2026年高考数学一轮复习：空间向量的概念与运算（讲义）解析版

专题7.5空间向量的概念与运算(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1空间向量的线性运算】.........................................................................4

【题型2空间向量数量积及其应用】....................................................................6

【题型3空间向量基本定理】...........................................................................9

【题型4共线问题】....................................................................................11

【题型5共面问题】....................................................................................13

【题型6空间向量的坐标运算】........................................................................15

1、空间向量的概念与运算

考点要求真题统计考情分析

(1)了解空间向量的概念，了解

空间向量与立体几何是高考的重

空间向量的基本定理及其意

点、热点内容，空间向量的概念与运算

义，掌握空间向量的正交分解

2023年新高考I卷：第18题，是空间向量与立体几何的基础,从近几

及其坐标表示

12分年的高考情况来看，空间向量的概念与

⑵掌握空间向量的线性运算

2024年上海卷：第15题，5运算的单独考查相对较少，一般以选择

及其坐标表示，掌握空间向量

分题、填空题的形式考查，主要涉及空间

的数量积及其坐标表示，能用

向量的线性运算、数量积运算与空间向

向量的数量积判断向量的共

量基本定理等，难度较易.

线和垂直

知识梳理

知识点1空间向量的有关概念

1.空间向量的概念

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模:向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法:空间向量用有向线段表示；

②字母表示法:用字母小b,c,…表示；若向量”的起点是4,终点、是B,也可记作施，其模记为间或|施

(4)凡类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量“长度相等而方向相反的向量，称为〃的相反向量，记为一“

共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这

(平行向量)些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量a，都有0〃“

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

知识点2空间向量的线性运算

1.空间向量的线性运算

加法a+h=OA+AB=OB

空间向减法a—b=:OA—OC=CA0aA

量的线

当2,0时，/M=KOA=PQ^〃/。r

性运算

数乘1：IJAa(A>0L)/Aa(A<())

当kO时,AO=XOA=MN；

当4=0时,〃=0

交换律：q+Z»=b+a；

运算律结合律：o+(b+c)=(a+b)+c,，〃4)=(M)a；

分配律:(2+")0=20+”,2(。+方)=，+，>.

2.共线向量定理

(1)共线向量定理

对于空间任意两个向量a,b(b，O),a〃b的充要条件是存在实数3使a=O.

(2)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；

②证明一:点共线.

知识点3空间向量的数量积

1.空间向量的夹角

(1)定义：己知两个非零向量心b,在空间任取一点。，作51=。，OB=b,则N4O4叫做向量°,力的夹角,

记作〈a,b).

~b~^ObB

(2)范围:OW<a,b>WTL

特别地，当〈mb)=；时，a1b.

2.空间向量的数量积

已知两个非零向量b,则同步|cosQ,b)叫做〃，力的数量积，记作〃力.

定义即“力=|a||〃cos(a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

①a_!_〃=〃/>=()

@a-a=a1=\a^

®(ziz)Z>),2GR

运算律

②ab=ba(交换律).

③。(Z>+c)=a力+ac(分配律).

3.空间向量夹角的计算

求两个向鼠的夹角：利用公式cos〈Z,»=舒g■求cosQ》”进向确定G，》

4.空间向量数量积的计算

求空间向量数最积的步骤：

(1)瘠各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入a-b=同b|cos〈a,b)求解.

知识点4空间向量基本定理及其应用

1.空间向量基本定理

如果三个向量“，b,。不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(X,y,z),使得〃

-\-yb-\-zc.

我们把｛“，b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,。都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步骤：

(I)定基底；根据己知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向

量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论:利用空间的一个基底｛：,九Z可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有

—不能含有其他形式的向量.

3.证明平行、共线、共面问题

(1)对于空间任意两个向量m仇力手0),的充要条件是存在实数九使

(2)如果两个向量”，力不共线，那么向量p与向量。，/»共面的充要条件是存在唯一的有序实数对Q,y),使

p=xa-Vyb.

4.求夹角、证明垂直问题

(1)0为。，〃的夹角，则cos9=fp.

同向

(2)若“，〃是非零向量，则〃_L〃oQ/>=0.

