2024-2025学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

第1页（共1页）2024-2025学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）2sin30°的值等于（）A．1 B． C． D．22．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣8的对称轴是（）A．y轴 B．x轴 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣43．（4分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．（4分）如图，沿着斜坡BC前进10米，实际上升高度为6米（）A．3：5 B．3：4 C．1：2 D．1：35．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的部分图象与x轴交于点（﹣2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝26．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，CB交于点E，F，下列结论错误的是（）A．△ADG∽△FCG B．△ADE∽△FBE C．△ABE∽△GDE D．△ABF∽△GDE7．（4分）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，则sinA的值为（）A． B． C． D．8．（4分）抛物线y＝kx2﹣2（k是常数且k≠0）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．9．（4分）如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A2＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于C，A，则下列结论正确的是（）A．sin∠OAC＝cos∠BAC B．tan∠OCA＝tan∠OBA C．sin∠OCA＝cos∠OAB D．sin∠OAB＝cos∠OAC10．（4分）如图，AC与BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB＝90°，，，则BD的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若锐角α满足tan（α+15°）＝1，则cosα＝12．（5分）如图，A，B是双曲线（k是常数且k≠0）上两点，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则k的值为．13．（5分）如图，为了测量河宽，从A处测得对岸C的夹角∠BAC＝60°，点A和点B位于点C的两侧，测得米米．14．（5分）已知抛物线y＝mx2+nx﹣5m（m，n是实数且m≠0）经过（2，1）．（1）若m＝1，则该抛物线的顶点坐标为；（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，则代数式n2﹣2m+3的最小值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：4sin245°﹣tan260°+（tan67°+sin34°）0．16．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠C的对边，∠B＝60°，解这个直角三角形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1；（2）若△A2B2C2与（1）中的△A1B1C1是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限．①画出△A2B2C2；②＝．18．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象与双曲线（n是常数且n≠0）（m，2）、B（2，﹣4）两点（1）求m，n，k，b的值；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出不等式组的解集：．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，CD是△ABC的高线，E是BC上一点，若CD＝9，．（1）求AE的长；（2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值．20．（10分）某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如表，请你帮助兴趣小组解决问题．活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程①如图，在楼AD和楼BF之间竖直放置测角仪GH；②利用测角仪测出楼顶A的仰角∠AGC＝68.2°，楼顶B的仰角∠BGE＝45°；③利用皮尺测出DH＝30米，FH＝60米．测量图示解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离．备注说明其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．参考数据sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，某一海域有4个小岛A，B，C，D，其中小岛B，C，经测量，小岛A位于小岛B北偏东45°且小岛A位于小岛C北偏东15°（1）求小岛A和小岛C之间的距离AC的长；（结果保留根号）（2）若小岛D位于小岛A东偏南60°方向，求小岛A与小岛D之间的距离AD的长．（参考数据：，；结果精确到0.01海里）七、（本题满分12分）22．（12分）在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点，已知DP＝PQ，连接DQ，BQ．（1）如图1，证明：；（2）连接AC交DP于点E，DQ和PQ分别交BC于点F，G．①如图2，若P是AB的中点，证明：PG＝QG；②如图3，连接EF，判断EF与PQ之间的位置关系并加以证明．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于A，B两点（0，4），已知tan∠BAC＝4，tan∠ABC＝1．（1）如图1，求该抛物线的表达式；（2）如图2，P是直线BC上方抛物线上一点，AP与y轴、BC分别交于D①若S△BPD＝2S△ABD，求点P的坐标；②求S△PBE﹣S△ACE的最大值．

