第22章 相似形（高效培优单元测试·提升卷）（解析版）

第22章相似形单元测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．若，则k的值为（

）A．1 B． C．1或 D．2【答案】C【详解】解：∵，当时，，当时，则，，综上所述，k的值为1或．故选：C2．如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵直线，∴、，原选项不符合题意；、，原选项符合题意；、，原选项不符合题意；、，原选项不符合题意；故选：．3．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵P为的黄金分割点，，∴，故选：C．4．在中，，分别为边，上的点，，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，∵∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．5．，为边，上的两点，，，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，．，．．，，．．故选：A．6．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（

）A．点Q B．点P C．点N D．点M【答案】D【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M．故选：D．7．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，，，，，，，，，，．故选：C．8．如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【详解】解：作于点，连接，∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，，∵，，∴，∴点在上，∴，，此时点是的中点，∵，∴当点共线时，有最小值，最小值为的长，∵为的中点，点是的中点，∴是的中位线，∴，∴的最小值为，故选：C．9．如图，四边形中，，，是上的动点（不与点B、C重合），，随着点的运动，的长度也随之变化，已知，，设，，则关于的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，设，∴，设，∴，整理得：，这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下，故选：B10．如图，在中，于点，于点，为中点，连接，，现有以下结论：①；②；③为等边三角形；④当时，．其中正确的个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设，，，∵，于点，于点，∴，∴，，∴，，，，，故②正确；∵，，∴，∴，∴∵中，∴，整理得，∴∵，∴，故①说法正确；∵为中点，，，∴，∴为等边三角形，故③正确；当时，，∴，∴，整理得，∴，故④结论错误，综上所述，正确的有①②③，共3个．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比为．【答案】【详解】∵等边三角形的每个内角都是，∴等边三角形都相似，∵两个等边三角形的面积比为，∴两个等边三角形的角平分线的长度的比的平方为，∴两个等边三角形的角平分线的长度的比，故答案为：．12．如图，，点为边的中点，点在边上，连接交延长线于点，若，，则的长为；【答案】【详解】解：如图，过作，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵点为边的中点，∴，∴，故答案为：13．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法．如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物，已知大多数人的眼距长约为，而手臂长约为．若的估测长度为，那么的大致距离为．【答案】500证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：，，，根据题意得，，，，．即的大致距离为．故答案为：500．14．如图，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时，（1）当时，则；（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是．【答案】2【详解】解：（1）∵，∴，∵，，即，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵P为线段的中点，∴，∴，∵，，，∴的值最小时，的值最小，此时的值最小，∵，，，∴，根据垂线段最短可知，当时，此时，∴，∴的最小值为，故答案为：2．三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知，，求的值．【详解】解：设，则，∵，∴，解得，∴，∴．16．如图，中，点D在边上，满足，若，求的长．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴．17．如图，涛涛同学在公园里散步，他发现：当他站在甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长2米，乙灯照射的影子长3米，已知涛涛同学身高为1.6米，两盏路灯和的高度相同，两路灯相距为15米，求路灯的高．【详解】解：由题意知：，，，，，，，，，又，，，解得，，，答：路灯的高为米．18．如图，在中，的平分线交于点D，，交于点E．(1)求证：；(2)若，求线段长．【详解】（1）证明：是的角平分线，，∵，∴，，∵，，，，，；（2）解：如图所示，过点作于H，在中，由勾股定理得，是的角平分线，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．19．如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．

(1)求证：．(2)若，求与四边形的面积比的值．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，，，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，设，∴，，∴，∴与四边形的面积比的值为．20．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，．(1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为；(2)在（1）的条件下，与的面积比为______；(3)若点为上一点，写出点M的对应点的坐标为______．【详解】（1）解：如图所示，即为所求．（2）解：∵与位似，且位似比为；∴，相似比为，∴，即与的面积比为．故答案为：．（3）解：∵与位似，且位似比为；∴点为上一点，写出点M的对应点的坐标为．故答案为：．21．如图，在矩形中，点E为的中点，点G为的中点，点F为上的一个动点，且，连接，．(1)求的度数；(2)求证：；(3)若，，求线段的长．【详解】（1）解：∵点G为的中点，，∴，∴，，∵，∴，∴，即．（2）证明：∵四边形是矩形，∴．∴．∵，∴．∴．（3）解：∵点E为的中点，，∴．∵，，∴．∴．设，则，∴，解得，．经检验，，是原方程的解且符合题意．∴线段的长为2或4．22．在中，分别为的中点，为上一点，且，过点作交于点．(1)如图1，若，求的长；(2)点在上，且．①如图2，求证：；②如图3，从线段上取一点，连接，使．若，求的长．【详解】（1）证明：如图1：∵分别为的中点，∴，，∵，∴，是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴．（2）①证明：如图2：∵分别为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；②解：如图3：∵，∴，∴，即：，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴．23．已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，．(1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长；(2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接．①求证：；②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D，∴，，，由垂直平分线的性质知，，，又，∴，∴．又，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．（2）解：①证明：由题意