2026年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（讲义）解析版

专题1.4基本不等式及其应用(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1基本不等式及其应用】.........................................................................3

【题型2直接法求最值】................................................................................4

【题型3配凑法求最值】................................................................................6

【题型4常数代换法求最值】...........................................................................7

【题型5消元法求最值】................................................................................8

【题型6齐次化求最值】...............................................................................1()

【题型7多次使用基本不等式求最值】.................................................................11

【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】............................................................13

【题型9利用基本不等式解决实际问题】...............................................................15

［题型10基本不等式与其他知iE交汇】................................................................17

1、基本不等式及其应用

考点要求真题统计考情分析

基本不等式及其应用是每年高考的重

(1)了解基本不等式的推点、热点内容，从近几年的高考情况来

2022年I卷：第12题，5分

导过程看，对基本不等式的考查比较稳定，考

2023年新高考I卷：第22题，

(2)会用基本不等式解决查内容、频率、题型难度均变化不大，

12分

最值问题应适当关注利用基本不等式大小判断、

2025年北京卷：第6题，4分

(3)理解基本不等式在实求最值和求取值范围的问题；同时要注

2025年上海卷：第8题，5分

际问题中的应用意基本不等式在立体几何、平面解析几

何等内容中的运用.

知识梳理

知识点基本不等式

1.两个不等式

不等式内容等号成立条件

重要不等式a2+h2>2ab(a.b£R)当且仅当％=夕'

时取“=”

基本不等式当且仅当“&且“

ab4(6?>0,Z)>0)

2时取“=”

“+6叫做正数mb的算术平均数,仍叫做正数小l的几何平:均数.

2

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值_12

4

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1兴、y>0,(2)和(积)为定值，(3)存在取

等号的条件.

3.常见的求最值模型

(1)模型一：nix+—>2y[mn(ni>0,/:>0),当且仅当工=时等号成立：

(2)模型二：+—-—=m(x-a)4---—+ma>2\lmn+nui(m>(),/?>0),当且仅当x-a=时等号成

x-ax-aVm

(3)模型三:

〃'出/、nix(n-mx)1,mx+n-nix/八八八〃、w口△，“，ni

(4)模型四：-mx)=---------<—•(-----------Y=—(m>0,〃>0,0<x<—),当且仅当x=—时

mm24mm2m

等号成立.

4.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法:利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数''或"积为常数”的形式.

⑶常数代换法:主要解决形如“已知x+尸”为常数)，求?+彳的最值”的问题，先将?转化为

((十彳).，再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式口的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数''的形式，最后利用基本不等式求最值.

举一反三

【题型1基本不等式及其应用】

【例1】（2025•北京•高考真题）已知。>0,力>0,则（）

A.a2+b2>2abB.-+

abab

C.a+b>yfabD.-+7<i

ahvab

【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.

【解答过程】对于A,当。=匕时，a2+b2=2ab,故A错误；

对于BD,取0力=%此时鸿=2+4=6<,=8-

：+/2+4=6>京=4鱼=急故BD错误;

对于C,由基本不等式可得Q+bZ2倔〉病，故C正确.

故选：C.

【变式1-1]（2025•陕西宝鸡•二模）设a,bER,则“a+b>2”是“a2+b2>2”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【解答过程】若a+b22,则a2+b2之呼工2成立，当且仅当a=b=l时取等,

若"+b2>2,不妨设a=b=—1,则a+b>2不成立，

所以“a+b>2”是“出+/>2”的充分不必要条件.

故选:C.

【变式1-2]（2025•全国•三模）已知a>0,b>0,且Q+b=1,则下列不等式不正确的是（）

A.abB.a2+b2>1

42

C.-+—>2D.\[Q.+Vb工1

ab+1

【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD,消元，化简，结合不等式性质判断C

【解答过程】因为a>0,Z?>0,且a+b=l,

由基本不等式可得（等）2=:（当且仅当。=匕时取等号），人正确；

由基本不等式知等工月1则江行工

即+扶工；（当且仅当Q=b时取等号），B正确；

由已知OVbVl,故1一乒€（0,1）,所以告>2,

1-。

故工+7~T>2,C正确；

ao+l

由基本不等式可得看工住M

即、仿+伤工鱼（当且仅当a=b时取等号），D错误.

故选：D.

