山东省济南市2025届中考数学真题（含答案）

第第页山东省济南市2025届中考数学真题一、单选题1．下列各数中为负数的是（）A．3 B．0 C．2 D．−12．如图是由几个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（） A． B． C． D．3．2025年“五一”假期，济南市图书馆推出全民阅读文化市集、集邮展销等活动，累计接待读者96110人次，数据96110用科学记数法表示为（）A．9.611×103 B．96.11×14．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（）A．m2⋅m3=m5 B．6．已知a>b，则下列不等式一定成立的是（）A．a−1<b−1 B．a2<b2 C．7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（）A．∠DAC>∠EBA B．∠DAC<∠EBAC．∠DAC=∠EBA D．∠DAC+∠EBA=60°8．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（）A．14 B．13 C．129．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=32，则线段AE A．1123 B．112 C．5 10．已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)图像的顶点坐标是(−1,n)，且经过(1①关于x的一元二次方程ax②当x>−1时，y的值随x值的增大而减小；③−4④4a−2b+c>0；⑤对于任意实数t，总有t+1at−a+b以上结论正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题11．已知一个正方形的面积为2，则其边长为．12．在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为．13．如图，两条直线l1，l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点B，C，且l1∥l2．当 第13题图 第14题图14．A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间t(ℎ)的关系如图所示，则他们相遇时距离A地km．15．如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG=4，EF=43，则AB=三、解答题16．计算：(π−3)017．解不等式组4−x>2(1−x)x−218．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF=CE．求证：∠AEB=∠CFD．19．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上）（1）求两滑梯的高度差；（2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO=3，OP=5，求AC的长．21．某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：组别成绩/分人数（频数）A0≤x<201B20≤x<405C40≤x<60mD60≤x<8016E80≤x≤10020b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的学生人数；（2）统计表中的m=，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为度；（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为分；（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．（1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．（2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？23．一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(m,6)，与x轴交于点（1）求m，k的值．（2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=1②如图2，M为线段OC上一点，且CM=1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN=45°，求点D的坐标．24．二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(3,1)（1）求二次函数的表达式和顶点G的坐标．（2）如图1，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿x轴方向平移n(n>0)个单位长度得到一个新函数的图象，当0≤x≤3（3）如图2，将二次函数y=x2+bx+c的图象沿直线AB平移，点A，G的对应点分别为A'，G'，连接AG'，A'G，线段A25．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点O为AC的中点．在Rt△DBE中，∠DBE=90°，DB=3，BE=4，连接EO并延长到点F，使OF=EO，连接AF．

（1）【初步感知】如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，请完成填空：∠DAF=°；ADAF=（2）【深入探究】如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α(0°<α<90°)，连接AD，CE，AE，CF．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A：3＞0为正数，所以A不符合题意；

B：0既不是正数，也不是负数，所以B不符合题意；

C：2＞0是正数，所以C不符合题意；

D：-1＜0是负数，所以D符合题意。故答案为：D.

【分析】根据正负数的意义，可直接得出答案。2．【答案】B【解析】【解答】解：主视图是从正面看几何体，得到的平面图形。

由几何体可画出它的主视图为：

故答案为：B.【分析】根据几何体主视图的意义，正确画出主视图，即可得出答案。3．【答案】C【解析】【解答】解：96110=9.611×104.故答案为：C.

【分析】根据大于10的数的科学记数法的规范写法，即可得出答案。4．【答案】B【解析】【解答】解：A：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；

B：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以B符合题意；

C：P平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以C不符合题意；

D：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意；故答案为：B.

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。5．【答案】A【解析】【解答】解：A：m2⋅m3=m2+3=m5，计算正确，所以A符合题意；故答案为：A.【分析】根据同底数幂的乘法法则，可得出A符合题意；根据同底数幂的除法法则，可得出B不符合题意；根据同类项定义可得出C不正确；

D：根据幂的乘方可得出计算不正确，所以D不符合题意。6．【答案】D【解析】【解答】解：A：因为a＞b，所以a-1＞b-1，所以A不成立；

B：因为a＞b，所以a2＞b2，所以B不成立；故答案为：D.【分析】根据不等式的基本性质，逐项进行推导，即可得出答案。7．【答案】C【解析】【解答】解：根据SAS，结合网格可得出△ADG~△BEH，进而得出∠DAC=∠EBA，且∠DAC=∠EBA≠30°，所以A，B，D不正确，C正确；

故答案为：C.