5.求距离(长度)问题

1。1=aa[\AB\=AB-AB).

6.利用空间向量基本定理解决几何问题的思路：

⑴平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；

⑵几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范闹：

(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得.

知识点5空间向量的坐标运算

1.空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定句量〃，作才!=〃.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z),

使《=xi+)：/+zA.有序实数组(x,j,z)叫做〃在空间直角坐标系O-q，z中的坐标，上式可简记作“=(x,y,

z)・

2.空间向量的坐标运算

设。=(0，。2，。3)，b={b\,岳，bi),有

向量运算向量表示坐标表示

加法〃+力〃+力=51+①，&+岳，6+①)

减法a—ba—b=（a]—b],s-岳，。3-力3）

数乘）.a羽=(幺防，筋2，2a3)，%WR

数量积ahab=a\b\-\~aib2~\~ciybi

【方法技巧与总结】

1.三点共线:在平面中48。三点共线0万=x53+y衣(其中x+尸1),O为平面内任意一点.

2.四点共面:在空间中P4民C四点共面—况=工况+J3+25?(其中.计尹2=1),O为空间中任意

一八占、、•

举一反三

【题型1空间向量的线，性运算】

【例1】(2025•黑龙江齐齐哈尔・二模)在三棱柱48。一公8£中，设而二五，AC=b,AAi=c,N为BC

的中点，则&N=（）

A.a+h+cB.-a+b+cC.-a+-b—cD.-a+-b+c

22222

【答案】C

【解题思路】由空间向量的线性运算法则即可求解.

因为N为BC的中点，

所以否R=中+疝=一圃'+“彳甘+公）=；3+ib-c.

故选:C.

【变式1-1］（24-25高一下•福建福州•期末）点。在平行四边形4BCD所在平面外，4C与8。交于点M,则2^4-

0B+20C-0D=（）

A.OMB.20MC.30MD.40M

【答案】B

【解题思路】由向量的线性运算即可求解.

【解答过程】由题意点M是4&BD的中点，

所以-0B+20C-0D=2（0A+沆）一（0B+西=2X20M-20M=20M.

故选：B.

【变式1-2］（2025高二•全国•专题练习）在平行六面体力BCDi'8'C6中，4。与30相交于点M,设近=五,

AD=bt£7'=七，则下列向量中与就相等的是（）

A.--a+-h+cB.--a+-b-c

2222

C--a--b+cD.-a-—c

2222

【答案】B

【解题思路】根据向量的线性运算求解即可.

【解答过程】根据题意，BM=BB+BM=—AA+（^AD—力8）=-+^匕~~c.

故选：B.

【变式1-3］（24.25高二上•山西•期末）如图，在三棱柱力8。一。£/中，6"分别是棱8瓦4。的中点，则由=

()

B.-AB-LACLAD

22+

D.AB-^AC^AD

C.-AB+1AC-1AB

【答案】C

【解题思路】由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案.

(解答过程】丽=丽+瓦5+通=一^BE+BA+^AC=-^AD-AB+^AC.

故选：C.

【题型2空间向量数量积及其应用】

【例2】（24-25高二下•江苏连云港•期中）已知平行六面体ABCD-中，A%=2,8。=3,河•尻一

丽炭=4,贝［cos两，而）=（）

【答案】B

【解题思路】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求标•前，结合向量夹角公式可求结论.

【解答过程】因为何.反一函反=(AD+AAi)-AB-(AB+~AA^)•AD

=ADAB+标•AB-ABAD-标•AD=历•(而-而)=初•丽=4

所以标•而二-4,

cos(AAi^D)=j晶黑]=二=—

【变式2-1](24-25高一上,重庆,期末)已知空间向量近+b=6,且同=2,也|=4,R|=3,则cosd)=

()

A.-B.-C.—D.—

2422

【答案】B

【解题思路】根据模长公式即可代入求解.

【解答过程】由五+石+七=6可得一石二五+二

故|一“=|a+c|=\ja2+~c2+2a=4=j4+9+2x2x3cos0,召,故cos(a,c)=%

故选：B.

