2026年高考数学一轮复习：重难点20 数列的综合应用（专项训练）原卷版

重难点20数列的综合应用

【全国通用】

题型归纳

【题型1等差、等比数列的综合问题】............................................................2

【题型2数列中的数学文化问题】.................................................................3

【题型3数列的通项公式的求解】.................................................................4

【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】......................................................5

【题型5数列中的不等式证明问题】..............................................................6

【题型6数列求和问题】.........................................................................7

【题型7数列中的结构不良题】...................................................................8

【题型8数列与其他知识的交汇问题】............................................................10

【题型9数列中的新定义、新情景问题】.........................................................11

命题规律

1、数列的综合应用

数列是高考的重点内容和热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几

年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点

内容，以解答题的形式考查，一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、

前〃项和公式等.

从近几年的高考情况来看，，高考压轴题中出现数列的新定义、新情景问题也是高考的一个重要趋势，

这类问题综合性强，难度大，需要学会灵活求解•.

方;描巧

知识点1等差、等比数列的交汇问题的解题策略

1.等差、等比数列的交汇回题的求解思路：

(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前〃项和公式求解，求解时注意对性质

的灵活运用.

(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找

通项公式，利用性质进行转化.

知识点2数列的数学文化问题

1.数列的数学文化问题的解题步骤：

(1)读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；

(2)按造模型：根据题意，构造等差数列、等比数列或递推关系式的模型；

(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前“项和等，解决问题.

知识点3数列的新定义、新情景问题

1.数列的新定义、新情景问题的求解策略

(1)新定义问题：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的

要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.

⑵新情景问题:通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的

情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到

灵活解题的目的.

知识点4数列的综合应用

1.数列与不等式交汇问题的解题策略

(1)解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分

析法、放缩法等：若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

(2)数列与不等式交汇问题的答题模板

第一步：根据题目条件，求出数列的通项公式；

第二步：根据数列项的特征,选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和：

第三步：利用第二步中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；

第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.

2.数列与函数交汇问题的解题策略

数列与函数综合问题的主要类型及解题策略

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题•般利用函数的性质、图象研究数列问题.

(2)己知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前〃项和公式、求和方法等

对式子化简变形.

注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.

3.子数列问题的解题策略

子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用r某个数列是由儿个有规律的

数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列口的位置，以及在子数列中的位置，即项不

变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.

4.数列中结构不良题的解法

(1))先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自

己解答的条件求解.

(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识优势和擅长之处选择更适合自己的条件进

行解答.

举一反三

【题型1等差、等比数列的综合问题】

【例1】(2025•湖南永州•模拟预测)已知等差数列｛%｝的前〃项和为9,公差dHO,SS5=70,且。2,4，

的成等比数列，则。6=（）

A.30B.32C.36D.40

【变式1・1】（2025•湖北黄冈•三模）给出条件的三边既成等差数列又成等比数列；q:AABC为正三

角形；则P是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-2]（2025•全国•模拟预测）已知等差数列｛4｝满足a2n=2%+1,且勺+1,a2+l,。3+3为等

比数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若4=求数列｛4｝的前n项和Sn.

【变式1-3]（2025•辽宁大连•一模）已知首项相同的等差数列｛%｝的公差与等比数列｛九｝的公比大小相等,

Hfcn+1>bn,^-=|，a4-b2=5.

（1）求数列｛册｝和｛b｝的通项公式；

（2）令G=册以，求数列｛cn｝的前n项和〃•

【题型2数列中的数学文化问题】

【例2】（2025•江苏宿迁•模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立

春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若

小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（）

A.15B.16C.17D.18

【变式2-1】（2025•陕西汉中•模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕

成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转

动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm、公差为4mm的等差数列，若一个鬼

工球最外层与最内层的半径之差为190mm，则该鬼工球的层数为（）

A.9B.1（）C.11D.12

【变式2-2］（2025•云南昆明•模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种

单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每

天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（）

A.6B.7C.8D.9

【变式2-3】（2025•山东青岛・三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人

分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的

一人钱数为（）

A.1B.|C.|D.\

3236

【题型3数列的通项公式的求解】

【例3】（2025•江西新余•模拟预测）已知数列｛斯｝满足3am-3〃=2\且由=1,则数列｛Q4的通项公式

为（）

nn-1

A.an=2—1B.an=log32+1

nn+1

C.an=log3（2+1）D.an=log3（2-1）

【变式3-11（2025・云南・一模）已知数列｛斯｝的前几项和又满足又=2册-l（nGM）,若数列｛b｝满足瓦=2,

bn+1=an+bn,则数列｛，J的通项公式为（）

n-1nn1n

A.bn=2+1B.bn=2+1C.bn=2--1D.bn=2-1

【变式3-2】（2025•全国•模拟预测）设数列｛%｝的前〃项和为S“，且配=|即-1.