【变式1-3］（2025•辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示

图形，在等腰直角三角形△ABC中，点。为斜边力4的中点，点。为斜边44上异于顶点的一个动点，

设40=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

A.号>Vab（a>0,6>0）B.Vab(a>0,6>0)

C.^<^（a>0,b>0）

yD.a2+b2>2y/ab(a>0,b>0)

【解题思路】由△ABC为等腰直角三角形,得到OC=等，OD=\OB-BD\t然后在RtaOCD中，得到C。

判断.

【解答过程】解：由图知：0。="8=4,。。==竽一同=|号|,

4/\III

_J(j2+b2

在中，CD=y/OC2+OD2

所以。CWCO,即呼w田川>0）,

故选：c.

【题型2直接法求最值】

【例2】（24-25高一上•重庆・期末）函数y=3%+：（%>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3V2D.2百

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】因为%>0,

所以y=3x+：22J3x.i=2V3.

当且仅当3%=：,即％=苧时，等号成立.

则y=3x+^（x>0）的最小值是2Vs.

故选：D.

【变式2-1]（24-25高一上•广东河源•阶段练习）已知a>0,则a+工的最小值是（）

a

A.-1B.1C.2D.3

【解题思路】根据基本不等式可求最小值.

【解答过程】因为a>0,所以。+工之23^=2,

a-\Ja

当且仅当Q=：,即a=1时取等耳，

所以Q+工的最小值是2.

a

故选：C.

【变式2-2]（24-25高二上・云南昭通・阶段练习）若%>0,则3/=（1-幻（8-》的最大值是（）

A.-2B.0C.1D.2

【解题思路】将式子利用多项式乘以多项式展开，再利用基本不等式求解即可.

【解答过程】因为%>0，

所以y=（1_%）（8_§=8_j—8x+2

=10-8=2,

当且仅当2=8%,即x时等号成立,

x2

所以y=（1一%）（8的最大值为2,

故选：D.

【变式2-3】（2025•河北保定•二模）已知x,y是非零实数，则r+竽的最小值为（）

A.6B.12C.2D.4

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】马+与之2跖岑=6,

当且仅当3=首，

即|y|=次|%|>0,等号成立，

所以9+茶的最小值为6，

故选:A.

【题型3配凑法求最值】

【例3】（25-26高一上•全国•课后作业）若Q>1,则4O+工的最小值为（）

a-l

A.4B.6C.8D.无最小值

【解题思路】将式子配凑成4（0-1）+」；+4,然后利用基本不等式求解即可.

a—1

【解答过程】若a>l,则4a+」-=4（a-l）+」-+4N2k（a-1）•—+4=8,

a-1a—17a—1

当且仅当4（0—1）=」7,即a=：时，等号成立，所以4a+义的最小值为8.

a—12a—1

故选：C.

【变式3-1]（2025•辽宁•模拟预测〉已知xW（0,+3）,则y=%+：+不!二的最小值为（）

4CtXi1

A.V2B.2C.2V2D.V3

【解题思路】变形应用基本不等式求解即可.

【解答过程】由%€（0,+8）,得+

又），=%+1+」_=2+」_22户7工=近，

）22X+122x+lQ22x+l

当且仅当号1=乙，即乃=怨时等号成立.

故选:A.

【变式3-2】（2025高三・全国•专题练习）函数y=武3-2外的最大值为（）

A.3B.-C.-D.-

428

【解题思路】根据基本不等式可得最值.

【解答过程】当0VYV利，y=r（3-2r）=1.2r（3-2r）（祖产?=也

当且仅当2%=3-2,即％=?时等号成立，

4

当％K0或%之|时，y<0恒成立,

综上所述y=x(3-2%)的最大值为]

O

故选：D.

【变式3-3](2025•河北石家庄•一模)已知％G(0/),则/•(*)=:+悬的最小值为()

A.弓B.斗C.D.在

3234

【解题思路】利用基本不等式来求得正确答案.

【解答过程】x6(0,4),—xE(—4,0),4—xE(0,4),

“、1161/116、

/W=-+----=7(-+-----3+4-%)

X4x4\x4X/

=总7+号+置4(17+2万哥吟

当且仅当勺=善/=:时等号成立

x4r5

故选：D.

