高数辅导讲义数一做题本

第1页，共148页 第2节 4 第一节重极限、连续、偏导数、全微分（ 第2页，共148页）【P6-例3】设f(xg(x试求f(g(x)),g(f(x)).第3页，共148页【P6-例1】已知函数在（0,+∞）上有界，则α的取值范围应为（）【P7－例2】以下四个命题中正确的是（）第4页，共148页（1）若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数；（2）若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞n→∞第5页，共148页【P13-例3】设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0,2n，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的（第6页，共148页【P18-例2】求极限.第7页，共148页【P20-例2】求极限.第8页，共148页【P22-例4】求极限.【P22-例5】求极限.【P23－例6】.第9页，共148页第10页，共148页【P25-例2】求极限x【P25-例3】求极限x-x2ln.第11页，共148页【P26-例4】x.【P26例】求极限limlnxln1-x.x→1第12页，共148页a-b.(D)eb-a.【P28-例4】求极限.第13页，共148页【P29-例】求极限.【P30-例2】求极限n.第14页，共148页第15页，共148页【P32-例4】求极限【P32-例5】设xn,则xn=________.论求下列极限。第16页，共148页第17页，共148页极限。【P35-例2】设x求极限xn.第18页，共148页n→∞xn−xn+1明xn存在且是方程f(x)=x的唯一实根。第19页，共148页第20页，共148页【P39-例1】把x→0+时的无穷小cost2dttandt,Ysint3dt进行排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列顺序是（）(A)α,β,Y.(B)α,Y,β.(C)β,α,Y.(D)β,Y,α.【P40-例2】当x→0时，下列无穷小中最高阶第21页，共148页【P41-例3】当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（)【P42-例5】已知x→0时，e-x2-cosx与axn是等价无穷小，则（）第22页，共148页【P43-例6】已知{xn},{yn}满足：x1=yxn+1=sinxn）f(x)≠0,φ(x)有间断点，则（）第23页，共148页【P45-例3】讨论函数f的连续性并指出间断点类型。【P46-例4】函数f的可去间断点的个数为（）【P46-例5】求极限记此极限为f(x)求函数f(x)的间断点并指出类型。第24页，共148页【P46-例6】求函数f的间断点并指出其类型。使f第25页，共148页第2章一元第26页，共148页【P54-例3】设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则)第27页，共148页【P54-例4】设曲线y=f(x)与y=x2-x在点（1,0)处有公共切线，则nf【P54-例1】设函数f(x)=(ex-1)(e2x-2(A)(-1)n-1(n-1)!.(B)(-1)n(n-1)!.(C)(-1)n-1n!.(D)(-1)nn!.第28页，共148页【P55-例3】设函数f(x)在x=0【P55-例1】设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是（第29页，共148页【P57-例3】设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则f(0)=0是F(x)在x=0可导的（)【P57-例4】函数f(x)=(x2-x-2)x3-x不可导的点的个数是（)【P58-例5】设f(x)在点x=a处可导，则函数f(x)在点x=a处不可导的充分条件第30页，共148页【P60-例1】曲线taney在点(0,0)处的切线方程为________.第31页，共148页【P60-例3】已知曲线的极坐标方程是r=1-cosθ,求该曲线上对应于处的切线和法线的直角坐标方程。第32页，共148页【P61-例2】已知y=ff,=arctanx2,则x=0=________.【P61-例3】设f(x若y=f(g(x)),则（)第33页，共148页【P62-例1】设y=y(x)由y=t第34页，共148页,第35页，共148页【P64-例2】设y,求y,.第36页，共148页【P65-例1】设f,求f(n)(x).【P65-例2】设f(x)=exsinx,求f(n)(x).【P65-例3】设f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x).第37页，共148页【P70-例1】求函数fe-t2dt的单调区间与极值。【P70-例2】设函数y=f(x)由方程y3+xy2+x2y+6=0确定，求f(x)的极值。【P70-例3】设f(x)有二阶连续导数，且f,则（）第38页，共148页【P71-例4】设f(x)二阶导数连续，且(x-1)f,(x)-2(x-1)f,(x)=1-e1-x.试问:【P71-例5】设f(x)二阶可导，且a≠0,试讨论f(x）【P72-例1】设函数f(x)满足关系式f,(x)+f,(x)2=sin第39页，共148页y=y(x)的极值和曲线y=【P73-例3】曲线y的斜渐近线方程为________.