；・AE=BE,/.BCE=Z.ACE=^Z-ACB=30°.

\-AE=BD,

:・BE=BD,

:,NBDE=/BED.

:NBDE+NBED=NA8C=60°,

；・NBDE=NBED=30。,

•••N8OE=NBCE=30。，

：・EC=ED；

A

E/

(2)①。B

•:EFHBC,△ABC是等边三角形，

AZAEF=ZB=60°,ZAFE=ZC=6Q°,

•••△AKV是等边三角形；

②EC=ED.

【分析】（I）利用等边三角形的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；

（2）①根据题意补全图形即可，再根据平行线的性质得到/4EF=NB=60。，Z/IFE=ZC=60°,即

可证明结论；

②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可.

【解答】（1）证明：:△ABC是等边三角形，

:.CA=CB,NA4C=NAC4=60。，

•・•点七为/IB的中点，

；・AE=BE,^.DCE=^ACE=^ACB=30°.

,：AE=BD,

：,BE=BD,

；・NBDE=NBED.

「ZBDE+ZBED=NA8C=60。，

:・/BDE=/BED=3U。,

:・NBDE=NBCE=30。,

:.EC=ED；

（2）解:①如图所示，EF为所求:

*：EF//BC,△ABC是等边三角形，

・・・N4E/=N8=60°,NA/E=NC=60°,

•••△AE尸是等边三角形；

②点£不是A8的中点时，如羽，则£C=£Q,理由如下:

•.•△A/3C,aAE尸是等地三角形，

・・・/4BC=NA/E=60°,AB=AC,AE=AF=EF,

：・/DBE=/CFE=120°,BE=AB-AE,CF=AC-AF,

：,ZDBE=ZCFE,BE=CF,

*：AE=BD,

:・EF=BD,

在4。8五和4E/C中，

BD=EF

乙DBE=乙CFE,

BE=CF

:.ADBE出AEFC(SAS),

：,DE=EC.

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟

练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为。时，则其中的每一项

都必须等于0.

2.非负数的性质：偶次方

偶次方具有北负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当儿个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.

3.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.询单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

4.三角形内角和定理

（I）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且卷个内角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主:要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

5.三角形的外角性质

（I）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360。.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角.

6.全等三角形的判定与性质

（I）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判