第22章相似形（复习讲义）（学生版）

第22章相似形（复习讲义）理解比例线段和黄金分割的概念与性质．2．．3．掌握相似三角形对应要素（边长、高、中线、周长）的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方．4．理解图形位似变换的概念、性质及其在坐标系中的应用,能综合运用相似知识解决实际生活中的测量和作图问题．●一、相似多边形的概念★1、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形.★2、相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数.【注意】当用符号“∽”表示两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上.●二、成比例线段★1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比.★2、四条线段成比例：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如ab=cd(即ad=bc).★3、判断四条线段是否成比例的方法:首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种：(1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例；(2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例.●三、比例的基本性质★1、比例的相关性质：（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则②合比性质．若ab=c③分比性质．若ab=c④合分比性质．若ab=c⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…★2、比例中项：在ab=cd中，如果b＝c，即ab=bd那么b2＝ad，这时我们把b叫作a●四、黄金分割★1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即.简记为：●五、平行线分线段成比例★1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.★2、符号语言：★3、平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.●六、相似三角形的判定★1、判定两个三角形相似的预备定理（1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.★2、定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.几何语言:∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.★3、定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．★4、定理3：利用三边判定两个三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．★4、定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.●七、相似三角形的性质★1、相似三角形的对应角相等．如图，，则有．★2、相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．★3、相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.★4、相似三角形周长比等于相似比．★5、相似三角形面积比等于相似比的平方．●八、图形的位似变换★1、位似图形◆1、位似多边形：两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．◆2、利用位似可以按所给相似比把一个图形放大或缩小．★2、位似图形的性质（1）两个位似图形一定是相似形；（2）对应图形的所有对应点的连线所在的直线都经过同一点；（3）对应边互相平行（或在同一直线）；（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．★3、画位似图形◆1、画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.★4、平面直角坐标系中的位似图形1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．2.当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k．3.当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的1k．题型题型一相似多边形的识别【例1】（24-25八年级下·重庆江北·阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（

）A．B． C． D．3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（24-25九年级上·河南周口·期中）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（

）A． B．C． D．题型题型二相似多边形的性质【例2】（23-24九年级下·河北张家口·开学考试）如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（

）

A．1：2 B．1：4 C．【变式2-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，AB⊥A．125° B．135° C．115° D．120°【变式2-2】装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，题型题型三利用比例的基本性质判断式子变形【例3】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若2x=3yA．x2=y3 B．x3=【变式3-1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知ab=cA．ad=cC．a+1a=【变式3-2】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列结论中，错误的是（

）A．若a4=c5，则a-C．若ab=25，则题型题型四利用比例的基本性质求值式子变形【例4】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知xy=54，则A．1 B．-14 C．±1【变式4-1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知x-3yy=A．73 B．-73 C．-【变式4-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知a2=b3=A．45 B．23 C．56题型题型五利用比例的基本性质求参式子变形【例5】．已知，a，b，c是任意实数，且满足a+bcA．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2【变式5-1】（2024秋•靖西市期中）如果ab=cd=ef=k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（【变式5-2】（2024秋•临平区月考）已知，线段a，b，c，且a2（1）求a+（2）设a2=b3=c4=k，线段a，b，c满足a题型题型六成比例线段【例6】已知四条线段长分别为2,3,x,6，若这四条线段是成比例线段，则A．1 B．4 C．5 D．9【变式6-1】（24-25九年级上·广东河源·期中）下列四组长度的线段中，是比例线段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15【变式6-2】题型题型七比例中项的应用【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a=1,b=9，线段c是线段aA．1 B．3 C．5 D．9【变式7-1】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知线段a=9，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c【变式7-2】（2025·浙江·一模）已知线段a,b满足ba(1)求线段a,(2)若线段c是线段a,b的比例中项，求线段题型题型八黄金分割的应用【例8】7．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点AP>PB.如果AB的长度为10cm，那么A．(55-5)C．(10-55)cm【变式8-1】（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，正五角星图案中，若点N是线段BE的黄金分割点，且BE=2，则BN的长为（

