2025年人教版七年级数学上册专项复习：有理数与数轴（解析版）

第02讲有理数与数轴

学习目标

课程标准学习目标

①与有理数有关的概念

1.掌握有理数的有关概念，能够对其准确的分类。

②有理数的分类

2.掌握数轴，熟悉数轴的三要素。

③数轴的认识

3.掌握数轴与有理数的关系，能够利用数轴表示数。

④数轴与有理数的关系，数轴上的点的移

4.能够利用数轴解决相关题目。

动。

思维导图

知识清单

知识点01有理数的定义及其分类

1.有理数的概念：

有理数：整数与分数统称为有理数。

整数包含正整数、负整数、0O

分数包含正分数与负分数。

自然数：（）与正整数都是自然数。

非负数包含。与正数。非负整数包含整数和0。

2.有理数的分类:

有理数按照定义分类:

②对有理数进行正确的分类。

【即学即练1】

I.下列说法中，错误的有（）

①-吟是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤。是最小的

有理数；⑥・1是最小的负整数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①-若是负分数；正确；

②1.5不是整数；正确，是分数；

③非负有理数不包括0;错误，0也为有理数；

④整数和分数统称为有理数：王确；

⑤0是最小的有理数；错误，负数也为有理数；

⑥-1是最小的负整数，错误，-1为最大的负整数；

・•・③⑤⑥三项错误.

故选:c.

2.下列说法正确的是()

A.正数、0、负数统称为有理数

B.分数和整数统称为有理数

C.正有理数、负有理数统称为有理数

D.以上都不对

【解答】解：由有理数的分类知，分数和整数统称为有理数•

故选:B.

【即学即练2】

3.把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：

-II,—,-9,0,+12,-6.4,-n,-4%.

5

(1)整数集合：｛…｝;

(2)分数集合：｛•**｝；

(3)非负整数集合：｛-｝：

(4)负有理数集合：｛______________________________

【解答】解：(1)整数集合：1・11，・9,0,+12…｝;

(2)分数集合：｛4，-6.4,-4%…｝;

(3)非负整数集合：｛0,+12-｝；

(4)负有理数集合：｛・11,咯，-9,-6.4,-4%…).

故答案为：(1)-11,-9,0,+12；

(2)国,-6.4,-4%；

5

(3)0,+12：

3

(4)-11,上，-9,-6.4,-4%.

5

4.把下列各数分别填入相应的大括号内：

-7,3.5,-3.1415,冗，0,导，0.03,-3y,10,-0.23，~

自然数集合｛;

整数集合｛_________________________二_｝;

正分数集合｛____________________________:_);

非正数集合｛__________________________________J｝;

有理数集合〔…I.

知识点03数轴与有理数的关系

1.数轴与有理数的关系：

①数轴上的点与有理数之间优关系是一一对应关系。即一个有理数在数轴上只能找到1个

点来表示它。数轴上一个点也只能表示_一个数。

②表示正数的点在数轴上的位置一定在原点」表示负数的点一定在原点的

题型考点：①判断数轴上的点所表示的数以及在数轴上找到数的位置。

②数轴」.点与点之间的距离。

③数轴上点的移动。

【即学即练1】

7.(1)在数釉上表示出下列各有理数：-2,-3《，0,-壮，《；

232

(2)指出如图所示的数轴上/kB、C、。、E各点分别表示的有理数.

-----1-------------------SLJ----1~义_>

-5-4-3-2-1012345

【解答】解：(1)如图所示，

.411i

3

3-7-202

----_|__।_।_

-5-4-3-2-101234

(2)由题可得，A表示-4,8表示・1.5,C表示0.5,。表示3,£表示4.5

【即学即练2】

8.在数轴上，到表示・1的点的距离等于6的点表示的数是()

A.5B.-7C.5或-7D.8

【解答】解：设在数轴上与-1的距离等于6的点为A,表示的有理数为x,

因为点A与点・1的距离为6,即|x-(-1)|=6,

所以x=5或/=-7.

故选：C.

9.在数轴上与-2所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是.

【解答】解：当该点在-2的右边时，

由题意可知：该点所表示的数为2,

当该点在-2的左边时，

由题意可知：该点所表示的数为-6,

故答案为：2或-6

【即学即练3】

10.如果在数轴上点4表示-3,从点4出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则点B表示的数是.

【解答】解：•・•点A表示・3,

・•・从点人出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达B点，则点8表示的数是-3+4=1；

工从点A出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达8点，则点B表示的数是-3-4=-7；

故答案为：1或-7.

11.点A在数轴上距原点3个单位长度，若将点A向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此

时点4所表示的数是.

【解答】解：•・•点A在数轴上距原点3个单位长度，

・••点A表示的数为3或-3；

当点人表示的数是-3时，移动后的点人所表示的数为：-3+4-1=0；

当点4表示的数是3时，移动后的点A所表示的数为：3+47=6；

综上所述，移动后点A所表示的数是：0或6.