【题型4常数代换法求最值】

【例4】(2025・河南•三模)若Q>0,b>0,且Q+b=1,则一1一：的最大值为()

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出工+：的最小俏，即可得出答案.

ab

【解答过程】因为Q>0,b>0,且a+b=l,

所%+1=G+3(a+B)=5+(+qN5+2j^=9,

当且仅当2=与，a>0,b>0,B[Ja=b='时等号成立，

ab33

所以一1一:的最大值为-9.

ab

故选：A.

【变式4-1】(2025•山东•模拟预测)设正实数a,b满足a+2b=1,则叫它的最小值为()

ah

A.mB.17C.8+4花D.16

【解题思路】代入aI26=1,再由基本不等式即可求解;

【解答过程】由题意知叫把二竺竺华空=生当竺对=3+2+8N2性*+8=8+4通，

abababba\Jba

当且仅当当=生，即。=枭=容时，等号成立.

baZ11

因此，仁产的最小值为8+4店.

ab

故选:C.

【变式4-2]（2024•江苏宿迁•一模）若a>0,b>0,a+2b=3,贝唯+微的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【解题思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.

【解答过程】由a>0,b>0,a+2b=3,恐+2+2b）（%：）="15+,+?）

>1（15+2Jy-）=9,当且仅当中二/，即Q=l,b=1时取等号，

所以三+3的最小值为9.

ab

故选：A.

【变式4-3]（2025•福建泉州•二模）若为Z0,y>0,且9•+白；=1，则3%+4y的最小值为（）

A.2B.3C.4D.8

【解题思路】分析可知，x+1>1,2x+4y>0,将代数式（x+1）+（2x+4y）与《y+崔乘，展开后

可求出3x+4y的最小值.

【解答过程】因为％NO,y>0,则x+121,2x+4y>0,由题意可知2x+4yH0,则2x+4y>0,

3x4-4y=(3%+4y+1)-1=[(x+1)+(2x+4y)]岛■+斤、)-1

=2+H2x+4yT"+2毋x*=,

x+1

x+1_2x+4y

2x+4yx+1

;二;时，等号成立，

当且仅当4，十二_=1时，即当

x+12x+4y

、x>0,y>0

所以3x+4y的最小值是3.

故选：B.

【题型5消元法求最值】

【例5】（2025•陕西宝鸡,二模）己知正数狷y满足x+：=L贝4+2y的最小值是（）

A.2+2V2B.6C.4V2D.3+2V2

【解题思路】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.

【解答过程】由4+：=1可得%y=y-1,因％>0,y>0,则y>l,

1x+-111

于是；+2y=L+2y=1+石+2y=1+西+2y=3+西+2(y-l),

因在+2(y-l)>2J匕-2(y-1)=272,当且仅当士=2(y-1)时等号成立，

即)，=1+?，%=鱼一1时，：+2丫的最小值为3+2企.

故选：D.

【变式5-1](2024山西—三模)已知正实数》,歹满足%2+3%)/-2=0,则2%+'的最小值为()

A.争B.乎C.1D.1

3333

【解题思路】根据题意分析可知2z+y=^+5，利用基本不等式运算求解.

【解答过程】因为正实数x,y满足/+3xy-2=0,WJy=r-；*

则2x+y=2x+■:尹经2息=,

当且仅当当=9即“零,丫=答时，等号成立，

33x515

所以2%十y的最小值为咿.

故选：A.

【变式5-2](2025•河北沧州•模拟预测)已知正实数m,n满足nni=2,则工+白+片的最小值为()

mn2m+n

A.2V2B.3C.3V2D.4

【解题思路】利用基本不等式可得最值.

【解答过程】根据题意，znn=2,可得九=々

m

r.1.11,2,91.,9

则一+-+-——=一+m+--2,

mn2m+nm2m+—

m

设工+771=t,贝肥工2,原式为t+；z2=3a,

mityit

当且仅当亡=苧时等号成立，

故选：c.

【变式5-3］（2025•河南•模拟预测）设正实数m设c满足2c2一儿+2b2-1=0,则当abc取得最大值时,

a

：+：-6。的最大值为（）

911

A.4B.C.5D.v

22

【解题思路】由题意得。=7-七示，从而利用基本不等式求得。加=我—的最大值及成立的条件，从而」+

LC-OC+/&1+—C

bC

7-6a化为：-白，最后利用二次函数性质求解即可.

