第23章解直角三角形（复习讲义）（学生版）

第23章解直角三角形（复习讲义）理解锐角三角函数的概念掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导.掌握解直角三角形的方法利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A+cos²A=1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角.应用三角函数解决实际问题能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解.●一、锐角三角函数1、正切、正弦、余弦正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝∠A的对边斜边＝BCAC余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即cosA＝∠A的对边斜边＝BCAC【注意】（1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形.（2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位．2、锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．3、锐角三角函数之间的关系：（1）正弦与余弦的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90－A)=cosB,cosA=sin(90º－A)=sinB．（2）同角的正弦、余弦关系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA●二、30°、45°、60°的三角函数值1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1（1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数.（2）●三、用计算器求锐角三角函数值（1）当锐角以度为单位时，可先按（或）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按键，即可在屏上显示出结果.（2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为：（或）、、度数、、分数、秒数、、.【注意】使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值.●四、解直角三角形1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边长、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边长），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.2、直角三角形中的边角关系：直角三角形各元素之间的关系图形两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.三边之间的关系a²+b²=c²边角之间的关系sinA＝∠A的对边斜边＝BCABsinB＝∠B的对边斜边＝ACABcosA＝∠A的邻边斜边＝ACABcosB＝∠B的邻边斜边＝BCABtanA＝∠A的对边∠A的邻边＝tanB＝∠B的对边∠A的邻边＝3、解直角三角形的类型及基本解法已知条件图形解法两边（1）两条直角边a,b①由tanA＝ab，求∠A②∠B=90°－∠A.③c=（2）斜边和一条直角边（如a,c）①由sinA＝ac＝cosB求∠A,∠B②b=一边一锐角（3）一个锐角及其对边（如a,∠A）①∠B=90°－∠A.②c=asinA,b=atanA（4）一个锐角及其L邻边（如b,∠A）①∠B=90°－∠A.②a=btanA,c=bcosA（5）一个锐角及其斜边（如∠A,c）①∠B=90°－∠A.②a=csinA,b=ccosA.【注意】1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边.●五、直角三角形的应用1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据题目条件解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念：（1）仰角、俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．（2）方位角以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.如图：如图所示,目标方向线OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向.（3）坡角、坡度名称定义表示方法关系举例坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角.一般用字母α，β，γ表示.①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即i=tanα；②坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.当h=1，l=3时，坡度.i=h:l=1：3，坡角为30°.坡度坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比).通常用i表示，即i=h:l.题型一题型一求角的正弦值【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（）A．13 B．24 C．1010 【变式1-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，【变式1-2】（2025·广东广州·二模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,AC=3，BD题型题型二由正弦值求边长【例2】（2025·广东梅州·二模）在△ABC中，∠C=90∘，BC=4，sinAA．25 B．6 C．83 D【变式2-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥CD交DC的延长线于点E．若AB=2, BDA．12 B．1 C．2 D．【变式2-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝213，sinB=3（1）求tanC；（2）求线段BC的长．题型题型三求角的余弦值【例3】A．72 B．21111 C．11【变式3-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinBA．513 B．1213 C．512【变式3-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在△ABC中，∠C=90°，tanA=A．55 B．255 C．2题型题型四由角的余弦值求边长【例4】（2025·云南昭通·二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，已知BC=10，cosA．4 B．5 C．6 D．8【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，若【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，连接CD，若CD=3，cosA．2 B．4 C．5 D．2题型题型五求角的正切值【例5】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA

A．43 B．34 C．35【变式5-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（）A．13 B．3 C．1010 D【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDADA．13 B．1 C．223题型题型六由正切值求边长【例6】（2025·云南红河·三模）如图，在△ABC中，若∠B=90°，tanA=43A．3 B．4 C．5 D．6【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=30°,tanC【变式6-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点D是△ABC外一点，DB=DC，AB与CD相交于点E，∠BDC=∠BAC，连接DA，若AC=4，题型题型七由定义判断多结论【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，ACA．sinA=bc B．tanB=【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，∠C=90°A．sinA=ACAB B．cosB=【变式7-2】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACBA．sinA=BCAC B．tanB=题型题型八特殊锐角三角函数的计算【例8】（2025·云南玉溪·二模）计算：36-【变式8-1】（2025·云南昆明·三模）计算：-1【变式8-2】（2024秋•西岗区期末）计算．（1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°；（2）（cos230°+sin230°）×tan60°．题型题型九由特殊锐角三角函数值求角度【例9】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若α为锐角，且tanα+15°=1，则αA．20° B．25° C．30° D．45°【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在△ABC中，若cosA-12A．45° B．60° C．75° D．105°【变式9-2】，tanA-1+A．75° B．60° C．45° D．105°题型题型十利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状【例10】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在△ABC中，若2cosA-2A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【变式10-1】sinB=cos90°-∠A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【变式10-2】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，若sinA-32题型题型十一已知角度比较三角函数值的大小【例11】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）sin46°,cos46°,A．tan46°<cos46°<C．sin46°<cos46°<【变式11-1】三角函数sin30°、cos16°、sin43°A．sin43°>cos16°>C．cos16°>sin43°>【变式11-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较tan52°，cos21°，sin49°A．tan52°<cos21°<C．sin49°<tan52°<题型题型十二由三角函数值判断锐角的取值范围【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若∠A是锐角，且sinA=A．0°<∠A<30° BC．45°<∠A<60° D【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若cosα=4A．0°<α<30° BC．45°<α<60° D【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角α满足12<cosα<A．0°<α<45° BC．45°<α<60° D题型题型十三由同角三角函数求值【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知tanα=2，则sin2A．23 B．43 C．4 D【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知tanα=2，则2sin【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=2题型题型十四互余两角三角函数的关系【例14】（2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于(