【分析】首先结合网格，根据相似三角形的判定，可得出△ADG~△BEH，即可得出∠DAC=∠EBA，且根据直角三角形边长之比可得出∠DAC=∠EBA≠30°，即可得出答案。8．【答案】A【解析】【解答】解：树状图分析如下：

有树状图可知：所有机会均等的结果有16种，其中小明和小亮恰好选到同一种营养套餐的情况有4种，故而得出恰好选到同一种营养套餐的概率是：416=1

【分析】首先用树状图进行分析，然后根据概率计算公式，即可得出答案。9．【答案】D【解析】【解答】解：连接DE，

由作法得CD平分∠ACB，

∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)，

∵EF垂直平分CD，

∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，

∴∠ECD=∠EDC，

∴∠FCD=∠EDC，

∴DE//BC，

∴△ADE~△ABC

∴ADAB=DEBC=AEAC，

∵AD=4，DB=2，BC=32，

∴44+2=DE32，

∴DE=22，

∴故答案为：D.

【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出△ADE~△ABC，进而ADAB10．【答案】A【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1，0).(0，m)两点，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，

∴a<0，抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(-3，0)

图象如下所示

：令y=n-1，即把y=n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，

∴当x>-1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意；

∵抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(3，0)，

∴二次函数为y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，

∴m=-3a，

∵3<m<4．

∴3<-3a<4，

解得−43<a＜-1，故③正确，符合题意，

结合函数图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故④正确，符合题意，

∵x=−b2a=−1

∴b=2a，

.(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)

=a(t+1)(t+1)

=a(t+1)2.

∵a<0，(t+1)2>0，

∴a(t+1)2<0.

即⑤正确，符合题意，

【分析】次函数y=ax2+bc+c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n)，且经过(1，0).(0，m)两点，把y=n向下平移一个单位，再结合函数图象可知ax2+bx十c=n-1(a≠0)有两个不相等的实数根，故ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；①正确，符合题意；根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，可得出②正确；由图象知抛物线与x轴的交点为：(1，0)和(3，0)，故而得出二次函数为y=a(x-1)(x+3)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，可得出m=-3a，根据3<m<4，即可得出③正确；结合函数图象可得出当x=-2时，y=4a-2b+c>0，故④正确；再根据抛物线的对称轴，可推导得出⑤正确，综上即可得出答案。11．【答案】2【解析】【解答】解：设正方形的边长为a（a＞0），

∴a2=2，

∴a=2.故答案为：2.

【分析】根据正方形的面积计算公式及算术平方根的性质，即可求得答案。12．【答案】2【解析】【解答】解：P红球=22+3+4故答案为：29

【分析】根据概率计算公式，即可得出答案，13．【答案】97【解析】【解答】解：根据多边形计算公式可得出正六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，

∴∠ABC=720°6=120°，

∵∠1=37°，

∴∠3=83°，

∵l1∥

故答案为：97.

【分析】首先根据多边形内角和计算公式可得出正六边形内角和为720°，进而根据正六边形的性质得出∠ABC=120°，进而得出∠3的度数，再根据平行线的性质得出∠2的度数即可。14．【答案】300【解析】【解答】解：根据图象可得出甲的速度为：302=15，乙的速度为：100-80=20，

设他们相遇时间为出发t小时，则：（15+20）t=100，解得：t=10035=207，

∴他们相遇时距离A地：15×故答案为：3007

【分析】根据图像中的关键点，可得出甲，乙的速度，然后根据相遇问题可列出方程，求得相遇时的时间，进而根据他们的速度，即可得出相遇时离A地的距离。15．【答案】2+2【解析】【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，

则∠FNA=∠FNE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，

∴四边形ABFN是矩形，

∴NF=AB=AD，

由折叠可知AG⊥EF，

∴∠GAE+∠AEF=∠NFE+∠AEF=90°

.∠GAE=∠NFE，

又∵∠FNE=∠D=90°，

∴△ADG≌△FNE(ASA).