2024-2025学年安徽省合肥市庐阳中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AABBCDDADA一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．（4分）2sin30°的值等于（）A．1 B． C． D．2【解答】解：2sin30°＝2×＝1．故选：A．2．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣8的对称轴是（）A．y轴 B．x轴 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4【解答】解：抛物线对称轴为直线．∴对称轴为y轴．故选：A．3．（4分）若反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），∴﹣8＝2k﹣6，解得，k＝8．故选：B．4．（4分）如图，沿着斜坡BC前进10米，实际上升高度为6米（）A．3：5 B．3：4 C．1：2 D．1：3【解答】解：沿着斜坡BC前进10米，实际上升高度为6米水平距离为：（米），∴坡度；故选：B．5．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的部分图象与x轴交于点（﹣2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2【解答】解：根据图象可知抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），∴方程ax4+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝4，故选：C．6．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，G是DC的延长线上一点，CB交于点E，F，下列结论错误的是（）A．△ADG∽△FCG B．△ADE∽△FBE C．△ABE∽△GDE D．△ABF∽△GDE【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△FCG，故该选项正确，不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，故该选项正确，不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴△ABE∽△GDE，故该选项正确，不符合题意；D、无法证明△ABF∽△GDE，故该选项符合题意；故选：D．7．（4分）如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，则sinA的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接DE，  ∵DE＝，AD＝2，∴DE2+AD2＝4+8＝10＝AE2，∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形，∴，故选：D．8．（4分）抛物线y＝kx2﹣2（k是常数且k≠0）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：分两种情况讨论：当k＞0时，反比例函数在第一，而二次函数y＝kx2﹣2开口向上，顶点在y轴上，﹣2）；当k＜0时，反比例函数在第二，而二次函数y＝kx5﹣2开口向下，顶点在y轴上，﹣2），故选：A．9．（4分）如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A2＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于C，A，则下列结论正确的是（）A．sin∠OAC＝cos∠BAC B．tan∠OCA＝tan∠OBA C．sin∠OCA＝cos∠OAB D．sin∠OAB＝cos∠OAC【解答】解：令x＝0，则y1＝y8＝2，∴A（0，6），∴OA＝2﹣0＝2，令y1＝0，则，解得：x＝4，∴B（4，2），∴OB＝4﹣0＝7，令y2＝0，则﹣7x+2＝0，解得：x＝2，∴C（1，0），∴OC＝8﹣0＝1，∴BC＝OB﹣OC＝7﹣1＝3，∴AC＝AB＝2，∴sin∠OAC＝，如图，过点C作CE⊥AB于点E，∵，∴CE＝＝，∴AE＝，∴，∴sin∠OAC≠cos∠BAC，故选项A不符合题意；∵，，∴tan∠OCA≠tan∠OBA，故选项B不符合题意；∵，，∴sin∠OCA≠cos∠OAB，故选项C不符合题意；∵，，∴sin∠OAB＝cos∠OAC，故选项D符合题意；故选：D．10．（4分）如图，AC与BD是四边形ABCD的对角线，∠ACB＝90°，，，则BD的最大值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点C作CE⊥CD，使，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△EBC∽△DAC，∴，∴，由勾股定理得，在△BDE中，由三边关系，等号成立），故BD的最大值＝．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）若锐角α满足tan（α+15°）＝1，则cosα＝【解答】解：∵tan（α+15°）＝tan45°＝1，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，∴cosα＝cos30°＝．12．（5分）如图，A，B是双曲线（k是常数且k≠0）上两点，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则k的值为10．【解答】解：设点A坐标为，∴由双曲线的对称性可知，点B坐标为，∴BC＝xA﹣（﹣xA）＝2xA，，∴，∴k＝10，故答案为：10．13．（5分）如图，为了测量河宽，从A处测得对岸C的夹角∠BAC＝60°，点A和点B位于点C的两侧，测得米米．【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，设CD＝x米，则BD＝CD＝x米，∴，∴，∴，解得：，∴点C到AB的距离为米．故答案为：．14．（5分）已知抛物线y＝mx2+nx﹣5m（m，n是实数且m≠0）经过（2，1）．（1）若m＝1，则该抛物线的顶点坐标为；（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，则代数式n2﹣2m+3的最小值为5．【解答】解：（1）∵将点（2，1）3+2n﹣5＝8，解得n＝1，∴，∴顶点坐标为，故答案为：；（2）由条件可知4m+7n﹣5m＝1，∴m＝7n﹣1，当x≥0时，总有y随x的增大而减小，∴m＜7，，∴n≤4，2n﹣1＜3，∴n≤0，∵n2﹣3m+3＝n2﹣6（2n﹣1）+4＝n2﹣4n+2，∴直线n＝2是对称轴，∴当n≤0时，n4﹣2m+3随n增大而减小，∴当n＝4时，函数取得最小值为5，即n2﹣7m+3的最小值是5．