2025年高考复数运算题库(含答案)

2025年高考复数运算题库(含答案)1.题目：若复数\(z=1+\sqrt{3}i\)，求\(|z|\)和\(\arg(z)\)。

答案：\(|z|=2\)，\(\arg(z)=\frac{\pi}{3}\)。

解析：复数的模\(|z|\)等于\(\sqrt{a^2+b^2}\)，其中\(a\)和\(b\)分别是复数的实部和虚部。所以\(|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2\)。复数的辐角\(\arg(z)\)是\(\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)，所以\(\arg(z)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\frac{\pi}{3}\)。

2.题目：已知复数\(z_1=2+i\)，\(z_2=32i\)，求\(z_1+z_2\)和\(z_1\cdotz_2\)。

答案：\(z_1+z_2=5i\)，\(z_1\cdotz_2=45i\)。

解析：复数的加法遵循实部相加，虚部相加的原则，所以\(z_1+z_2=(2+3)+(12)i=5i\)。复数的乘法遵循\((a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i\)的原则，所以\(z_1\cdotz_2=(2+i)(32i)=(2\cdot31\cdot2)+(2\cdot(2)+1\cdot3)i=45i\)。

3.题目：已知复数\(z=43i\)，求\(\frac{1}{z}\)。

答案：\(\frac{1}{z}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i\)。

解析：复数的倒数可以通过\(\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}\)来计算，其中\(\bar{z}\)是\(z\)的共轭复数。所以\(\frac{1}{z}=\frac{4+3i}{(43i)(4+3i)}=\frac{4+3i}{16+9}=\frac{4+3i}{25}=\frac{4}{25}+\frac{3}{25}i\)。

4.题目：已知复数\(z_1=1+i\)，\(z_2=2i\)，求\(\frac{z_1}{z_2}\)。

答案：\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i\)。

解析：复数的除法可以通过乘以分母的共轭复数来实现，即\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\cdot\bar{z_2}}{|z_2|^2}\)。所以\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{(1+i)(2+i)}{(2i)(2+i)}=\frac{2+3i+i^2}{4+1}=\frac{1+3i}{5}=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i\)。

5.题目：若复数\(z\)满足\(|z1|=|z+1|\)，求复数\(z\)在复平面上的几何位置。

答案：复数\(z\)在复平面上对应的点位于实轴上，且\(x=0\)。

解析：由于\(|z1|=|z+1|\)，说明复数\(z\)到点\(1\)和\(1\)的距离相等。在复平面上，这表示点\(z\)位于实轴上，且关于原点对称，因此\(x=0\)。

6.题目：已知复数\(z=3+4i\)，求\(|z|^2\)。

答案：\(|z|^2=25\)。

解析：复数的模的平方等于实部的平方加上虚部的平方，所以\(|z|^2=a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25\)。

7.题目：若复数\(z\)满足\(|z2i|=1\)，求复数\(z\)在复平面上的几何位置。

答案：复数\(z\)在复平面上对应的点位于以\((0,2)\)为圆心，半径为1的圆上。

解析：\(|z2i|=1\)表示复数\(z\)到点\(2i\)的距离为1，这表示点\(z\)位于复平面上以\((0,2)\)为圆心，半径为1的圆上。

8.题目：已知复数\(z_1=1i\)，\(z_2=1+i\)，求\(z_1\cdot\overline{z_2}\)。

答案：\(z_1\cdot\overline{z_2}=2\)。

解析：复数\(z_2