∴AG=EF，

∴EF=43

∴AG=EF=43，

设正方形边长为x，则AB=AD=CD=x，

∵CG=4，

∴DG=CD-CG=x-4，

在Rt△ADG中，AG2=DG2+AD2，

即（x-4)2+x2=(43)2，

解得：x=2+25或x=2-25(不合题意舍去），

∴AB=2+25.

故答案为：2+25.

【分析】如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，首先根据ASA可证得△ADG≌△FNE，可得出AG=EF=43，设正方形边长为x，在Rt△ADG中，AG2=DG2+AD2，根据勾股定理可得：（x-4)2+x2=(43)16．【答案】解：原式=1+2+5+2×=8+=8−【解析】【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，算术平方根的性质以及45°角的正弦值进行化简，然后再合并同类二次根式即可求出答案。17．【答案】解：解不等式①，得x>−2，解不等式②，得x<4原不等式组的解集是−2<x<4∴整数解为−1，0，1，2，3【解析】【分析】首先分别解两个不等式得出解集，再求出它们解集的公共部分即可得出不等式组的解集，进而得出它的所有整数解即可。18．【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AD∥BC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠DAE=∠CFD，∴∠AEB=∠CFD．【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，可得出∠DAE=∠AEB，再根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，可得出AE∥CF，得出∠DAE=∠CFD，进而即可得出结论。19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴AC=AB×sin∴AC−DF=13.答：两滑梯高度差为2（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴BC=ABcos∠B=ABcos40°≈21×0.766=16.086m，在Rt△EFD中，∠DEF=90°，∠DEF=32°，∴EF=DF∴BE=BC+CF+EF=16答：BE长36.【解析】【分析】（1）首先在Rt△ABC中，解直角三角形求得AC的长度，进而求得AC-DF即可；

（2）分别解直角三角形ABC和直角三角形DEF求得BC和EF，进而求得BC+CF+EF即可。20．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，∴∠COP=∠BOP，在△COP和△BOP中，OC=OB∴△COP≌△BOPSAS∴∠OCP=∠OBP=90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）解：如图，连接BC交OP于点D，

∵△COP≌△BOP，∴PC=PB，OB=OC，∴OP垂直平分BC，∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，∴BP=O∵S∴BD=OB⋅BP∴BC=2BD=24∵AB是⊙O的直径，∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，∴AC=【解析】【分析】（1）如图，连接OC，根据SAS可证明△COP≌△BOP，从而得出∠OCP=∠OBP=90°，进而根据切线的判定定理得出结论；

（2）根据△COP≌△BOP，可得出OP垂直平分BC，根据勾股定理可求得BP的长度，进而根据面积法可得出BD的长，进而得出BC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，进而根据勾股定理即可得出AC的长。21．【答案】（1）解：5÷10%即随机抽取的学生人数为50人；（2）8；144（3）70（4）解：800×16+20即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人．【解析】【解答】解：（2）解：m=50−1−5−16−20=8，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：2050故答案为：8，144；（3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数，∵1+5+8<25，1+5+8+16>26，∴第25和26人在D组，结合D组数据可得第25和26人成绩均为70分，∴抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分，故答案为：70；

【分析】（1）根据B组人数及B组所占的百分比，即可列式计算，得出抽取的总人数；

（2）从抽取的综合人数里边减去其他各组人数，即可得出C组人数，即m的值；并用360°乘以B组所占的百分比，即可得出扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角；

（3）根据中位数的定义及各组的人数，首先确定中位数在D，然后根据A，B，C组的人数及D组的具体成绩排序，找到第25和26人成绩即可得出中位数；

（4）体育测试成绩达到60分及以上的学生，也就是D组和E组的学生，首先根据抽取的学生，求出这两组所占的百分比，进而即可估计该校八年级800名学生中体育测试成绩达到60分及以上的学生人数．22．【答案】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为(x+300)元，根据题意，得50000x解得x=2500，经检验，x=2500是原方程的根．此时x+300=2800，答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．（2）解：根据题意，甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为(20−a)个，且a≤320−a即a≤15根据题意，得w=280020−a由k=−300<0，得w随a的增大而减小，故当a=15时，w取得最小值，且最小值为w=−300×15+56000=51500（元），故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．【解析】【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为(x+300)元，根据用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．即可得出方程50000x=56000x+300，解方程并进行检验，即可得出答案；

