专题22.2 相似形（全章分层练习）（基础练）(含答案)-沪科版(2024)九上

专题22.2相似形（全章分层练习）（基础练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．位似图形一定是相似图形B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是2．（2022秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）下列平行线分线段的作图中，不能得到的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·九年级课时练习）如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）A． B． C． D．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图是老师画出的，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

5．（2023春·安徽六安·八年级统考期中）在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或66．（2022春·四川达州·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为BC中点，CD、AE交于点G，则下列结论中不一定正确的是（

）A．AG＝2EG B．C． D．△ADG的面积和四边形BEGD的面积相等7．（2022秋·四川·九年级校考期末）如图，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC=90°，已知AC=5，AD=3，DE交AB于点P，当时，则S△AEP：S△BDP的值为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，延长至点，延长至点，使得经过点，若，，则的长为（）A． B． C． D．9．（2023·四川·九年级专题练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（

）

A． B． C． D．10．（2022秋·四川攀枝花·九年级校联考期末）如图，△ABC三边AB、AC、BC的中点分别D、E、F，连接得四边形DEFB，它的面积记作为S1，取△EFC三边中点D1、E1、F1，连接得四边形D1E1F1F，它的面积记作S2，取△E1F1C三边的中点，D2、E2、F2，连接得四边形D2E2F2F1，它的面积记作S3，…，按规律依次作图，若△ABC的面积为1，则四边形D5E5F5F4的面积S6为（）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）已知，则．12．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考阶段练习）已知中，直角边，为斜边上的中线，点为边上任意一点，分别以点、点为圆心，以长和长为半径作弧，两弧交于点，若点恰好落在上，则．13．（2022秋·四川成都·九年级校考期中）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一张以为边的矩形纸片，边上一点，沿着直线对折，点落在点处，矩形恰好能沿直线和直线剪掉两个直角三角形，剩下的四边形纸片，如图所示，其中，，，则矩形纸片的边的长为．15．（2023·广东汕头·汕头市金禧中学校考一模）如图，A，B，C，D，E五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上．若于点F，且，则的长为．16．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则．17．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为．