【变式2-2](25-26高二上•全国•单元测试)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学

家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已

知一个正八面体力伙刀必.的校长都是2(如图)，F,。分别为棱力从4。的中点，则()

C.2D.I

【答案】D

【解题思路】根据向量的线性运算可得而.而=乂而+的・（-?同-而），结合八面体的特性计算数量

枳即可.

【解答过程】由正八面体的性质可得B尸=4）,BFWAD,则而=丽,

_■1____1_

CP^FQ=-(CB+CAy(fB+~BA+AQ)=~(CB+CA)（一而一而+巳砌

二:每+⑸.(一;而一回

=—\cB-AD—^rCB-AB-^-CA-AD—\~CA-AB

4242

=^-BCBF-^-BCBA+^-ACAD+^-ACAB

4242

1111

=-x2x2cos60°——x2x2cos500+-x2x2cos600+-x2x2cos60°

4242

z-1+T+1=I.

故选：D.

【变式2-3］（2025•河南新乡•二模）已知圆锥M。的底面半径为、氏高为1,其中。为底面圆心，A8是底面

圆的一条直径，若点P在圆锥M。的侧面上运动，则亚•丽的最小值为（）

C.-2D.-1

【答案】A

【解题思路】由方•方二（而-西•（丽-加）=而2一（⑹）|赤।最小时，方而有最小值，求।而।

的最小值即可.

【解答过程】圆锥M。的底面半径为遥，而为1,其中。为底面圆心，是底面圆的一条直径,

M

则有65=-OB,\OA\=\OB\=®

点P在圆锥M。的侧面上运动，

则正.而=(而一而).(OB-OP>)=OA-OB-(OA+OByOP+OP2=OP2-(V3)\

|西最小时，瓦？•丽有最小值，|西的最小值为。点到圆锥母线的距离，

RtAMOA中，0A=V3,0M=1,则AM=2,。点到AL4的距离0。=

AM2

2

则网的最小值为苧，闷•丽的最小值为停)-(V3)2=~1

故选：A.

【题型3空间向量基本定理】

【例3】(2025•湖北武汉•二模)在三棱柱ABC-&B1G中，设标=%AB=~b,AC='c,M,N分别为力B,

CG的中点，则而二()

A.-a+-b+~cB.-a--b+cC.a--b+-cD.a+-l)+~c

2222222

【答案】B

【解题思路】结合几何图形，利用给定的基底表示向量而•

【解答过程】在三棱柱A8C-481cl中，MN=~MA+AC+CN=-^-AB+AC+-AA^=+c.

【变式3-1](2025•浙江温州•模拟预测)己知空间向量3=(1,0,0)范=(0,1,0),则下列向量可以与瓦石构成

空间向量的一组基底的是()

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【答案】B

【解题思路】根据基底的定义，判断方，京?是否共面即可逐•求解.

【解答过程】对于A,由于基底向量不能是零向量，故A错误，

对于B,由于下=(0,0,1)与近万不共面，符合基底要求，故B正确，

对于C,Z=(LL0)二益+反故瓦石工共面，不符合要求，C错误，

对于D,W=(1,2,0)=苍+2]，故瓦瓦Z共面，不符合要求，D错误，

故选:B.

【变式3-2](24-25高二下•江苏淮安・期末)如图，在四棱锥P-力BCD中，底面A8CD为平行四边形，点£,F

分别为的中点，若元=；沅，且方=%荏+、而，则x+y=()

34

A.1B.2C.-D.-

23

【答案】D

【解题思路】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.

【解答过程】因为点£,尸分别为PB,PD的中点，所以荏户+丽)，而=*而+而)，

所以而+而=2AE,AP+AD=2而，

因为同一^无，所以南-而而)而+而一刀)，

所以m二|而+g而+g而=9(而+而)+；(而+画=^AE+^AFt

又HG=xAE4-yAF,则x=y=所以无+y=:

故选：D.

【变式3・3】(24-25高一下•浙江宁波•期末)在平行六面体4BCD-力向。山1中，点E为棱力4的中点，点F

为棱CC1上靠近C的二等分点.若前二x前十y前十万耐，x,y,zeR,则x+y+z的值为()

A.-6B.—6C.—6D.--6

【答案】B

【解题思路】选一组基底｛而，而，加，利用空间向量基本定理即可求解.