⑴求&｝的通项公式:

(2)设bn=含工+log34，求｛九｝[向前几项和7\.

品品+1

【变式3-3](2025•河南驻马店•模拟预测)已知数列｛时｝的前n项和为Sn,a“H=anan+1.

(1)求｛%｝的通项公式：

(2)若瓦=1,且摩+i+bn=4a3，求数列｛bn｝的通项公式；

(3)在(2)的条件下，若〃=(丁求｛分｝的前n项和7\.

【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】

【例4】(2025・海南・模拟预测)数列｛。/满足力=也。什1=2an-i对于任意的几eN*,A(2an-1)<2%-2

恒成立，则实数;I的取值范围是()

A.(-8,3B.(一8,1)C.G，+8)D.(1,+8)

【变式4-1】(2025•北京大兴•三模)已知数列｛斯｝为无穷等比数列，S”为其前九项和，“存在M]>0,对于任

意的riGN*,\an\<MJ是“存在乂2>0,对于任意的九eN\|SJ<用2”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4-2】(2025•山西忻州・模拟预测)己知数列｛%｝的前〃项和又满足%=2计1+1.

(1)求｛册｝的通项公式：

(2)若VTIWN",人几・3"恒成立，求实数入的取值范围.

【变式4-3](2025•黑龙江大庆•模拟预测)设S”为数列｛%｝的前n项和，已知0n>0,4S”=成+2%+1,

a+即,ri为奇数,

列也｝满足劣=n+1

%+1一%,九为偶数,

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

⑵记数列血｝的前n项和为7\,若对于任意nwN17W10九+/l恒成立，求实数2的取值范围.

【题型5数列中的不等式证明问题】

【例5】(2025•辽宁沈阳•三模)已知数列｛斯｝中，%=3,。3=15,且数列愕为等差数列.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)记S”为数列｛J的前〃项和，证明：Sn<l，

【变式5-1](2025•海南•模拟预测)己知数列｛册｝的前〃项和为Sn,且Sn=2a“—7i,n-

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设品=，记数列｛0｝的前71项和为Mn，证明：1<Mn<l.

Iog2（an+I）log2（an+1+1）

【变式5-2】(2024•全国•模拟预测)已知数歹U｛即｝的前〃项和Sn=2%-71.

⑴求｛6｝的通项公式：

(2)证明：咄+竺匚+竺匚+…4a“+l

。2。4。6a2n4

【变式5-3】(2025・江苏•三模)已知数列｛斯｝是等差数列，记其前n项和为S”，且53=。5,Q2n=2册+；.

(1)求数列｛时｝的通项公式：

(2)洛数列｛%｝与｛图的所有项从小到大排列得到数列%｝.

①求出n｝的前20项和；

②证明：4+=+—I-A<32.

【题型6数列求和问题】

【例6】(2025•江西,模拟预测)已知数列｛斯｝满足：=2,0n+i=%+2。2+3。3+…+吗，令*=

n+3

数列｛0｝的前n项和S”，则S2025=()

an+l+an+2+«n+3

AL——B—C—D——

82029!•62028!.42027!*22026!

【变式6-1](2025・湖北武汉•模拟预测)数列｛(-1尸•n)(n6N*)的前2025项和为()

A.1012B.-1012C.1013D.-1013

【变式6-2](2025•云南昭通•模拟预测)已知数列｛即｝是等差数列，且a2n=2期+1,数列｛九｝的前几项和为

Tn，且％=a2=2b2-l.

(1)求｛册｝和｛b｝的通项公式；

【变式6・3】(2025•云南玉溪•模拟预测)设｛%｝是等差数列，出“｝是等比数列，%=6[=1,且七-62=%-

匕3=1.