（2）设甲型健身器材买了a个，则购买乙型健身器材数量为(20−a)个，根据甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，可得出不等式a≤320−a，解得a≤15，且a为正整数，设采购费用为w，即可得出w=280020−a+2500a=−300a+5600023．【答案】（1）解：由题意可知，点A(m,6)在一次函数6=2m+4，解得m=1，∵点A(1,6)在反比例函数∴6=k1，解得则m=1，k=6；（2）解：①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图，则∠AME=∠AND=90°，∴ME∥ND，∴△MAE∽△NAD，∴AMAN∵点D的横坐标为4，∴点D的纵坐标为y=6∵AEED∴AEAD∴AMAN∵xD∴DN=3，则ME3=1∴xE∵yA∴AN=6−3∴AM92=则yE那么，点E(2,②一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点C，令x=0，则y=4，∴C(0,∵CM=1，∴M(0,过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图，则∠AGC=∠CKP=90°，∵∠GAC+∠ACG=∠ACG+∠PCK=90°，∴∠GAC=∠PCK，∵∠BAN=45°，∴△ACP为等腰直角三角形，∴AC=CP，则△GAC≌△KCP，∵点A(1,6)∴AG=CK=1,∵CM=1，∴点M与点K重合，OM=3，∴点P(2,设直线AN的解析式为y=kx+b(k≠0)，则3=2k+b6=k+b，解得k=−3∴y=−3x+9，设点Nm,−3m+9∵四边形OMDN是平行四边形，∴xD则Dm,−3m+12∵D为反比例函数图象上的一点，∴−3m+12=6m，解得m=2+2∵D的横坐标大于1，∴m=2+2∴−3m+12=−32+故点D【解析】【分析】（1）首先根据点A(m,6)在一次函数y=2x+4的图象上，即可得出m的值；再根据点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，即可得出k的值；

（2）24．【答案】（1）解：将A(3,1)，B(0,9+3b+c=1c=−2解得b=−2c=−2∴y=x∵y=x∴当x=1时，y取最小值，最小值为−3，∴顶点G的坐标为(1,（2）解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：y=x−1−n对称轴为直线x=n+1，∵n>0，∴n+1>1，分情况讨论：①当1<n+1≤32时，即直线x=3与抛物线交点M纵坐标最大，将x=3，y=8代入解析式得8=3−1−n解得n=2±11，与0<n≤②当n+1>32时，即直线x=0与抛物线交点N纵坐标最大，将x=0，y=8代入解析式得8=0−1−n解得n1=−1−11n2综上可知，n=−1+11（3）G'【解析】【解答】解：（3）如图，作BN⊥BM交MG的延长线于点N，作MQ⊥y轴，NP⊥y轴，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A(3,1)，B(0,解得k=1b=−2∴直线AB的解析式为y=x−2，图象沿直线AB平移时，上下与左右平移的距离相等，设向上，向右平移m个单位，∴A'3+m,1+m由平移得AA'=G∴四边形A'∵线段AG'与∴Mm+4∵MQ⊥y轴，NP⊥y轴，BN⊥BM，∴∠MQB=∠BPN=90°，∠MBN=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∠QBM+∠NBP=90°，∴∠QMB=∠PBN，∴Rt△QMB∽Rt△PBN，∵tan∴BN∴BN即PN2+解得PN=m+26，∴Nm+2设直线A'G的解析式为y=kx+b，将A'可得A'G的解析式为将Nm+26,−解得m1=10∴G【分析】（1）首先结合点A(3,1)，B(0,−2)，根据待定系数法即可得出y=x2−2x−2=(x−1)2−3，即可得出顶点G的坐标为(1,−3)；

（2）根据平移规律可得新抛物线解析式为：y=x−1−n2−3，可得出对称轴为直线x=n+1，根据n的取值可以分类讨论①解得n1=−1−11，与n>12矛盾，不合