DOD5b

【解答过程】依题意，由2c2-加+2/-1=0,得a=.,z

a2（r-bc+2b£

所以Qbc=2T.”2=2c12b<--!=—=:，

2c2"c+2b2,］毋2X2庐-13

当且仅当即b=C时等号成立，

bc

则代入2c2-be+2b2一：=0中，得2b2—b-b+2b2-=0,所以。=去，

Hjfti+1-6a=l+1-^=-2Q）2+|=-2（l-1）2+|<1,

当且仅当b时取等号，所以当a=：,b=lc=|,时，工+：—6a取得最大值9

3433cb2

故选:B.

【题型6齐次化求最值】

【例6】（24-25高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知正数x,y满足％+2y=l,则詈的最小值为（）

A.壶B.2V2C.念D.2V2+1

【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】出=三丛0=皿至=营+空+1,因为X>0,y>0,故£>o,空>o,

xyxyxyyxyx

则±+空+1N2/x空+1=20+1,当且仅当"空,x+2y=1,也即“无一l,y=l-4取得等号,

yx7yxyx2

故也的最小值为2夜+1.

xy

故选：D.

【变式6-1］（2024•江西新余•二模）已知x,y为正实数，且x+y=2,则号2的最小值为（）

A.12B.3+2V2C.vD.

22

【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.

x+6y+6_2x+12y+12_a+y)x+6(x+y)y+3(x+y)2

【解答过程】由x+y=2,则

xy

_4x2+9/+13xy_2x9y.13?l2x9y13_25

2xy~~y+2x+~2~y]~>2x+T-T

当且仅当在=9B|Jx=I，y=/f,等号成立.

y2x55

故选：C.

【变式6-2]（24-25高一上安徽龙湖期末）己知“二:，则2/+3：+1的最小值为（）

2x-1

A.7+6V3B.6+6V3

C.7+4V3D.6+4V3

【解题思路】先变形已知”=2（“—1）+六+7,再利用基本不等式求最值.

2X2+3X+1_2(X-1)24-7(X-1)+6=2(%-1)+二+7,

【解答过程】x-1—-x-1

、31、1

VX>>,AX-1>?

•••2（%-1）+看+7Z7+2J2（x-1）x*=7+473,

当且仅当2。-1）=言，即x=V5+l时，等号成立，

故2，+3：+1的最小值为7+4V3.

x-1

故选：C.

【变式6-3]（24-25高三上•山西・期末）已知正实数x,y满足x+2y=3,则等的最小值为（）

A.2^2+1B.4C.4V24-1D.6

【解题思路】由条件可得力包=£+之+1,再利用基本不等式求其最小值即可.

xyyx

【解答过程】由题意知乂=>+G+2y）y=立3=:+空+1之2&+1,

xyxyxyyx

当且仅当x+2y=3,且即％=左今，丫=另1时等号成立，

即正包的最小值为2或+1.

xy

故选:A.

【题型7多次使用基本不等式求最值】

【例7】（2025•天津红桥•一模）己知a>0”>0,贝4+含+匕的最小值为（）

A.4V2B.2V2C.4D.2

【解题思路】利用基本不等式即得.

【解答过程】因为a>03>0,

所以:+亲+bN2^^+b=b+；N2jT^=2,

当且仅当，=含，且b=%即a=2,b=l时，取等号，

所以十+3+b的最小值为2.

故选：D.

【变式7」】(2025・河南•模拟预测)已知正实数a,b,满足a+b吗+/则a+b的最小值为()

A.5B.JC.5V2D.竽

【解撅思路】先根据某本不等式求出仁+§(a+b)>a然后即可根据不等式的性质得出(a+b)2>匾+

;)(a+b)>y,列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.

【解答过程】由已知可得，Q>0,匕>0,a+b>0.

因为疆+飙a+b)=*2+非+gN2丽+装=6+曰=多

当且仅当孚=勺即2Q=3b时等号成立.

2ah

所以,(a+b)2>(^4-1)(a+b)>y,

f2a=3b(0二基

当且仅当。*b_9:2,即02时，两个等号同时成立.

N+b-fU=V2

所以，Q+bN苧+夜=苧.

故选：D.

【变式7-2】(2025•全国•模拟预测)已知a为非零实数，b,c均为正实数，则4:a：+：+：b'；+：c，的最大值为()

1B立C-D出

A2424

【解题思路】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【解答过程】因为a为非零实数，a2>0,b,c均为正实数，

lj|.ia,2b+a2c_b+cb+c_b+c

422

、4a+b+c-4a2+等一2J4a2x*一^b2+c2

=1M+2bc+c2=1I上v1l1+2bc=立

4、b2+c24ylb2+c214、2bc4，

当且仅当4a2=与且匕=c,即、泛a?=b=c时取等号，

则铠吟的最大值为圣

故选：B.