故答案为；。或6.

题型精讲

题型01有理数的分类

【典例1】

把下列各数填入相应的集合内:

1299

-2.5,10,3.14,0,-----------------9-20,+9.78,+58,—,-1.

137

整数集合：｛

负数集合：｛__________________________________•,•｝：

正分数集合：｛

非负数集合：｛__________________________________…｝

【解答】解：整数集合：｛10,0,-20,+58,7…｝,

负数集合：｛-2.5,—,-20,-I-｝,

£0

正分数集合：｛3.14,+9.78,专■…｝…),

非负数集合：｛10，3.14,0,+9.78,+58,专…｝,

故答案为：10，0,-20,+58,-1；

-2.5,—,-20,-1：

13

3.14,+9.78,—；

7

1（）,3.14,0,+9.78,+58,—.

7

5（）.把下列各数填入相应的大括号内：-13.5,0,+927/,——4,-2--2,-10,3.14

57

（1）正数集合：］_……!

（2）负数集合：｛……}

（3）整数集合：｛……)

（4）分数集合：｛……}

（5）非负整数集合：｛……}

【解答】解：（1）正数集合：1+27,丝，3.14.

｝；

7

（2）负数集合：｛-13.5,--4,-10……)；

5

（3）整数集合：｛0,+27,-10-

丝3.14••…

（4）分数集合：｛-13.5,■一4,•)；

57

（5）非负整数集合：｛0,+27•…••卜

故答案为：（1）+27,丝，422

3.14：(2)-13.5,-—,-10；(3)0,+27,-10；(4)-13.5,-------9---，

7557

3.14；(5)0,+27

题型02数轴上点与点之间的距离

【典例1】

在数轴上，与表示・2的点距离为2个单位长度的点表示的数是.

【解答】解：在数轴上与表示-2的点距离2个单位长度的点表示的数是-2+2=0或-2-

故答案为：0或-4.

变式1：

M点在数轴上表示-4,N点离M的距离是3,那么N点表示的数为（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.-1或1

【解答】解：-4+3=-1,

-4-3=-7,

故。正确.

故选:C.

变式2：

下列结论正确的是（）

A.数轴.上表示6的点与表示4的点相距10

B.数轴上表示+6的点与表示-4的点相距10

C.数轴上表示-4的点与表示4的点相距10

D.数轴上表示・6的点与表示・4的点相距10

【解答】解：A、数轴上表示6的点与表示4的点相距|6-4|=2,故本选项错误:

B、数轴上表示+6的点与表示-4的点相距|6-（-4）|=10,故本选项正确；

C、数轴上表示-4的点与表示4的点相距|-4・4|=8,故本选项错误；

D、数轴上表示-6的点与表示-4的点相距|-6-（-4）|=2,故本选项错误.

故选：B.

题型03数轴上点的移动

【典例1】

数轴上一点P表示的数是・2,先把这个点向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则点P表示

的数是.

【解答】解：-2+3-5=-4,

故答案为：■4.

【典例2】

在数轴上点4表示-4,如果把原点。向正方向移动1个单位，那么在新数轴上点A表示的数是（）

A.-5B.-4C.-3D.-2

【解答】解：A点位于远点的左侧，距原点的距离为5,

4点表示的数为・5,

故选:4.

【典例3】

在数轴上，一动点4向左移动2个单位长度到达点8,再向右移动5个单位长度到达点C.若点C表示的

数为1,则点4表示的数为（）

A.7B.3C.-3D.-2

【解答】解：设4点表示的数为尤

列方程为x-2+5=1,

解方程得：x=-2.

即点A所表示的数为-2.

故选：。.

【典例4】

如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示7的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A

到达点13的位置，则点B表示的数是.

【解答】解:C圈=TTd=7T,

向右滚动：设“点坐标为X,

x-（-1）=n,

.r=ir-1,

二4点表示的数为：n-1.

向左运动：-I-x=n,

.r=-n-1,

•'A点表示的数为：-71-1.

:.B点表示数为n-1或-n-1.

故答案为：TT-1或-TT-1.

题型04数轴的折叠问题

【典例1】

如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使-3表示的点与1表示的点重合，则与-5表示的点对应的点表

示的数是（）

-5-4-3-2-1012345

A.3B.4C.5D.-1

【解答】解：••・折叠纸面，使表示-3的点与表示1的点重合，

・•・折痕和数轴交点表示的数是-3+1二（二3）=-

2

而表示-5的点与此交点距离为-I-（-5）=4,

•，与表示-5的点对应的点表示的数是-1+4=3,

故选:A.

【典例2】

如图，数轴上点M表示的数为-1,经过点M折叠这条数轴，使数轴在点M两侧的部分完全直合.若点、M

右侧的点P与数轴上表示-3的点重合，则点P所表示的数为（）

M

-I——।----1——।——।——L_>

-3-2-1012

A.3B.2C.1D.0

【解答】解：•・•7・（-3）=2,

/•-1+2=1.