【解答过程】由题意有荏=9引，而=?沅?，所以弹=存-荏=万+正+而一^而

=AB+AD+^CC^-^AA^=AB^AD-^AA^,

326

所以x=y=l,z=-；,所以x+y+z=l+l

666

故选：B.

【题型4共线问题】

【例4】（24-25高二下•福建龙岩•期中）已知品，ej,互不共面，若丽二瓦+2与一百，近=2瓦+的J+译,

且4SC三点共线，则%+〃=（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】A

【解题思路】tilAB=mBC,列出方程求解即可.

【解答过程】因为4£C三点共线，

所以前=mBC,

即可+2弓一石=+m/zej+m瓦，

(mA=1

所以mu=2

m=-1

所以2+〃=-3,

故选：A.

【变式4-1］（24-25高二上・湖南永州•期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点力、8、C共线的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=ACC.~AB=-2BCD.\AB\=\BC\

【答案】C

【解题思路】根据向量的加法运算可判断A,根据向量的减法以及相反向量可判断B,根据共线向量的定义

可判断C,向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D.

【解答过程】对于A,而于空间中的任意向量，都有方+近=尼，不能说明三点共线，说法A错误；

对于B,若湘-前=而,则就+而=南，而就+而=万，据此可知证=而，即8,C两点重合，选

项B错误；

对于C,AB=-2BC,WlJ/1.B、C三点共线，选项C正确：

对于D,|荏|=|近则线段48的长度与线段的长度相等，不一定有力、B、C三点共线，选项D错误；

故选：C.

【变式4-2](24-25高二下•福建宁德期末)已知向量苍=(一1瓜,2),石=(6,3,y),若五与E共线，则实数盯

值为()

A.-6B.6C.3D.-3

【答案】B

【解题思路】利用空间向量共线列式求出％y即可.

【解答过程】由向量元=(一1,%2),石=(6,3,y)共线，得5]解得％=-打=-12,

所以=6.

故选：B.

[变式4-3](25-26高二上•全国•课后作业)设向量耳与互不共面,已知而=可+霓+可,说=可+/1瓦+国

而=4可+8瓦+4国若4C,。三点共线，则入=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解题思路】利用4C,D三点共线得到而〃而，再使用共线向量定理即可.

【解答过程】因为4C,。三点共线，所以前〃而，则存在实数〃，使得前=〃而，

由已知得而=4n+8另+4五，AC=AB+BC=2e；+(l++2心

故+8〃可+4〃瓦=2瓦4-(1+A)eJ+2酝

2=4/1,_1

由于瓦百瓦不共面，故l+/l=B〃,解得〃=于

2=4出口=3.

另解:因为向量心匹可不共面，所以mII而，

由已知得而=4可+8要+4行，正=方+近=2万+(1+4)与+2瓦,

故向量表达式中可，酝可的系数对应成比例，即；=手=；,解得4=3.

4o4

故选：C.

【题型5共面问题】

【例5】(25-26面三上•江苏镇江,开学考试)已知为空间中四点，任意三点不共线，且丽=刀刃+

yOB-OC(x>0,y>0)若M,4B,C四点共面，贝心+1的最小值为()

f工.V

A.4B.5C.-D.9

2

【答案】C

【解题思路】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可.

【解答过程】因为四点共面，OM=xOA+yOB-OC(x>0,y>0)

所以由共面定理可得，x+y-l=l,即x+y=2,

所端+;=qe+;)(x+y)=*5+孑+;),

因为型+±N2贮=4,

XyyXy

当且仅当?=：,即X=2y,即“打二抖，等号成立，

所以：+；="5+3+：)*(5+4)=1,

故选：C.

【变式5-1](2025•山西临汾•一模)在平行六面体4BCD-4氏的。】中，”为CQ的中点，方=AAH,AE(0,1),

若8,D,C],尸四点共面，则2=()

A「

A.~1Bo.72Cr.—1D.—2

2533

【答案】D

【解题思路】由四点8,D,C]，F共面可得存在实数％y,使加二工西+y丽，用同一组基底向量表示出

而，西，前，根据系数对应相等列方程组求解.

