2026江苏春季高考数学考试总复习：不等式（知识梳理+考点）原卷版

专题02不等式

目录

明晰学考要求.......................................................................1

基础知识梳理.......................................................................1

考点精讲讲练......................................................................3

考点一：比较数或式的大小...................................................................3

考点二：利用基本不等式求代数式的最值......................................................4

考点三：一元二次不等式的解法...............................................................4

考点四：不等式恒成立问题...................................................................5

考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用..............................................6

实战能力训练......................................................................7

明晰学考要求期

1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；

2、掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题;

3、了解一元二次不等式：

4、能够从函数观点认识方程和不等式；

5、了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

基础知识梳理你

1、不等式中的基本事实

依据a=boa-b=0；

o<b=a—b<0

结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小

①由上述基本事实可知，要比较两个数或式的大小，只需要比较这两个数或式的差与0的大小，一般将差

化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.

②对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小.

③对「某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小.

2、不等式的性质

性质性质内容注意

1a>b=b<a=

2a>b,b>c^a>c不可逆

3a>b=a+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4c的符号

a>b,c<O=>ac<bc

5a>b,c>d=a+c>b+d同向

6c>cl>()=>ac>bd同向

7a>b>O^an>hn(nGN,n>2)同正

①若心心0,则。<思；

②若aV〃VO,则

③若〃>〃>(),则

aa+\

3、基本不等式

(1)不等式随字20)称为基本不等式，当且仅当。=”时，等号成立.其中，牛叫做正数公

b的算术平均数，板叫做正数小。的几何平均数.所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

(2)当。力ER时，，以上两式均在〃=方时取等号.

(3)最值定理：已知x,y都为正数，则：如果积盯等于定值P,那么当且仅当x=y时，和x+y有最小

值2"；如果和x+)，等于定值S,那么当且仅当x=)，时，积外有最大值.简记为：积定和最小，和定积

最大.

(4)应用基本不等式的三个关键点：一正、二定、三相等.

①一正：各项必须为正；

②二定：各项之和或各项之积为定值；

③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.

4、一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个萃遨，并且未知数的最高次数是支的不等式，

定义

称为一元二次不等式

一般形式af+/u+c>0或ad+Zu+cy。，其中启0,。，b,c•均为常数

5、一元二次不等式的解法

(1)二次函数零点的概念：一般地，对于二次函数)，=加+原+c,我们把使aF+^+cn。的实数x叫做

二次函数)，=加十加十C的零点.

（2）三个二次的关系

判别式

J>0/=()d<0

A=lr—^ac

1/卫

二次函数y=av2+bxD

+c（a>0）的图象XMXx

2冰"

有两个相等的实数根

一元二次方程加+有两个不相等的实数没有

b

力x+c=0（a>0）的根根内，X2（X1<X2）即=及=一五实数根

2

ax-+队+c>0(a>0)的卜卜2a

或工>X2lR

解集

&F+版+c<03>0)的00

解集

①零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标.

②不等式的解集必须写成集合的形式.若不等式无解，则应说解集为空集.

考点精讲精练@

考点一：比较数或式的大小

【典型例题】

例题1.（2024高二上.江苏扬州•学业考试）己知av。，CGR,则下列不等式恒成立的是（）

A.etc<beB.a—c<b—cC.a2<b2D.—<—

ab

例题2.已知X,y是实数，则“x-yvo”是“xvy”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也小必要条件

例题3.已知力克糖水中含有。克糖（b>a>0）,再添加〃?克糖（相>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.能

够表示这一事实的不等式是（）

a+mab+mb

A.-----<-Bn.----<-

bbaa

a+mab+mb

C.---->-D.---->-

b+mba+m

【即时演练】

1.若〃<〃<（）,c>0,则下列不等式成立的是（）

A.—<—B.a+c>b+cC.a2<b2D.ac<be

ab

2.已知。则下面不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+cl<b+c

C.a-d>b-cD.a-d<b-c

3.已知“NO,人20,且。+b=l,则的取值范围是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,2]

考点二：利用基本不等式求代数式的最值

【典型例题】

9

例题1.若x>0,则x+一有（）

X

A.最小值6B.最小值8

C.最大值8D.最大值3

例题2.已知0<x<4,则网二百的最大侑为（）

A.-B.1C.&D.3

2

例题3.已知x>0,）>0,且x+J=2,则（）

A.孙，的最大值为IB.个的最小值为1

C.孙'的最大值为及D.个的最小值为血

【即时演练】

1.已知。>0力>0,且。+〃=2,则2+：的最小值为（）

ab

A.-2+6B.4+2#C.8+46D.4G

2.已知。〃=1,4/+9〃的最小值为.