・・・。所表示的数为1.

故选:C.

【典例3】

小超在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示・4的点重合，若数轴上A、8两点之

M的距离为6（4在4的左侧），且A、4两点经上述折叠后宣合，则A点表示的数为（）

A.-4B.-5C.-3D.-2

【解答】解：根据折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示-4的点重合，得到以・1对应的点对折，

•・•数轴上A、4两点之间的距离为3（A在4的左侧），且48两点经上述折叠后重合，

・•济表示的数为-4,8表示的数为2.

故选:A.

强化训练

I.下列各数中，是负整数的是（)

A.0B.2C.-0.1D.-2

【解答】解.：40是整数，不是负整数，故本选项不合题意;

B.2是正整数，不是负整数，故本选项不合题意;

C.-0.1是负分数，故本选项不合题意;

D.-2是负整数，故本选项符合题意.

故选：D.

2.下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（)

n

C.D.80%

'•I2

【解答】解：A、是分数，不符合题意;

2

B、券是分数，不符合题意;

。、工是无理数，不是分数，符合题意;

2

D、80%=看是分数，不符合题意.

5

故选：C.

3.在-15,5—,-0.23,0,7.6,2,,314%.这八个有理数中非负数有（

35

A.4个B.5个C.6个D.7个

15,5-1,-0.23,0,7,6,2,

【解答】解：在一—,314%.这八个数中,

35

负数为5—,0,7.6,2,314%,有5个.

3

故选:B.

4.如图，数釉上的两个点分别表示数。和-2,则。可以是（)

A.-3B.-1C.1D.2

【解答】解：根据数轴得：«<-2,

•可以是-3.

故选:A.

5.如图，被墨迹污染的数可能是（)

-O~1~~L

-1012

A.1.5B.0.5C.-1.5D.-0.5

【解答】解：根据图示，被墨迹污染的数大于-I且小于0,

V1.5>0,

・•・选项A不符合题意；

V0.5>0,

・•・选项B不符合题意；

V-1.5<-1,

・•・选项C不符合题意；

V-1<-0.5<0,

，选项。符合题意.

故选：D.

6.在数轴上表示负数〃的点与原点。的距离是1,则负数。等于（）

A.1B.-1C.±1D.0

【解答】解：•・•数轴上点。与原点的距离等于1,

则同=1，

：.a=土1,

•・•〃是负数，

:・a=-1,

故选：B.

7.如图，数轴上A,。位于8的两侧，且AB=2BC,若点8表示的数是1,点。表示的数是3,则点A表

示的数是（）

-•-------•----•A

ABC

A.0B.-2C.-3D.-1

【解答】解：•・•点B表示的数是1,点。表示的数是3,

：.BC=2,

:AB=2BC,

：,AB=4,

有数轴可知：点A表示的数小于点8表示的数，

A1-4=-3,

却点4表示的数为-3,

故选：C.

8.如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为-5,b,4,某同学将刻度尺如

图2放置，使刻度尺上的数字。对齐数轴上的点A,发现点8对应刻度L8c〃?，点C对齐刻度5.4c"i.

AB

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

n2:456

则数轴上点8所对应的数〃为()

A.3B.-IC.-2D.-3

【解答】解：V5.44-(4+5)=0.6(cm),

/.1.84-0.6=3,

-5+3=-2,

故选：C.

9.在+8,+—,0.275,2,0,-1.04,—,-8,-100,•中，负分数有________________.

473

【解答】解：在这几个数中-1.04,是负分数.

3

故答案为：-1.04,

3

10.已知数轴上A、8两点间的距离为3,点A表示的数为1,则点8表示的数为.

【解答】解：若点8在A的左侧，

则1-3=-2,即点B表示的数为-2,

若点8在A的右侧，

则1+3=4,即点4表示的数为4,

故答案为：-2或4.

11.如图，在数轴上，点A表示的数是2,将点4沿数轴向左移动3个单位长度得到点P,则点P表示的数

是.

——1---------•-A

0A

【解答】解：由题意得，2-3=-1,

故答案为：-1.

12.如图，数轴上有A、B、C三点，A、B两点表示的有理数是分别是・2和8,若将该数轴从点C处折叠

后，点A和点3恰好重合，那么点。表示的有理数是.

------1----------------1------------------1-------►

ACB

【解答】解：由题意得点C是线段的中点，

・••点C表示的有理数是：

(-2+8)4-2

=6+2

=3

故答案为：3.

13.把下列各数填在相应的表示集合的大括号里.

-3,2.5，1,-0.58,0,苛.0.3，-1.01001000•；

整数集合｛■）

分数集合｛•）

正有理数集合｛•｝

负有理数集合｛•）

【解答】解：整数集合｛-