【变式7-3]（2024•四川德阳•模拟预测）己知工>一1,y>0,z>0,2、+3y+z=2,则」7+1+。的最

//x+lyz

小值为（）

A."6B.廿C.*D.1+V6

2222

【解题思路】结合条件可得4（W+1|）=[2（x+D+3y+z]（W+j+|），展开等式右侧，结合基本不

等式求其最小值即可.

【解答过程】因为2%+3y+z=2,所以2（尤十1）+3y+z=4,

所以4岛+；+》=[2（x+l）+3y+z]岛+渭）

所以4（々+1+，=2+++包+3+型+—+三+3,

\x+lyz/yzx+1zx+1y

又亨+.Z2衣，当且仅当％+l=*y时等号成立，

处生+£工2石，当且仅当％+1=果时等号成立，

zx+16

§+百=6,当且仅当z=3y时等号成立，

所以4（马7+：+3=14+4遍，当且仅当》=浮，、=卫浮，z=U铲时等号成立，

所以々+」+币勺最小值为:+瓜

x+ly22

故选:A.

【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】

【例8】（2025•吉林延边•一模）已知正实数为，y满足x+y-gxy=0,且不等式x+y-Q>0恒成立，贝Ua

的取值范围是（）

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【解题思路】对题目等式变形得工+1=；，再利用乘“1”法即可得到答案.

xy2

【解答过程】因为正实数匕y满足％+y-gxy=O,所以:+；=今

贝I」：x+y=2（无+y）G+；）=212+：+J工8,

当且仅当％=y=4时取等号，因为不等式x+y—a>0恒成立，所以Q<8.

故选：B.

【变式8-1］（2024•浙江宁波・一模）不等式（好一。无一1）（%-6）々0对任意%>0恒成立，则Q2+/）2的最小

值为（）

A.2V2-2B.2C.2V2D.2近+2

【解题思路】先由题意得到％=b是%2一Q%—i=o的一个根，从而得到a,匕之间的关系式为Q=b-［消元

b

并利用均值不等式求解即可.

【解答过程】由题意可得，需满足x=b是/一。％一1=0的一个根，

即尸一。/，-1=0,且b>0,所以a=b一士

b

次+匕2=伍—+b2=2b2+p--2>2V2—2,

当且仅当2公=即匕=芈时取等号.

所以层+匕2的最小值为2/一2.

故选:A.

【变式8-2］（24-25高一上•安徽池州•期中）已知%>0,y>0,且x+y=5,若，7+」722m+1恒成立,

x+ly+2

则实数m的取值范围是（）

A.（-8,看］B.（一8,|C.（一8,寺D.（-00,4］

【解题思路】由已知条件得出（x+l）+（y+2）=8,将代数式士+々与9（%+1）+3+2）］相乘，展开后

利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于m的不等式，解之即可.

x+ly+2

【解答过程】因为x>0,y>0,Ax+y=5,则％+l+y+2=8,

则泮啖>。，

所以.+表=3岛+土）口+1）+8+2）］=¥5+鬻+氏

++2踽倒号

，4（y+2）_x+l_

当且仅当，（%+1）+（yi2）=8时，

、x>0,y>0

即当％=?.y=3时，所以-^7+土■的最小值为J,

33x+1y+28

因为—>2m+1恒成立，所以2m+1<^,解得m<白.

x+ly+2816

所以实数m的取值范围是（-8,引.

故选：A.

【变式8-31（24-25高三上浙江宁波•期末）设实数x,y满足%>1,y>3,不等式k（2x-3）（y-3）<8x3+y3-

12%2-3产恒成立，则实数k的最大值为（）

A.12B.24C.2V3D.4V3

【解题思路】原不等式可转化为三+工工匕利用均值不等式求空+上最小值即可.

y-32x-3y-32x-3

【解答过程】由y>3变形可得2x-3>0,y-3>0,

令。=2%一3>0,b=y-3>0,

则A（2x-3）（y-3）<8炉+/_12x2_3y2转化为上<必?白尸产,即笠+

其中至+上=噌+=之率+应=12（：+9工24M=24,

y-32x-3baba\ba）yjba

a=3

当且仅当|?=3,g|jx=3,y=5时取等号，

­b=一a

ab

所以不等式空+工工仁恒成立，只需k424,

y-32x-3

故选：B.