3.若/>1,则x+一、的最小值是—.

x-1

考点三：一元二次不等式的解法

【典型例题】

例题1.不等式W—x—2<0的解集是（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|x<-l或x>2}

C.{x\x<-2^x>\]D.{x|-2<x<l}

例题2.己知集合用={一1，0,1,2,3},N={X*—2X_3<0},则Mp|N=()

A.{TO4}B.{-1,0,123}

C.{0,1,2}D.{-1}

例题3.若不等式法+2>0的解集为卜卜贝［〃+〃=（

)

A.1B.-12C.-28D.-14

【即时演练】

1.不等式（1一。（天一2）<0的解集为（）

A.{x|l<x<2}B.{x\-2<x<-\}C.{x\x>2^x<\]D.｛小一｝

2.关于x的不等式等K1的解集为一|」

，则实数〃的值为(

3

A.-6BC.D.4

-42

3.一元二次不等式-2/+5x-2>0的解集是（)

1

x>-B.■x—<x<2C.x\x<2}D.R

22

考点四：不等式恒成立问题

【典例讲解】

例题I.若不等式,£-4%+〃-3<0对所有实数x恒成立，则af勺取值范围为（

A.(-<20,-1)D(4,+QO)B.(-8,-1)

D.~,-1]

例题2.已知当x>0时，不等式V-at+l6>0恒成立，则实数。的取值范围是,

例题3.设函数/（©=/-〃比

（1）若〃?=1,求不等式/（用之2的解集；

（2）若时，不等式/（x）+V+2N0恒成立，求机的取值范围.

【即时演练】

1.若不等式./+匕+4>0对一切实数x都成立，则实数2的取值范围为（）

A.[Y,4]B.（-4,4）

C.（^»,-4）u（4,+a））D.（^O,-4]<J[4,-K»）

2.对任意工W1,+8）,不等式（〃z-3）f2x+i恒成立，则实数川的取值范围是.

3.已知关于x的不等式的解集为R,则实数。的取值范围是.

考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用

【典例讲解】

例越I.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度〃（单位：m）与时间，（单位：s）满足关系

2

式h=，其中g。lOm/s,vo为初速度.向盼归同学以％=Hm/s竖直上抛一个排球，该排球在抛出

点上方2m处及以上的位置最多停留时间为（）

A.1.8sB.2.8sC.3.8sD.4.8s

例题2.某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本.已知购买x

台设备的总成本为=+4+800（单位：万元）.若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备

200

台.

【即时演练】

1.某产品的总成本为C万元，与产量X台的关系是C-3000+203-0.52,其中x«0,2,10）,若每台售价为

25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（）

A.60台B.90台C.120台D.150台

2.（24-25高一上•河南驻马店•阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每

天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400

元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）

A.{x|15<x<22}B.{x|154x<18}

C.{x|l5<x<20)D.{x|15<x<24}

实战能力训练a

i.已知〃>〃，则（）

A.3a>2bB.a>-b*C.a-\>b-2D.«(«+1)>/?(/?+!)

2.已知集合用二卜|-3KX<4},N={x|x2-2.r-8<0},则()

A.MUN=RB.MUA^={X|-3<X<4)

C.McN={x|-2«xW4}D.Mr>N={x|-2<x<4}

3.已知x>0,y>o,冲=4,则X+2），的最小值为（）.

A.4B.4夜C.6D.8夜

4.一元二次不等式14-4犬之x的解集为()

c7

A.sx-2<x<--B.{x\x<-2^x>-}

44

7

C."——<x<2•D.{x\x<^^x>2]