[解答过程】由平行六面体的特征可得而=AB+BC+CH=AB+AD+g标，

则而=AAH=AAB+AAD+g丽，

所以罚=丽+而=而+/1而+/1而+（诉=（2-1）而+派+（再，

又丽=而一戒BCi=BC+CC^=AD+AA^,

又由8,DC,尸四点共面，可得存在实数％y,使丽=xBC{+yBD=x（AD+引）+y（AD-而）=-yAB+

（x+y）AD+xAA[.

A—1=-y

I+y,解得a=*

故选：D.

【变式5-2]（25-26高二上•全国•课后作业）在下列条件中，使M与4B,C一定共面的是（其中。为坐

标原点）（）

A.OM=OA-OB-OCB.两盘而开耐+；小

C.OM+OA+OB+0C=0D.AM4-4-M?=0

【答案】D

【解题思路】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.

【解答过程】空间向量共面定理：OM=xOA+yOB+zOC,

若4B,C不共线，且4B,C,M共面，其充要条件是x+y+z=l.

对A,因为1一1一所以4,8,&M四点不共面；

对B,因为g+g+所以48,C,M四点不共面；

对C,由丽+五？+砺+0?=6可得丽=一刀一砺一方，

因为一1一1-1=一3。1,所以4,8,C,M四点不共面；

对D,由MS+而+前=6可得-而+而一丽+近一丽=6,

即丽=［历f+g而+［左，因为3+；+3=1，所以48,C,M四点共面.

故选:D.

【变式5-3】(2025高二•全国•专题练习)下列命题中正确的是()

①若丽=2而？一丽，则P,A,B三点共线：

②若雨+而+无+而=6,则4B,C,。四点共面；

③若而=；而+)而1，则p,%,B,C四点共面.

263

A.①②B.②③C.®@D.①②③

【答案】C

【解题思路】根据空间向量基本定理判断即可.

【解答过程】根据共线定理推论，系数2-1=1,所以P,A,8三点共线，命题①正确；

OA+OB+OC=-OD,若褊，OB,反不共面，

则根据平行六面体法则，此时4B,C,D四点不共面，命题②错误；

而=g方+亮丽号沆=乂丽+网+X而+画_*丽+硝，

所以定=称方+m万，B|JP,A,B,C四点共面，命题③正确.

故选：C.

【题型6空间向量的坐标运算】

【例6】(2025•广东惠州•三模)已知空间向量范五满足玩一元=(1,2,3),南+元=(0,-2,1),则|沅/一同2=

()

A.-2B.IC.0D.-1

【答案】D

【解题思路】应用向量线性运算的坐标表示求出而记坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值.

【解答过程】由题设2万=(1,0,4)=沆=(；,0,2),2n=(-1,-4,-2)=>n=(--2,-1),

所以际产_同2=y-y=-1.

故选：D.

【变式6-1］(2024•江苏・模拟预测)已知空间向量3=(6,2,1),石=(2,%,—3),若@一2%)1优则％=()

八71

A.4B.6C.-D.-

44

【答案】C

【解题思路】求得2一2万=(2,2-2七7),进而可得12+4-4x+7=0,求解即可.

【解答过程】因为不一2万=(6,2,1)-2(2/,-3)=(2,2-2%,7),

因为(有一2石)1五，所以12+4-4工+7=0,解得冥=今

故选：C.

【变式6-2](24-25高二卜•江苏南京期中)已知H=(-3,2,5)1=(1,5,—1),则伍+方)•伍一方)=()

A.11B.-13C.45D.3

【答案】A

【解题思路】先根据空间向量的线性运算得出再应用数量积公式计算求解.

【解答过程】因为：=(一3,2,5)1=(15-1),

所以2+b=(-2,7,4),a-d=(-4,-3,6),

所以11=8-21+24=11.

故选:A.

【变式6-3](2025•浙江嘉兴•模拟预测)设％y€R,方二(Ll,l),i=(l,y,z),Z=3-4,2),且方_LW,E〃?，

则|2五+3=()

A.25/2B.0C.3D,372

【答案】D

【解题思路】由向量的共线与垂直条件求解了，七的坐标，再由向量坐标运算及求模公式可得.

