22.3 相似三角形的性质（2知识点+6题型+强化练习）学生版

22.3相似三角形的性质课程标准学习目标①了解相似三角形的性质定理；②相似三角形对应线段的比等于相似比；③面积比等于相似比的平方。①掌握相似三角形的性质定理，并运用相似三角形的性质求三角形中的线段的长和角的大小；②会将等积式、比例式、相似三角形互相转换；③会灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题。知识点01相似三角形的性质·相似三角形的对应角相等，对应边成比例【即学即练1】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，在锐角三角形中，于点E，点D在边上，连接交于点F，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接，已知，求．·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比【即学即练2】（23-24九年级上·湖南郴州·期中）若，相似比为，则对应边的中线比为（

）A． B． C． D．·相似三角形周长的比等于相似比【即学即练3】（22-23九年级上·江苏盐城·期末）若，相似比为，已知的周长是3，则的周长是（

）A．3 B．6 C．9 D．12·相似三角形面积的比等于相似比的平方【即学即练4】（23-24九年级上·湖南郴州·期末）两个相似三角形的对应边上的中线之比为，它们的面积比为（）A． B． C． D．【即学即练5】已知，且相似比为，则下列结论错误的是（

）A．是的3倍 B．是的3倍C．周长之比为 D．面积之比为※知识点02相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方在解相似三角形的判定与性质的综合问题中：·利用相似的基本性质进行等积变换、等比代换、等线代换例：等比代换——a2=bc型结论的证明如图，直角中，，，证明：，，.解析：·利用基本相似模型填加辅助线构造相似【题型一：相似模型与图形综合——8字型】例1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10变式1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，，与、分别交于点P、M．（1）；（2）若、，则．【题型二：相似模型与图形综合——A字型相似模型】例2．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形的边长为，的边，分别与边相交于点，，若的面积为，则与的长度比为（

）A． B． C． D．【题型三：相似模型与图形综合——一线三等角相似模型】例3．在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使．(1)求证：；(2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？变式3-1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点P是正方形边上一点，Q是边延长线上一点，若，．求的长．变式3-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．(1)若，分别求，的周长；(2)在（1）的条件下，直接写出的长．【方法技巧与总结】①找准变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式。【题型四：相似模型与图形综合——母子型相似模型】例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为，（1）的值为．（2）若，则．变式4.如图1，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于，求证：．【题型五：根据基本相似模型添加辅助线构造相似】例5（平行辅助线构造8字相似）．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，BD是边AC上的中线，，垂足为点，交BD于点，则（

）

A．12 B．8 C．7 D．4变式5-1.（平行辅助线构造A字相似）（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E．(1)如图，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论；(2)在（1）的情况下，如果，，，求的长．变式5-2.（平行辅助线构造“一线三直角”相似）（2024·安徽合肥·三模）如图，中，，点是上一点，连接，过作，交于，交于．(1)求证：；(2)当为边的中点时，求的值；例6.（垂直辅助线构造A字相似）（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形的边长为4，以为底向外作等腰三角形，连接，点是的中点，连接，并延长分别交于点，交延长线于点，若，则的值为（）A． B． C．3 D．【方法技巧与总结】根据问题，利用平行辅助线或垂直辅助线构造出基本的相似模型：A字、8字、一线三直角等。【题型六：利用相似求坐标】例7．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则点的坐标是．变式7．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为1,0，点D的坐标为0,2，延长交x轴于点，作第2个正方形，延长交x轴于点，作第3个正方形，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（）A． B． C． D．一、选择题1．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为（

）A． B． C． D．2．在中，，，点D，E分别在上．与相似，且，则的值为（

）A． B．或2 C．2 D．或二、填空题3．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为．

4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为．5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图．正方形的边长为4，E为边的中点．点F在边上．且．则的长为三、解答题6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，．(1)求证：；(2)若，求的值．7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，D为上一点，E为延长线上一点，，和相交于点F，求证：

1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，D是上的一点，G为CD中点，过点G的直线分别交和于点E，F，．（1）若D是的中点，则；（2）连接，若是直角三角形，则的长为．2．（2024·安徽合肥·三模）如图1，C为线段上一点，分别以，为底，在的同侧作等腰和等腰且．在线段上取一点F，使得，连接，．(1)求证：；(2)如图2，延长交于点G，若G是的中点，且，求的长．3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，在等腰直角三角形中，点是斜边上一点，且，点是上一点且，求：的值．

1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①