中考数学总复习《直角三角形》专项测试卷及答案

第页中考数学总复习《直角三角形》专项测试卷及答案直角三角形核心勾股定理及逆定理1、如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（）A. B. C.2 D.2、如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（）．A10 B.12 C.13 D.153、在正方形中，的值为（）A. B.1 C. D.24、如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（）A. B. C. D.5、如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（）A. B.6 C. D.36、如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（）A.3 B.2 C.1 D.7、如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m．8、已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．（1）若三角形为等边三角形，则______；（2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论）①若，，则为直角三角形②若，，，则③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为79、图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；（3）在图③中，是面积最大等腰直角三角形．10、清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．11、问题提出已知，都是锐角，，，求的度数．问题解决（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上）策略迁移（2）已知，都是锐角，，，则___________；（3）已知，，都是锐角，，，，求的值．（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）12、.四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________．13、如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________．14、如图，在菱形中，，对角线，点是边中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．15、2025海南中考真题）如图，点是内一动点，且，，．（1）面积的最大值为_______；（2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______．16、《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）请补全上表中的勾股数．（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？17、如图，在中，，，．（1）求的长；（2）求点到线段的距离．18、综合与实践（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．19、我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．（1）请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）．（2）如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积．20、小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．（1）求反比例函数的表达式．（2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．参考答案直角三角形核心勾股定理及逆定理1、如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，∴，∵点是的中点，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∵，点是的中点，∴是中位线，∴，故选：A．2、如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（）．A10 B.12 C.13 D.15【答案】B【解析】【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径．根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可．【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接，因为圆与相切于点，所以，则，即，解得，，又，所以．故选：B．3、在正方形中，的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可．【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：；在正方形中，表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即；∴．故选：C．4、如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．【详解】如图所示，过点A作于点D∵是直径∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴该粒米落在扇形内的概率为．故选：D．【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．5、如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（）A. B.6 C. D.3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长．【详解】解：∵在中，，，．是中点，∴设，则．∵，是直角三角形，且，，∵，则．在中，根据勾股定理，∴，，，解得（）．，．故选：．6、如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得．【详解】在中，，是中点，∴，∵，∴，∵沿方向向右平移至，∴，故选：B．7、如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，∴，故答案为：．8、已知，，，是的三条边长，记，其中为整数．（1）若三角形为等边三角形，则______；（2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论）①若，，则为直角三角形②若，，，则③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7【答案】①.2②.①②##②①【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可；（2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③．【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形，∴，∴，故答案为；2；（2）①当，时，∵，∴，∴，∴，∴为直角三角形，故①正确；②当，，时，∵，∴；当时，∵，∴，∴；当时，∵，∴，∴，∴；∵，∴t随b的增大而增大，当时，，当时，，∴，故②正确；③当时，则，∵，∴，∴；∵a、b、c是三个相邻的正整数，，∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），∵，∴，解得，∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个，∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组，∴满足条件的的个数为6，故③错误；故答案为：①②．9、图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；（3）在图③中，是面积最大等腰直角三角形．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上；（2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上；（3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解；如图所示，即为所求；【小问3详解】解：如图所示，即为所求．10、清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，由勾股定理，得：，解得：，∴；∴第⑤组勾股数为；故答案为：．11、问题提出已知，都是锐角，，，求的度数．问题解决（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上）策略迁移（2）已知，都是锐角，，，则___________；（3）已知，，都是锐角，，，，求的值．（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题．（1）连接，利用等腰直角三角形的性质求解；（2）构造等腰直角三角形可得结论；（3）构造直角三角形可得结论．【详解】解：（1）如图1中，连接，，，，∴是等腰直角三角形，，，；（2）如图2中，连接，由题意，，，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，故答案为：；（3）如图2中，由题意知，，，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，．12、.四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了勾股定理、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，利用三角形相似和三角函数推导线段长度关系．自点B，D分别作的垂线段，利用得到，再利用，推出，进而得到，设，结合O是的中点则可推出，由可表示，在勾股定理建立方程即可求解x，则可求．【详解】如图，过D作于E，过B作于F，∵，∴，则，设，则，，，，，，即，，∵O是的中点，，，，，，在中，，由勾股定理：，即，解得：，．故答案为：．13、如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接，由作图可知，垂直平分，∴，∵点N恰为的中点，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：．14、如图，在菱形中，，对角线，点是边中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，连接，根据两点之间线段最短可知的最小值为，再结合菱形的性质得，然后根据勾股定理得，可得，结合等腰三角形的性质得，，接下来根据勾股定理得，此题可解．【详解】解：如图，连接，作点P关于直线的对称点，则，点是的中点，∴．根据两点之间线段最短，可知的最小值为，∵四边形是菱形，∴，根据勾股定理，得，∴．∵点是的中点，∴，．在中，．所以的最小值为．故答案为：．15、2025海南中考真题）如图，点是内一动点，且，，．（1）面积的最大值为_______；（2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为_______．【答案】①.4②.【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可；（2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到．【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且，∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆，取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大，即此时面积取得最大值，如图，∵∴，∴面积的最大值．故答案为：4；（2）连接，如图，∵、的中点为M、N，∴，∴取得最小值时，长度最小．由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接，∴当、、三点共线时，此时最小，如图，由（1）可知，，过点O作，交的延长线于点F，如图，∵四边形为平行四边形，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴线段长度的最小值．故答案为：．【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹．16、《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）请补全上表中的勾股数．（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？【答案】（1）（2），，，其中、、都是正整数，，证明见解析（3）280【解析】【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；（2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明；（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．【小问1详解】解：由表中勾股数的规律可知，令，，，则由勾股数定义可知，即，，解得或（舍去）；故答案为：24．【小问2详解】解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下：，，，，，，，；【小问3详解】解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：设，即直角三角形中最短边为，仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花，，由题意可知，最小为，那么，那么这块绿地最少需要种植株花．【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．17、如图，在中，，，．（1）求的长；（2）求点到线段的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键．（1）过点作的垂线，垂足为，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解；（2）过点作于点，对运用等面积法得到，即可求解．【小问1详解】解：过点作的垂线，垂足为，则，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴【小问2详解】解：过点作于点，∵，∴，∵，∴，∴点到线段的距离为．18、综合与实践（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．【答案】（1）；（2）证明见解析；F到的距离的最大值为；（3）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形和梯形的面积计算及几何最值问题，解题的关键是通过角度关系和线段比例证明相似三角形，利用面积关系转化线段关系，结合图形性质求解．（1）初步感知：由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数．（2）深入探究：由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解．（3）学以致用：先计算梯形面积和面积，结合得的定值；根据（2）构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长．【详解】（1）解：∵∴，即．．∴（两边对应成比例且夹角相等）．∵，∴．（2）证明：∵，∴，即，∴∵四边形是矩形，，∴，，∵，∴∴∴∴∴在以为直径的圆上运动，∴到的最大距离为；（3）解：∵梯形中，，，，，∴，∵，∴，即，∵点E是线段的中点，∴，如图，取，作矩形，则，，连接，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴在为直径的圆上，∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直