【P74-例4】曲线y=exarctan的渐近线条数是（)第40页，共148页2第41页，共148页【P76-例3】已知函数fdtdt,求f(x)的零点个数。第42页，共148页第43页，共148页,第44页，共148页【P80-例4】设,且f,(x)>0,证明：f(第45页，共148页(2)对任意实数λ,存在ξ∈(0,η),使f,(ξ)-λf(ξ)-ξ=1.第46页，共148页,【P85-例6】设函数f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导，且g(x)≠0,f(a)=第47页，共148页使f第48页，共148页ξ,η∈(a,b)使eη-ξf(η)+f,(η)第49页，共148页,第50页，共148页0x1明：maxf,(x)8.0x1第3章第51页，共148页【P94-例1】I.【P95－例2】I.【P95-例3】Idx.【P95－例4】Idx.【P96-例5】dx.第3章第52页，共148页【P97-例8】Idx.9】I.第3章第53页，共148页【P99-例2】若ln为f(x)的一个原函数，求Idx.【P99-例3】设F(x)为f(x)的原函数，且当x0时，F,第54页，共148页【P100-例5】求不定积分dx.【P105-例2】设f(x)连续，且x,则xtsindt=________.第3章第55页，共148页【P106-例4】如图，连续函数y=f(x)在区间-3,-2],[2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2,0],[0,2上的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设Fdt,【P107-例1】Idx.第3章第56页，共148页【P107-例2】Idx.【P107-例3】Ixsinnxdx.n为奇数n为奇数,n为偶数.【P108－例5】Iarcsindx.第57页，共148页【P108-例6】设fdt,计算dx.【P109-例7】设连续函数f(x)在（-∞,+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx，且dx，【P109-例8】Idx.【P110-例9】Isin4xdx.第58页，共148页【P110-例11】设f,(x)=arcsin(x-1)2,f(0)=0,求dx.【P111-例12】若fsinxdx,求f(x).第59页，共148页）EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up4(x),0)【P113-例3】设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（）(A)f(x)是奇函数→F(x)(B)f(x)是偶函数→F(x)(C)f(x)是周期函数→F(x)(D)f(x)是单调增函数→F(x)必第60页，共148页【P113-例4】设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（）(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函【P113-例5】设函数f(xsidt,则()(A)x=π是函数F(x)的跳跃间断点。(B)x=π是函数F(x)的可去间断点。(C)F(x)在x=π处连续但不可导。(D)F(x)在x=π处可导。第61页，共148页【P116-例8】试证：Fsin2ntdt在x0上最大值不超过.dt=x2ex,求f(x).第62页，共148页【P117-例11】设f(t)连续，f(t)>0,f(-t)=f(t).令Fx-tdt,-aa.（2）当x为何值时，F(x)取得（3）若F(x)的最小值可表示为f(a)-a2-1,试求f(t).第63页，共148页【P118-例1】设Idx,Idx,则（）I2I2【P118-例2】设f(x)在[0,1]上连续，第64页，共148页【P119－例4】设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1.第65页，共148页【p123-例1】下列广义积分发散的是（）【p124-例2】若反常积分dx收敛，则（）第66页，共148页）第67页，共148页【p125-例2】计算.【p126-例3】计算dx.【p126-例4】求证：dxdx,并求其值。第3章第68页，共148页【p128-例1】设fdt,求曲线y=f(x)与x轴所围图形的面积。【p129-例2】设平面图形A由x2+y22x与yx所确定，求图形A绕x=2旋转一周所得旋转体的体积。第3章第69页，共148页【P130-例4】设对数螺线r=eθ(0θπ)及射线θ=0和θ=π围成平面图形D.【P130-例5】设星形线求：第70页，共148页【P131-例1】某闸门的形状与大小如下图所示，闸门的上部为矩形ABCD,其中（【P131-例2】一容器的内侧是由曲线y=x2绕y轴旋转而成的曲面，其容积为72πm3，（重力加速度为gm/s2,水的密度为103kg/m3）第71页，共148页【P141-例1】求解下列一阶微分方程。2第72页，共148页(5)求方程y,sec2ytany=x满足条件yx=0=0的特解。