18．（2021·四川成都·三模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD长cm．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且于F．（1）求证：△BEF∽△CFG；（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．20．（8分）（2023春·安徽安庆·九年级校考阶段练习）如图，为内一点，过点作，的平行线分别交于点，，连接并延长交于点．（1）求证：．（2）若，求证：．21．（10分）（2023·上海·九年级假期作业）如图，和中，AD和BE是的高，和是的高，且，，求证：．22．（10分）（2022春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．（1）直线BD和CE的位置关系是；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．23．（10分）（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴相交于点，与直线相交于点，点的横坐标为，点为轴上一动点，横坐标为．（1）求直线的表达式；（2）过作轴的平行线，分别交直线，直线于点，连接，①当时，求的长；②当时，请直接写出的值；（3）若点在线段上，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．24．（12分）（2023秋·四川成都·九年级统考期末）坐落于天府新区兴隆湖的湖畔书店被喻为成都最美水下书店，像一本从天上掉下的书，书店由水下和水上两个部分组成．阳阳想要测出水上部分的高度，则在书房水上部分的底端B的同水平面C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，看到书房顶端A在镜子中的像与标记C重合．已知B，C，E在同一直线上，阳阳的眼睛离地面的高度，求书房水上部分的高度．参考答案1．B【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可．解：A．位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意；B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似，故选项错误，符合题意；C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是，故选项正确，不符合题意；D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是，故选项正确，不符合题意．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决此题的关键．2．A【分析】由平行线分线段成比例可以写出比例式，转化为等积式判断即可．解：A.由作图可知，即，符合题意；B.由作图可知，即，不符合题意；C.由作图可知，即，不符合题意；D.由作图可知，即，不符合题意．故选A．【点拨】本题考查平行线分线段成比例，理解平行线所截线段的对应关系是解题的关键．3．C【分析】先根据题意，推出，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案．解：，，，，，，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．4．C【分析】根据两个三角形相似的判定方法进行判定即可．解：A、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；B、由于，且夹角相等，所以这两个三角形相似；C、不能判定相似；D、由有两个角对应相等的三角形相似即可判定这两个三角形相似；故选：C．【点拨】本题考查了两个三角形相似的判定，掌握相似三角形判定的方法是关键．5．B【分析】根据得出，再根据长方形的性质证得，，从而得到，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．解：由题意知，，四边形为长方形，，，，，，，，设，则，，整理得，，解得，，，即的长应为2或8，故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．6．D【分析】连接，证明，即可判断A、B选项，根据直角三角形斜边上的中线可得，然后判断C选项，根据三角形中线的性质即可判断D选项．解：如图，连接，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为BC中点，AG＝2EG故A选项正确，故B选项正确在Rt△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB故C选项正确△ADG的面积和△BED的面积相等，故D选项不正确，符合题意，故选：D．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．D【分析】先根据题意得到AB=AC=5，∠ADE=∠AED=45°，AE=AD=3，再证明△AEP∽△BDP，，根据平行线的性质推出∠ADB=90°，由勾股定理求出BD的长即可得到答案．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，∴AB=AC=5，∠ADE=∠AED=45°，AE=AD=3，∵，∴△AEP∽△BDP，∴，∵∴∠BDP=∠AED=45°，∵∠ADB=90°，，∴，∴，故选D．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．8．C【分析】由菱形的性质可得，，可得，根据相似三角形的性质即可求解．解：四边形是菱形，，，,，，，，，．故选：C．【点拨】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．9．A【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标为，故选：A．【点拨】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．10．D【分析】如图所示，连接AF，过点D作DP⊥BC于P，证明△BPD∽△BFA，得到，则S1＝CB×AF＝，同理得到，S2＝；…从而推出Sn＝由此即可得到答案．解：如图所示，过A作AF⊥BC于F，过点D作DP⊥BC于P，∵DE、EF是△ABC的中位线，△ABC面积为1，∴BF＝BC，AF⊥BC，∴，∴△BPD∽△BFA，∴，∴∴S1＝CB×AF＝S△ABC=；同理可得，S2＝；…∴Sn＝；∴S6＝．故选：D．【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．/0.2【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．解：由条件得：，则，故答案为：．【点拨】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．12．【分析】由勾股定理求出的长，过点作于，求出，连接，交于点，由作图可知，求出的长，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．解：∵，∴，∵为斜边上的中线，∴，如图所示，过点作于，∵，∴，∴，连接，交于点，由作图可知，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．【分析】根据黄金分割比例进行求解即可．解：∵C是线段AB靠近B的黄金分割点，∴米，故答案为：．【点拨】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．14．/1.6/【分析】根据相似三角形的性质和判定即可求得的长．解：如图所示∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴根据题意可得：，∴，∴，故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意找出线段之间的数量关系是解题的关键．15．【分析】设，，，根据勾股定理计算出，证明，根据相似三角形对应边成比例可得，代入计算即可．解：由图可知，设，，，则，，，又，，，即，解得，，故答案为：．【点拨】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明．16．【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可．解：∵是等边三角形，∴，由折叠的性质可得，设，则，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键．17．/【分析】过点A作，利用等边三角形的性质求出，，，证明，求出，再证明，求出，利用线段的和差即可求出结果．解：如图，过点A作，∵是等边三角形，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是通过相似三角形的性质，找到线段的关系，以此求解．18．2【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．故答案为：2．【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．19．（1）见分析

（2）【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG；（2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG．解：（1）∵ABCD是正方形，于F∴∠B=∠C=∠EFG=∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=∴∠BEF=∠CFG∴△BEF∽△CFG（2）解：∵△BEF∽△CFG∴∴．【点拨】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键．20．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，以及两组对应角对应相等的三角形相似，即可得证；（2）证明，，得到，利用，推出，即可得证．解：（1）证明：∵，∴，∴；（2）证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．21．见分析【分析】根据，，得出，再根据，得出，最后根据相似三角形的性质，即可得出结论．解：证明：，，，，又，，又、分别是、的高，，．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用，解题的关键掌握两边成比例，夹角相等的两个三角形相似；相似三角形高的比等于相似比．22．（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见分析；（3）或．【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．解：（1）BD⊥CE，理由：延长CE交BD于P，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD⊥CE；（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，同（1）可证△ADB≌△AEC．∵∠AEC＝∠BEP，∴∠BPE＝∠EAC＝90°，∵∠PBE＝∠ABD，∴△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴BP＝．②当点E在BA延长线上时，BE＝3，∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，由△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴PB＝，综上所述，PB的长为或．【点拨】本题通过旋转图形的引入，综合考查了三角形全等、三角形相似、直角三角形性质知识点.23．（1）直线的解析式为；（2