【题型9利用基本不等式解决实际问题】

【例9】（2025•江西•模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类

昆虫在水平方向上速度为u（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足庐=冬，则该类昆虫的最

1-Hv£

大跳跃高度为（）

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米

..2

【解题思路】求出H=G4,利用基本不等式可得答案.

【解答过程】由/=部可知=且u>0,

故”=总工/=3

当且仅当v2=2即I；=或时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.

故选：A.

【变式9-1】（2025・广西•一模）现使用一架两唇不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的祛码放

在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的捺码放在天平右盘中，再取出

一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（）

A.等于200gB.大于20（）gC.小于2（）OgD.以上都有可能

【解题思路】用平衡条件得出工的表达式，结合基本不等式可得答案.

【解答过程】设天平左臂长为HI,右臂长为九，7几九>0且血工小左盘放的药品为勺克，右盘放的药品为无2

克，

[1007H=nx崔为_100n_100m

叫mxi=1002n，解后与一刀-，心一丁，

%=修+孙=%+322阵口亟=200,

mnymn

当且仅当m=〃时，取到等号，而m。几，所以%>200.

故选:B.

【变式9-2】（2024•黑龙江哈尔滨•一模）己知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单

价分别为小元和〃元（m黄九），甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买10（）元的该商品，乙每周购

买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为由,。2,则（）

A.a1=%B.cqV&C.>a2D.。1，。2的大小无法确定

【解题思路】由题意求出的,。2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.

【解答过程】由题意得由=举=翟，。2=史*=等，

mn

因为m>0,n>0,ntHn，故'>标元，^黑^=标记

R|JGj<0,2，

故选:B.

【变式9-3]（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元

3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽”负薪余口，聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若宜角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b,c均为E数）.则（a+

b）2=4ab+（b—Q）2,（a+b）2=2c2—g—a）2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢

丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为Q+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一

算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>0,b>0,结合基本不等式即可得/+/的最小值

【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0,

则a+b\2面，即6N2相，所以abW9,当且仅当Q=8=3时，等号成立

又“赵爽弦图”的面积为。2+b2=（a+6）2-2a/?=36-2ad>36-2x9=18,

所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.

故选：B.

【题型10基本不等式与其他知识交汇】

【例10】（24-25高二上•上海松江•期中）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个

圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16ircm2的球.其中圆柱的两个底

面为球的两个截面，圆锥的顶点S在该球的球面上.

（1）若圆柱的高为2cm,求该陀螺的体积及表面积；

（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面DC距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀

螺的高是多少呢？

【解题思路】（1）根据题意求得外接球半径R=2cm,进而可求得底面半径r=B,再应用圆锥、圆柱体

积、表面积公式求结果；

(2)令圆柱的高为hem,有陀螺的高为2+gcm,应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确

定取值条件，即可得结果.

【解答过程】(1)令陀螺外接球半径为R,则41^2=16^,可得R=2cm,

由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为2R=4cm,又圆柱的高为2cm,

所以圆柱底面直径2r=2V4-1=2b，则底面半径r=V3,

综上，圆锥的岛为R-1=1cm,母线长为WVI=2cm,

所以陀螺的体积为2x3n+1xx1=7ncm3,

陀螺表面积为2x2V3n+3n+1x2V3nx2=(6近+3)ncm2.

(2)令圆柱的高为九cm,由(1)知陀螺外接球半径R=2cm,

所以圆柱底面直径为2r=^cm,圆锥的高为R-g=2-,cm,

所以陀螺的高为2-g+h=2+gcm,

由圆柱体侧面积S=2nrh=Hy/h2(16—h2>)<nx"+；一''=8ircm2,

当且仅当h=2V2cm时取等号，

所以陀螺的高是(2+V2)cm时，圆柱体侧面积最大.

【变式10-1】(2024•广东珠海一模)己知尔I、C是44BI的内角,a、b、c分别是其对边长,向量沆=(a+。c),

n=(sinZ?-sinA,sinC—sinZ?),且沆1亢

(1)求角力的大小：

(2)若a=2,求ZL4BC面积的最大值.

【解