A．25 B．35 C．45【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝1213，则sin(90°－α)的值是(A．513 B．1213 C．512【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα题型题型十五锐角三角函数与网格问题【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则cos∠BAC的值为（A．55 B．255 C．1【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则tan∠BAC的值为（

A．12 B．2 C．3 D．【变式15-2】18．【变式15-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为（

A．55 B．12 C．25题型题型十六解直角三角形【例16】（2025·山西朔州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，且∠B=2∠ADE，AE=BD【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，AD是△ABC的中线，

求：(1)BC的长；(2)∠ADC题型题型十七解非直角三角形【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=135°， A．25 B．42 C．210【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tan

A．2+23 B．3+3 C．4 D【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3A．45° B．75° C．90° D．105°题型题型十八利用解直角三角形求图形的面积【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（

）A．122 B．C．243 D．【变式18-1】如图，cosB=22，sinC=3A．42 B．43 C．44 D．45【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠(1)求AC的值．(2)求△ABC题型题型十九解直角三角形的应用---仰角俯角问题【例19】（2025·四川绵阳·二模）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以20m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，15min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，

A．3002m B．3752m C．【变式19-1】（2025·海南·模拟预测）定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，B'，C，C'，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为30°，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点B'处，在点B'处测得定滑轮O的仰角为60°，物体从点B移动到点B'处绳子收回的长度为4m，已知物体的高度A．3-3m B．3+3m【变式19-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼AB）前面的楼CD的高度．如图，他首先在AC间的点M处架了测角仪，测得楼CD楼顶D的仰角为45°已知AM=4米，测角仪距地面MN=1米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼CD楼顶D的仰角为37°，AP=4米，请求出楼CD的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，题型题型二十解直角三角形的应用---方位角问题【例20】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物C，小明在公路上的点A处测得建筑物C在北偏东60°的方向上；小明向东走20米到达点B处，测得建筑物C在北偏东30°方向上．则建筑物C到公路l的距离为（

）A．10米 B．103米 C．15米 D．3【变式20-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，【变式20-2】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东35°方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西65°的方向上，点Ｃ在点B的北偏西52°，点A，C之间相距20海里，求点B，C之间的距离．（结果保留0.1海里）参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45题型题型二十一解直角三角形的应用---坡度问题【例20】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=12m，则迎水坡AB的长度是(

)A．24 B．242 C．36 D．【变式20-1】（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，AD∥BC，坝高DC=8m，将原坡度i=1:0.25的迎水坡面AB改为坡角为60°的斜坡EB，此时，河床面的宽减少的长度AE等于（结果精确到0.1mA．2m B．2.6m C．3.2m D．3.6m【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为6米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角∠GFN为30°题型题型二十二解直角三角形的应用---其它问题【例22】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离CD=20cm，支架长BC=15cm，灯长AB=16cm，当支架BC与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为30°时，阅读时光照效果最佳，此时点A．34cm B．41cm C．45cm D．50cm【变式22-1】（2025·四川南充·三模）如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙CD，已知AC=BD=12AB=1A．2-2m B．2m C．1-【变式22-2】（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为4m，当摆角∠AOC为30°时，座板离地面的高度AM为1m，当摆动至最高位置时，摆角∠BOC为题型题型二十三用计算器求锐角的三角函数值【例23】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知∠A是锐角，且A的大小是的计算结果，则∠A的度数为（

A．30° B．45° C．60° D．75°【变式23-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算13cos52°A． B．C． D．【变式23-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=3A． B．C．D．题型题型二十四锐角三角函数的综合运用【例24】（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，DE与AB交于点O，连接(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若BC=82，tan∠【变式24-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【变式24-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)当AB=5，tan∠ABE=3基础巩固通关测基础巩固通关测1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（）A．35 B．45 C．34 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角函数值（A．都扩大到原来的n倍 B．都缩小到原来的1C．没有变化 D．只有tanA3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥ABA．CDBC B．ACAB C．ADAC4．，若cosA-32A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2025·四川绵阳·二模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（

）米（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75A．74 B．91 C．57 D．406．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点FA．74 B．73 C．34 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4m，露在水面上的鱼线BC的长为22m，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）α为锐角，若sinα+cosα=9．（2025九年级下·全国·专题练习）在△ABC中，∠A、∠B满足：210．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为．11．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P-3, m在第二象限内，若OP与x轴负半轴的夹角α的正切值为5412．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为50°和30°，若飞机离地面的高度CH为100米，且点H，A，B在同一水平