故答案为：5．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：4sin245°﹣tan260°+（tan67°+sin34°）0．【解答】解：4sin245°﹣tan660°+（tan67°+sin34°）0＝＝4×﹣7+1＝2﹣4+1＝0．16．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠C的对边，∠B＝60°，解这个直角三角形．【解答】解：由条件可知∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴c＝2a＝2×5＝10，b＝tan60°×5＝5．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点都在网格点上（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，画出△A1B1C1；（2）若△A2B2C2与（1）中的△A1B1C1是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为2：1，且△A2B2C2位于第四象限．①画出△A2B2C2；②＝1：4．【解答】解：（1）△A1B1C8如图所示；（2）①△A2B2C3如图所示；②由轴对称性质知，∵△A2B2C2与△A1B1C6的位似比为2：1，∴，故答案为：1：4．18．（8分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象与双曲线（n是常数且n≠0）（m，2）、B（2，﹣4）两点（1）求m，n，k，b的值；（2）求△AOC的面积；（3）直接写出不等式组的解集：﹣4＜x＜﹣2．【解答】解：（1）∵点A（m，2），﹣4）在双曲线上，∴n＝5m＝2×（﹣4），∴m＝﹣6，n＝﹣8，∴A（﹣4，7），∵点A（﹣4，2），﹣7）在一次函数y＝kx+b上，∴，解得：；（2）如图，过点A作AD⊥OC于点D，由点A（﹣4，2）可知AD＝7，由（1）得在一次函数y＝﹣x﹣2，∴C（﹣2，7），∴S△AOC＝＝2；（3）∵点A（﹣3，2），0），结合函数图象可得不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，CD是△ABC的高线，E是BC上一点，若CD＝9，．（1）求AE的长；（2）若AE＝BE，求tan∠ACD的值．【解答】解：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB于点F，∵CD是△ABC的高线，∴CD⊥AB，∴CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，又∵BE＝2CE，∴，可得：，解得：EF＝6，在Rt△AEF中，，∴，解得：AE＝8；（2）由（1）可得：BE＝AE＝7，EF＝6，∴，∴EF是AB的垂直平分线，∴，∴，∴，∴AD＝4﹣8，∴．20．（10分）某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如表，请你帮助兴趣小组解决问题．活动课题测量两幢教学楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测量过程①如图，在楼AD和楼BF之间竖直放置测角仪GH；②利用测角仪测出楼顶A的仰角∠AGC＝68.2°，楼顶B的仰角∠BGE＝45°；③利用皮尺测出DH＝30米，FH＝60米．测量图示解决问题根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离．备注说明其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．参考数据sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.50，．【解答】解：DH＝30米，FH＝60米，过点B作BM⊥AD，∴四边形CDHG、四边形EFHG和四边形BECM都是矩形，∴CG＝DH＝30米，GE＝FH＝60米，在Rt△ACG中，AC＝CG×tan∠AGC＝30×tan68.2°≈30×2.50＝75（米），在Rt△BEG中，BE＝GE＝60米，∴AM＝AC﹣BE＝75﹣60＝15（米），在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝，答：两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米．六、（本题满分12分）21．（12分）如图，某一海域有4个小岛A，B，C，D，其中小岛B，C，经测量，小岛A位于小岛B北偏东45°且小岛A位于小岛C北偏东15°（1）求小岛A和小岛C之间的距离AC的长；（结果保留根号）（2）若小岛D位于小岛A东偏南60°方向，求小岛A与小岛D之间的距离AD的长．（参考数据：，；结果精确到0.01海里）【解答】解：（1）小岛A位于小岛B北偏东45°且小岛A位于小岛C北偏东15°，如图1．∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴（海里）．由题意可知∠ACD＝90°﹣15°＝75°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝75°﹣45°＝30°．在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，则（海里）．答：小岛A和小岛C之间的距离AC的长为海里；（2）如图6，过点C作CF⊥AD于点F，由题意可知∠DAG＝60°，则∠D＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠D＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴（海里），在Rt△CDF中，，∴（海里）．答：小岛A与小岛D之间的距离AD的长约为18.93海里．七、（本题满分12分）22．（12分）在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点，已知DP＝PQ，连接DQ，BQ．（1）如图1，证明：；（2）连接AC交DP于点E，DQ和PQ分别交BC于点F，G．①如图2，若P是AB的中点，证明：PG＝QG；②如图3，连接EF，判断EF与PQ之间的位置关系并加以证明．【解答】（1）证明：如图1，连接BD．∵DP＝PQ且DP⊥PQ，∴△DPQ是等腰直角三角形，∴∠PDQ＝45°，，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠ADB＝45°，，∴，∴∠ADP＝∠BDQ，∴△ADP∽△BDQ，∴；（2）证明：①如图2，