第73页，共148页（xxxxx22ax22ax2ax2.2222第74页，共148页（4）设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程y,+p(x)y,+q(x)y=f(x)的解，C1,C2为任意y1y12)y3.y12y2+2y2−2)y3.xex+e2x,y2=xex−e−x,y解，求此方程。2x第75页，共148页通解。【P145-例1】求连续函数f(x),使它满足xdt=f第76页，共148页【P145-例2】设f=sinxdt,其中f(x)为连续函数。求f(x).【P145-例3】设f(x)可导，且满足xdtdt,求f(x).f(x+y)=exf(y)+eyf(x),求f(x).第77页，共148页y=y(x）的反函数。微分方程；第78页，共148页如图4−1),P(x,y)为其上任意一点，弦BP与该曲线围成的面积为x程。第79页，共148页P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围三角形面积记为S1,区间第80页，共148页）【p156-例2】考虑二元函数下面四条性质①f(x,y)在点(x0,y0)处连续。②f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数连续。③f(x,y)在点(x0,y0)处可微。④f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数都存在。）第81页，共148页【P156-例3】二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是（）y→0【P157-例4】如果函数f(x,y)在(0,0)处连续，那么下列命题正确的是（）y→0第82页，共148页''y【P157-例5】设连续函数z=f(x,【P158-例6】设f(x,y)=x−yφ(x,y),其中φ(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，问（1）φ(x,y)应满足什么条件才能使fx'(0,0)和f【P158－例7】设fx'(x0,y0)存在，fy'(x,y)在点(x0,y0)处连续，证明：f(x,y)在点（x0,y0）处可微。第83页，共148页【P160-例2】设f,求fx'(0,0)和fy'(0,0).第84页，共148页f(x,y)等于（)第85页，共148页【P163-例6】设f(x)有连续一阶导数，且有xy−yf(x)dx+f(x)+y2dy=du(x,y)第86页，共148页其中f(u,v)有二阶连续偏导数。第87页，共148页【P165-例4】设f(x,y)可微，又f(0,0)=0,fx'(0,0)=a,fy'(0,0)=b且【P165-例5】设u=f(x,y,z),y=φ(【P165-例6】设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足,又g(x,y)=f,求.第88页，共148页【P165-例7】设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足确定a,b的值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为=0.【P167-例8】设f(u)具有二阶连续导数，而求f(u).第89页，共148页【P168-例10】若对任意t>0有f(tx,ty)=tnf(x,y)，则称函数f(x,y)是n次齐次函数，试证：若f(x,y)可微，则f(x,y)是n次齐次函数xx,y).【P169-例2】设方程F可确定函数z=z(x,y),求和.第90页，共148页【P169-例3】设u=f(x,y,z)有连续一阶偏导数，【P171-例5】设y=f(x,t),且方第91页，共148页【P171-例6】设f(x,y)有二阶连续偏导数，且fy'≠0.证明：对任意常数C,f(x,y)=C为一条直线f2'2f11''−2f1'f'2f12''+f1'2f22''=0.【P174-例2】求函数f(x,y)=xy第92页，共148页【P175-例4】设f(x,y)有二阶连续导数，g(x,y)=f(exy,x2+y2)且证明：g(x,y)在(0,0)取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值。【P176-例5】设z=f(x,y)在点(0,0)第93页，共148页【P176-例6】已知函数f(x,y)在点（0,0）的某个邻域内连续，且）【P177-例1】求函数z=x2y(4−x−y)在直线x+y=6,x轴和y轴【P177-例2】求函数z=x2+y2−12x+16y在x2+y2≤25上的最大值与最小值。第94页，共148页【P180-例5】已知三角形周长为2p,求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大的三角形。第95页，共148页函数为L(x,y)=−x2−4y（完），生产两种产品每千只都需要原料2000kg,求（1）使利润最大的x,y和最大利润；（2）如果原料降至12000kg,【P181-例7】利用条件极值的方法证明：对任意正数a,b第96页，共148页【P185-例2】设区域D为x2+y2R2,则dσ=________.第97页，共148页区域，f(u)为连续函数。【P186-例6】计算dx,其中D由曲第98页，共148页【P186-例7】计算,其中D由x2+y2x+y所确定。x所围成的平面区域。【P188-例9】设二元函数f(x,y计算二重积分f(x,y)dσ,第99页，共148页【P189-例11】设D是全平面，f(x计算.