(1)求｛即｝与｛九｝的通项公式；

r

antn=2k-l,keA*

(2)设c“=itn-2k,kcN^求｛。｝的前2几项和乙n•

log2bnlog2ftn+2'

【题型7数列中的结构不良题】

2

[例7](2025・江苏•一模)在①&=n-2"；②%=l,an+1=标；+昌③20-1=册这三个条件

中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上(只要写序号)，并解答该题.

已知数列｛斯｝的各项均为正数，其前九项和为工，且对任意正整数m有.

(I)求｛4｝的通项公式；

(2)设以=含二，数列｛b｝的前n项和为7\,证明：|<Tn<l.

【变式7-1】(2024・广西贺州•一模)在①52—3%=0,②$3=14,绘=等这三个条件中任选一个，补充

在下面的问题中，并解答.

设｛册｝是递增的等比数列，其前〃项和为S”，且%=4,.

(1)求｛册｝的通项公式：

(2)若数列｛九｝满足勾=数，求数列｛九｝的前2n项和兀个

斯,n为偶数

(注：若选择多个解答，按第一个解答计分)

【变式7-2](2025•黑龙江齐齐哈尔・三模)已知数列｛%｝满足%=3,做=6,数列｛b｝为各项均为正数的等

比数列，且满足垢(即+1—即)=bn+lf(neN)

(1)求数列S”｝的通项公式;

(2)已知数列出“｝的前几项和为S”，若.

下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.

①3s2=S3-3；

②七2,2。3,九成等差数列;

③%,a3,匕3成等比数列.

“，"为求数列｛%｝的前20项和7\p

记数列｛.｝满足J=

log3b2nm为偶数，

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【变式7-3](2024•陕西西安•模拟预测)在①%=1,Qi，。3,。9成等比数列，②劭+。4=6,Q-Q5=5,

③£"Qi=6,这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答•

问题：已知数列｛即｝是公差为正数的等差数列，.

(1)求数列｛%｝的通项公式：

(2)数列锄的前n项和为Sn，对任意的nuN+有m3VV加恒成立，求根的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第•个解答计分.

【题型8数列与其他知识的交汇问题】

【例8】(2025•全国一卷•高考真题)已知数列｛%｝中，%=3,—=-T7+-4^.

nn+1n(n+l)

(1)证明：数列｛n%｝是等差数列；

(2)给定正整数加，设函数/(%)=。/++…+册/m，求/'(一2).

【变式8-1](2025•广东广州•模拟预测)已知向量方=(siny,-siny),b=(cosy,siny),函数/(x)=ab,

fQ)的所有大于0的零点构成递增数列｛%｝.

(1)写出｛aj的前6项；

(2)已｛即｝的所有偶数项构成数列@J,设金=(一l)n•bn•(或)砥-2,求数列｛金｝的前〃项和Sn.

【变式8-2】(2025•河南周口•模拟预测)已知点PiQ+l")在抛物线C:%2=4y上，过点P1作斜率为一1的直

线交C于另一个点3,设P2与Qi关于V轴对称，再过P2作斜率为-1的直线交C于另一个点Q2,设匕与Q2关

于y轴对称，以此类推一直作下去，设P£/,外)5WN.).

⑴求/的值；

(2)求数列｛》“｝的通项公式，并求数列｛氏｝的前几项和7,1的取值范围；

⑶求^PnPn+1Pn+2(neN")的面积.

【变式8-3】(2025・辽宁•二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石,

因俵国数学家安德烈•马尔科夫而得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第九+1次状态的概率分布只跟第〃

次的状态有关，与第71-1,n-2,八一3,…次状态无关.已知有力，4两个盒子，各装有1个黑球、1个

黄球和1个红球，现从力，8两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行九(几WN)次这样的操

作后，记“盒子中红球的个数为＞“，恰有1个红球的概率为Pn，恰有2个红球的概率为册.

⑴求P2,的值;

(2)证明；｛p〃—,是等比数列，并求伪工的通项公式；

(3)求X”的数学期望.