【解答过程】a=(1,1,1),1=(l,y,z),c=(x,-4,2),

由方,下，则有苍工二%一4+2=0,解得％=2,贝归=(2,—4,2).

由石/氏则有:a=会解得y=-2,z=1,

所次5=(1,—2,1),故2元+方=(3,0,3),

则悟W+Z?|=V32+32=3a.

故选：D.

过关测试

一、单选题

1.(2025•全国•模拟预测)已知正方体/WCC-41。道1。1，设向量方=河，石=北7=而，则而=()

A.1(a+5+c)B.1(a+/；-c)C.|(S+c-a)D.|(a+c-b)

【答案】B

AA^+AD=力。i=c

AD+AB=AC=b,即可求解屈=；五+》一：3

，4，

TTTT

AA+AB=ABi=a

{X

(TTTT

IAAiIAD=AD1=c

【解答过程】由于{AD+AB=AC=b，

TfTT

(4/11+AB=71%=a

所以=!五一！石+：Z，而=；4一与+：石，D+|c-1a.

'2222222X=22

2.(2025•辽宁鞍山•一模)已知向量五=(351)，b=(24,4),则0+方)•石=()

A.36B.32C.56D.52

【答案】A

【解题思路】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得.

【解答过程】向量2=(3,5,1),1=(2,1,4),则方+石=(5,6,5),

所以伍+E)・石=2x5+6x1+4x5=36.

故选:A.

3.(2025・山东济南•三模)已知在空间直角坐标系。无yz中，三点4(1,1,0)1(0,企,1)((2,1,-1),则向量刀

与而夹角的余弦值为()

A.一些B.一更C.更D.在

6666

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解.

【解答过程】依题意，前=(1,0,-1),而=(0,&,1),

所以向量而与而夹角的余弦值为备篇=・=-}.

\AC\\OB\V3v26

故选：A.

4.(2025•新疆喀什•模拟预测)在任意四边形4BCD中，E,尸分别是AD,的中点，若布+沆=4前,

则4=()

A.1B.1C.2D.3

【答案】C

【解题思路】根据向量加法法则，将而+沆，前分别用而，方,荏表示，再结合题意即可得解.

【解答过程】如图，AB+DC=AD+DC+CB+DC=AD+2DC+CB,

~EF=~ED+~DC+CF=-AD+~DC+-CB,

22

•••AB+DC=2EF,AA=2.

故选：C.

5.(2025・湖北•二模)如图所示，在平行六面体Z1BCO-仆当的小中，AM=^MC,&N=2NO.设而二役,

AD=b,AA{=c,MN=xa+yb+zc,则％+y+z=()

B.

【答案】D

【解题思路】根据空间向量的线性运算得而=西5+引+彳/=五+：石+；乙则得到其和值.

O

【解答过程】因为4M=!MC,ArN=2ND,

则标=诟+标+A^N=-萍+标+:砸=-；（而+砌+标+式而一标）

一挹一挹+"物-疑=-软+/+3

所以％=-；,y=z=；,故％+y+z=q.

•JJJ

故选：D.

6.（2025•上海黄浦•二模）如图，在平行六面体4BCD-/hB]CiDi中，设五=而，石=西，若方、石、c

组成空间向量的一个基底，则七可以是（）

A.两B.BC[C.BDD.西

【答案】B

【解题思路】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断.

【解答过程】由益=丽，E=西，益、]、下组成空间向量的一个基，得向量五、b.正不共面，

对于A,在平行六面体中，西二码，则两与五、石共面，A不是；

对于C,~BD=+B~^D=AA^-=a-b,而与Z,石共面，C不是i

对于D,西=丽+西=彳-5+五=2五一石，西与正石共面，D不是；

对于B,由西=说+沆+西，得石=0+况+五，万?，沅，五不共面，

假设反7与五、石共面，则存在x,yWR,使得两*=%+证，

而西=两*一而=五一万]，Ma-DA=xa+y（DA+DC+a）,

x+y-1=0

整理得Q+y-l）五+（y+l）/+y反=6,从而y+l=0,此方程组无解，

y=0

假设不成立，因此西与益、石不共面，7可以是西.