【P190-例12】计算x2+y2−2y,其中D由x2+y2≤4所确定。第100页，共148页【P190-例13】（仅数三）计算min{x,y}e-,其中D为全平面。第101页，共148页【P192-例3】累次积分f(rcosθ,rsinθ)rdr可写成（）第102页，共148页【P192-例4】计算下列累次积分第103页，共148页【P193-例5】设f(x)为连续。证明dxAfdt【P193-例1】设f(x)为连续函数，Fdx,则F,(2)等于（）【P193-例2】设区域D由x2+y2y和x≥0所确定，f(x,y)为D上的连续函数，且fDf(u,v)dudv.求f(x,y).第104页，共148页【P194-例3】设f(t)在[0,+∞)上连续，且满足f=e4πt2+2+y24t2fdxdy,求【P194-例4】设f(x,y)是定义在0x1,第105页，共148页【P195-例5】设f(x,y)在单位圆x2+y2≤1上有连续一阶偏导数，且在边界上取值为零。证明：fdxdy,其中D为圆环域ε2x2+y21,ε>0.导数，在D的边界上取零值，且在D上有M,试证f(x,y)dx第106页，共148页【P196-例1】设I1=cosdσ,I2=cosdσ,I3=cosdσ,其2I2I1I2.【P196-例2】设I则（）I2I2I1I3I1.【P197-例3】设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0证明：dxdx第107页，共148页第108页，共148页【P202-例1】判定下列级数的敛散性。【P203－例2】判定下列级数的敛散性。第109页，共148页【P204-例4】设un为正项级数，下列结论正确的是（）(B)若存在非零常数λ,使mun=λ,第110页，共148页【P205－例1】判定下列级数的敛散性【P206-例1】判定n2tansin的敛散性。第111页，共148页【P206-例2】讨论是绝对收敛，条件收敛还是发散。【P207-例4】设常数λ>0,且级数收敛，则级数第112页，共148页【P208-例6】设级数un收敛，则下列级数必收敛的为（）第113页，共148页【P209－例8】设nan2n敛。【P209－例2】设极限nan存在，第114页，共148页【P210-例3】设f(x)在[a,b]上可导，且f,(x)h<1，对一切x∈[a,b]有af(x)b，令a,b]证明：绝对收敛。∞第115页，共148页【P211-例6】设f(x)在点x=0的某【P215-例1】求下列幂级数的收敛域第116页，共148页为________.【P217-例3】设在x=-2处条件收敛，则n2n在x=ln处（)【P217-例1】将下列函数展开为x的幂级数。第117页，共148页23【P218-例2】将下列函数在指定点处展开为幂级数。第118页，共148页(3)f在x=-1处。【P219-例3】将f(x)=x2ln(1+x)展开为x【P219－例4】设f(x求f(n)(0).【P220-例1】求下列幂级数的和函数。第119页，共148页【P221-例2】求下列常数项级数的和。第120页，共148页敛，并求其和函数。【P226-例1】函数f(x在[-π,π]上展开为傅里叶级数的和函数第121页，共148页【P226-例2】设f(x则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于________.第122页，共148页【P227-例2】将函数f(x)=2+x(-1x1)展开为以2为周期的傅里叶级数，并由此求级【P228-例3】设f(x)=10-x(5x15),将f(x)展成以10为周期的傅里叶级数。第123页，共148页第124页，共148页.rrrrrr第125页，共148页【P233-例2】求过点(-1,0,4)且相交的直线方程。【P234-例1】求过原点且与两直线t及都平行的平面方程。【P235-例2】求过直线L且垂直于平面Π:3x+2y-z-5=0的平面方程。第126页，共148页求其交点，如果不相交求两直线间的距离。【P236-例2】设直线L求与直线L1且相交的直线方程。第127页，共148页【P238-例2】求以曲线r为准线，母线平行于直线x=y=z的柱面方程。【P239－例1】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程：【P239－例2】求直线L绕z轴旋转所得旋转面方程。第128页，共148页【P239－例】求曲线La2在xOy面和xOz面上的投影曲线方程。x2第129页，共148页【P241-例3】在椭球面位于第一卦限的部分上求一点P，使椭球面过点P【P242-例4】已知曲面e2x−z=f,且f可微，证明：该曲面为柱面.程。第130页，共148页）第131页，共148页(C)cosα+2cosβ,其中cosα,cosβ为任一方向l的方向余弦。【P245-例5】设f(x,y)是全平面上的一个可微函数，且,其中p为常数，试证明：f(x,y)在全平面上有最小值。第132页，共148页【P252-例1】计算积分z2dv，其中Ω由曲面x2+y2+z2R2与x2+y2+z22Rz(R>0)所【P252-例2】计算三重积分zdv，其中Ω是由曲面x2+y2+z2z和x2+y2+z22z所第133页，共148页【P253-例3】计算I=dv,其中Ω是由曲线z,绕z轴旋转一周而【P253-例4】计算三重积分2dv,其中Ω:x2x2+y2t2,0zh所确定。求.第134页，共148页【P254-例6】计算Idxdydz.【P254-例2】计算Ids,其中L为曲