A．5-12 B．5+12 C【变式8-2】（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为10cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为题型题型九对平行线分线段成比例的判段【例9】（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥ABA．ADDB=AEAC B．FCDE=【变式9-1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1,l2,l3分别交直线l4于点AA．ACDF=BCEF B．ABBE=【变式9-2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，连接DE、EF、AF，AF交DE于点G，四边形BFEDA．ADBD=DECF B．AEAC=题型题型十平行线分线段成比例的应用【例10】（24-25九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE:BE=1:2A．3 B．5 C．6 D．9【变式10-1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是AC边上的中线，过点E作EG∥BC交AB于点F，交AD于点G.若AB=10A．6 B．4 C．3 D．2【变式10-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E，G在△ABC的边AB，AC上，连接EG，点D为△ABC外一点，连接AD，CD，点F在AD上，连接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE=3题型题型十一相似三角形的判定---预备定理【例11】（2024秋•虹口区月考）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于点P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的长是．【变式11-1】（2024秋•项城市期中）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则BDAC的值为【变式11-2】（2024秋•鹤壁期末）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．题型题型十二添加条件使得三角形相似【例12】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADEA．∠C=∠EC．ABAD=BC【变式12-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，请添加一个条件：，使△【变式12-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE题型题型十三相似三角形的判定的证明【例13】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【变式13-1】（2025·广东广州·三模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．求证：【变式13-2】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，连接EF，过点B作BG⊥EF于点G，FH∥CD交AD于点题型题型十四网格中的相似三角形【例14】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在4×4的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（

）A． B． C． D．【变式14-1】（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与△EFG相似的是（

A． B． C． D．【变式14-2】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC与△DEF．求证：题型题型十五相似三角形在坐标系中的运用【例15】如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A．（1，52） B．（43，83） C．（5，25） D．（3，【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（3，0），则点A的坐标为（）A．（1，23） B．（2，23） C．（23，1） D．（23，2）【变式15-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A10,0，OB=25，∠B=90°，则点题型题型十六由相似三角形的性质求角度【例16】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，△ABC∽△A'B'C'A．65° B．66° C．67° D．68°【变式16-1】（2024秋•新化县期末）如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（）A．30° B．56° C．86° D．94°【变式16-2】（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，△ABC∽△ACP，若∠A=60°，∠题型题型十七由相似三角形的性质求线段长【例17】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=10,AC=8A．3 B．4 C．94 D．【变式17-1】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知△ABC∽△EBD，点A，B，E在同一条直线上，点D在边BC上．若AB=3，BC=6，BEA．3 B．3.5 C．4 D．5【变式17-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，△ABC∽△ADE，S△ABCA．2 B．22 C．32 D题型题型十八由相似三角形的性质求周长【例18】（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知△ABC的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的△DEF，其最短边为15，则A．45 B．48 C．51 D．54【变式18-1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠BAD=∠BCA若AB=5，BC=8，△ABDA．20 B．25.5 C．30 D．35.5【变式18-2】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）将一副三角板按图叠放，则△AOB与△A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．题型题型十九由相似三角形的性质求面积【例19】（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，点D，E，F分别是△ABC三边上的中点，若△ABC的面积为12，则△DEFA．3 B．4 C．6 D．8【变式19-1】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，点O是△ABC的两条中线CD和BE的交点，连接DE，则S△DOEA．12 B．13 C．14【变式19-2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC,BC边上的点，且DE∥AB，CDAD=2:1，△题型题型二十相似三角形的性质与判定的综合【例20】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知∠BAC=∠DAE