【题型9数列中的新定义、新情景问题】

【例9】(2025•河南信阳•模拟预测)对于数列｛4｝,若存在实数M＞0,使得对一切正整数“晅有|aJ

成立，则称数列｛4｝为有界数列.设数列｛斯｝的前n项和为之,则下列选项中，满足数列｛Sj为有界数列的是

()

nn2

A.an=2n+1B.an=(-2)C.an=心\)D.an=(-l)n

【变式9-1](2024•北京东城•二模)设无穷正数数列｛时｝,如果对任意的正整数九，都存在唯•的正整数m,

使得Q,n=Qi+。2+。3+…+%，那么称｛即｝为内和数列，并令6=m,称｛九｝为｛Qj的伴随数列，则()

A.若｛Qj为等差数列，则｛%｝为内和数列

B.若｛%｝为等比数列，则｛每｝为内和数列

C.若内和数列｛册｝为递增数列，则其伴随数列｛b｝为递增数列

D.若内和数列｛QN｝的伴随数列｛b｝为递增数列，则｛即｝为递增数列

【变式9-2](2025-江苏苏州•模拟预测)若数列｛%｝满足册+2-4+1＞即+i-an(nGN.)，则称｛斯｝为“阶跃

数列

(1)若%=n2+2n,判断｛斯｝是否为“阶跃数列”；

(2)在“阶跃数列”｛斯｝中，若斯=九2"一必平闻，求实数4的取值范围；

6

(3)记“阶跃数列”｛%｝的前几项和为％,证明：数列倒是“阶跃数列”.

【变式9-3]（2025・湖北•三模）已知数列力:。1，。2,…,即624）,其中%,如…,即6Z,且％Va2V…

若数列8:瓦,匕2,…,b”满足瓦=Qi，b”=Qn，当i=2,3,…，〃-1时，瓦=Q-i+1或—1,则称数列

…,以为数列力的“调节数列”.例如，数列41,357的所有“调节数歹IJ”为1,2,4,7；或者1,2,6,7；或者

144,7；或者1,4,67

⑴直接写出数列4136,7,8的所有“调节数列":

（2）若数列4满足通项%=2n（nWN）将数列的“调节数列”中的递增数列记为数列8〃中的各项和为S",

求所有人的和；

（3）已如数列A满足：%=1,即=2025,若数列A的所有“调节数列”。均为递增数列，求所有符合条件的数列

A的个数.

过关测试

一、单选题

1.（2025•四川绵阳・模拟预测）已知数列｛%｝满足%=L%+1=即+九+2”（九6”）,则%等于（）

A.曳0+2-1B.曳山+2,-1

22

C.D.+2n+1-1

22

2.（2025•辽宁鞍山•模拟预测）已知正项数列｛QN｝为等比数列，且5a2是由与3。3的等差中项，若。2=2,

则该数列的前5项和为（）

A.10B.15C.30D.31

3.（2025•山东临沂•三模）在数列｛%｝中，已知小=1,

.3365

A.—；

32

4.(2025•河北•模拟预测)在数列｛%｝中，已知的=1,区=%+1,设b=(-l)”(2n+l)0%+1,则数

On+lnn

列｛bj的前九项和二=（）

A「打富B・卜富

5.（2025•江西九江•三模）九江银行-2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑.此前，为备战此

次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第I周跑步2公里，之后一段时间每周的

跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过

全马里程（42.195公里）后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的

总量是（）

A.736公里B.724公里C.692公里D.660公里

6.（2025广西•模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定

义如下：R^=ad-bc,已知治是等比数列&｝的前几项和，若普：卜0勺=1,则$7=（）

A.31B.63C.127D.255

7.（2025•甘肃定西•模拟预测）已知等比数列｛斯｝的前n项和为SQ,QI+。3=5,S4=15,若对于任意nGN*,

不等式小竺>62+6血恒成立，则m的取值范围为（）

A.（-8,2）B.（-2,8）C.（-10,6）D.（-6,10）

8.（2025,上海•高考真题）己知数列｛册｝、｛%｝、｛々｝的通项公式分别为0n=10n-9,bn=2"、，金=Aan+

（1-2）以.若对任意的;IE[0,1],%、。、c/勺值均能构成三角形,则满足条件的正整数九有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

二、多选题

9.（2025•全国•模拟预测）已知数列｛%｝的首项%=1且满足册+1=用，则（）

A.｛91｝为等差数列B.即=就7

C.数列｛%｝为递增数列D.数列｛等斗的前几项和为层+1一箸

10.（2025・四川成都一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称

为“三角垛"三角垛''的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第n

层有％个球，则（）

A.a5=15B.｛即+i-%｝是等差数列

C.。2025为偶数D.1<—+—+<••+—<2

a2an

11.（2025•河北邯郸一模）已知分为等差数列｛斯｝的前几项和，则（）

A.若S”=2n2+n»则/=2n4-1

B.s37v