故选：B.

7.（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）已知空间中有5个点E、4、8、。、D,若满足（1一入）耳5=：而+；反+

34

AAD,且小B、C、。四点共面，则义的值为（）

1

A・nD.77

【答案】B

【解题思路】根据空间共面向量定理的推论可求4的值.

【解答过程】由瓦5-入瓦5=［而+］前+/C后得刀=［丽+」元+入(瓦5+而),

3434vz

即瓦？=：丽+3前+4瓯

34

由空间向量共面定理的推论可知，;+;+入=1,解得人=得.

<4IZ

故选：B.

8.(2025•山西•一模)如图，直三棱柱48C-a81GL中，=AC==441=2,点p为侧面力^当①

上的任意一点，则》•网的取值范围是()

A.［0,2］B.[1,3]C.[2,4]D.[3,5]

【答案】C

【解题思路】取力4中点为原点。，建立空间直角坐标系，设尸(x,0,z),由数量积的坐标表示得到定•际=%2+

(Z-1)2+2,进而可求解；

【解答过程】如图取48中点为原点O,建立空间直角坐标系，设P(x,0,z),

其中一UW1,0<z<2,C(0,V3,0),g(0,g,2),

PC=(-x,V3,-z),PC；=(-%,V5,2-z),PC-PC；=x2+3+z2-2z=x2+(z-I)2+2,

当《=±1,且z=0或z=2时，正•网取最大值4,

当x=0,且z=l时，正•时取最小值2,所以定•时的取值范围为[2,4].

故选：c.

二、多选题

9.（25-26高二上•全国•课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向

量的是（）

A.AB+2BC+2W+DCB.2AB+2FC+3CD+3DA+AC

C.AB+DA+~BDD.AB-CB+CD-AD

【答案】BCD

【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误.

【解答过程】对于A,AB+2BC-¥2W+DC=（AB+BC）+（BC+CD）＞+（CD+DC）＞=AC+BD,

结果不一定为零向量，故A错误：

对于B,2AB+2BC+3CD+3DA+AC=

2（AB+~BC）+3（CD+~DA）+AC=2AC+3CA+AC=O,故B正确；

对于C,AB+DA+BD=DA+AB+BD=DB-^-BD=Z,故C正确；

对于D,AB-CB+CD-AD=（AB-~AD）+（CD-CF）=DF4-RD=0,故D正确.

故选：BCD.

10.（2024•山东淄博•二模）如图，在平行六面体力8CQ-/1汨中，以顶点力为端点的三条棱长都是I,

且它们彼此的夹角都是去M为AC与BD的交点.若同=区AD=b,丽=己则下列说法正确的是

«3

B.（CM,-j

C.BD；=a+b+cD.而♦西=1

【答案】AD

【解题思路】由题意可知，ab=a--c=bc=lxlxCos^=\再利用空间向量的线性运算和数量积运算

逐个判断各个选项即可.

【解答过程】由题意可知，a-b=a-c=Z）-c=lxlxcos^=1,

JL

对于A»CM=CC]+C]M=/I/Ij+—Cj/lj—zl/lj——（/IF+/ID）=——a.——b4-c»故A正确；

对于B,又因为力C；=荏+而+力A；=2+E+Z,

所以国.祈=（一称五一^石+/）•0+石+/）=-^a2-^a-b-^a--c-^b-a-^b2-^b~c-¥~c-a+~c-

b+~c2=0,

所以〈两，宿）二》故B错误；

对于c,西=瓦5+而+两=一万+而+引=一五+E+3故c错误；

对于D,AD-BDi=/?•（—a+/?4-c）=—a-/?+b2+b-c=1,故D正确.

故选：AD.

11.（2025•浙江台州•一模）已知棱长为3的正四面体4-BCD,荏=2而，而5=〃玩，前=3阮，九

[0,1],则下列选项正确的是（）

A.当〃=；时，EF-BC=0

B.当〃＜的寸，网（斗

C.当|而|=通时，4+〃的最大值为3

D.当府|=倔寸，则|祠『的最大值为上署

【答案】ACD

【解题思路】选说，死，而为空间内的基底向量，可