(1)求证：△ABD(2)若ABAC=32，【变式20-1】（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠（1）求证：∠DAC＝∠B；（2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长．【变式20-2】（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B．求证：（1）△BDE～△CFD；（2）DF2＝EF•CF．题型题型二十一相似三角形与动点问题【例21】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，AB=9，BC=7，点D在边AB上，且BD=2，点E在BC上，当BE=时，以B，D【变式21-1】如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP＝．【变式21-2】（2024秋•安阳期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，现有动点P从点C出发，沿CA向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求：（1）用含t的代数式表示CP＝，CQ＝；（2）当t为多少时，PQ的长度等于61（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？题型题型二十二相似三角形的实际应用问题【例22】（24-25九年级下·广东梅州·阶段练习）小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=2米，BPA．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米【变式22-1】（2025八年级下·山东·专题练习）小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度AB=4m，人与标杆的水平距离BC=2m，人的眼睛距离地面的高度CD=1.6m，标杆与旗杆的水平距离A．12m B．12.8m C．13.6m【变式22-2】（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度MN，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点B，当在正前方1.5米（即BC=1.5米）的点C放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点M，此时测得王磊的眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点D处竖立一根高2米的标杆DE，城墙的影子顶端与标杆DE的影子顶端恰好重合于点F，此时测得DF=4米，BD=6.5米，已知图中所有点均在同一平面内，MN⊥NF，AB⊥NF，ED⊥NF，点N、C题型题型二十三位似的相关概念【例23】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（

）A． B． C． D．【变式23-1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得△ABC与△DEF是位似图形的有（A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④【变式23-2】（2025·河北·模拟预测）将△ABC的各边按如图所示的方式向外等距离扩1cm，得到Ⅰ：△ABC与△PNMⅡ：△ABC与△下列判断正确的是（

）A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确C．1，Ⅱ都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确题型题型二十四位似中心的确定【例24】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，△ABC与△A'A．点M B．点N C．点Q D．点PA．P1 B．P2 C．P3【变式24-2】（2025·浙江·二模）已知△ABC和△A'B'C'是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为A1,2，B3,4，C2,1 B．1,2 C．0,0 D．3,4题型题型二十五位似的性质的运用【例25】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1:3，下列说法错误的是（A．AB:DE=1:3 B．若C．OAOD=OC【变式25-1】（2025·浙江温州·三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且OBOF=12．若四边形ABCD的面积为A．34 B．6 C．12 D．【变式25-2】（23-24九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是位似图形，位似比为23，且四边形A．16 B．24 C．54 D．81题型题型二十六求位似图形的坐标【例26】（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A-3,2，B-A．4,-6 B．6,-4 C．6,-5 D．-【变式26-1】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'BA．-8,-4 B．-8,4 C．8,-4 D．-【变式26-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知B(2,1),△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，且ABDE=A．(9,4) B．(9,3) C．(6,2) D．(6,3)题型题型二十七平面坐标系中的位似变换【例27】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(1)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△(2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA2B(3)判断△O1A1B【变式27-1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A2,8，B4,4(1)以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1，使得(2)在（1）的条件下，△A1B1C(3)若点Ma,b为△ABC上一点，写出点M的对应点【变式27-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）如图，△OBC在平面直角坐标系内的顶点坐标分别为B-3,6(1)以原点O为位似中心，在第四象限画出△OB'C'，使△OBC与△OB'C'(2)写出点B的对应点B'的坐标B'（_______，(3)△OB'C'题型题型二十八相似三角形的综合题【例28】（2025·山东泰安·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥BC交BC于点E，作∠BCF交DE于点(1)求∠AFC(2)探究线段CD，(3)若DG=2GE，求【变式28-1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）在△ABC中，动点M在边AC上从点A向终点C运动，同时点N在边CB上从点C向终点B运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，BM【特例初探】（1）如图1，若△ABC为等边三角形，点M和点N以同样的速度运动，则在此运动过程中，∠APB的度数始终为【类比探究】（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形，斜边为AC，点M的速度为1，点N的速度为2，则在此运动过程中，∠【总结提升】（3）如图3，若△ABC为等腰三角形，底边为AC，且ACAB=n，∠C=α，点M的速度为v，点N的速度为nv，则在此运动过程中，请直接写出用含有n【变式28-2】（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，AB=5，在AD上取一点E，使得AE=3,以AE为边作正方形AEFG，连接问题发现：（1）BECF的值是；直线BE，CF所夹锐角的度数是拓展探究：（2）如图2，正方形AEFG绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由；解决问题：（3）在旋转过程中，当点E到直线AB的距离为2时，请直接写出CF的长．基础巩固通关测基础巩固通关测1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（

）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，C．2cm，4cm，8cm，18cm D．2cmcm，32．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是（

）A．3000m B．3500m C．5000m3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知a2=b3=A．45 B．54 C．2 D4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．5