2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之勾股定理

第20页（共20页）2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之勾股定理一．选择题（共9小题）1．（2025秋•陕西期中）下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（）A．7 B．17 C．19 D．1612．（2025秋•曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（）A．15 B．10 C．5 D．43．（2025•秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（）A．524 B．522 C．54．（2024秋•侯马市期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m5．（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（）A．S1=a2+C．S1=a2+b2+6．（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（）A．6 B．22 C．10 D．7．（2025春•邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（）A．4m B．5m C．6m D．7m8．（2024秋•偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米9．（2025秋•东港市期中）下列选项中，正确的是（）A．在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B．若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C．△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若AB2＝BC2+AC2，则∠A是直角 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则△ABC是直角三角形二．填空题（共4小题）10．（2025秋•东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝度．11．（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为m（结果保留根号）．12．（2025秋•包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是cm．13．（2025春•樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．三．解答题（共2小题）14．（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．（1）求证：∠COE＝∠B；（2）求DE的长．15．（2025春•林州市期末）随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，AC＝20，BC＝15，CD＝12．求证：△ABC是直角三角形．

2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案BCBBACAAB一．选择题（共9小题）1．（2025秋•陕西期中）下列各数中，能与8，15构成一组勾股数的是（）A．7 B．17 C．19 D．161【考点】勾股数．【专题】三角形．【答案】B【分析】勾股数要求三个正整数a，b，c，且满足a2+b2＝c2，据此进行逐项分析，即可作答．【解答】解：A、72+82＝49+64＝113≠152，故该选项不符合题意；B、152+82＝225+64＝289＝172，故该选项符合题意；C、152+82＝225+64＝289≠192，故该选项不符合题意；D、161不是正整数，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股数，掌握其相关知识点是解题的关键．2．（2025秋•曲靖期中）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝15，BD＝10，则点D到AB的距离是（）A．15 B．10 C．5 D．4【考点】勾股定理；角平分线的性质．【专题】计算题；推理能力．【答案】C【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DC＝DE，根据BD，BC的长即可求解．【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图；∵AD是角平分线，∠C＝90°，∴DC＝DE，∵BC＝15，BD＝10，∴DC＝DE＝15﹣10＝5．∴点D到AB的距离是5．故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质，理解点到直线的距离是解题关键．3．（2025•秦都区校级模拟）如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（）A．524 B．522 C．5【考点】勾股定理．【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】B【分析】根据勾股定理计算出三角形三边的长度，判断三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线是斜边的一半进行判断即可．【解答】解：每个小正方形的边长均为1，根据勾股定理可得：AB2＝22+62＝40，AC2＝32+12＝10，BC2＝12+72＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∵AD是斜边BC边上的中线，∴AD=12BC故选：B．【点评】本题考查勾股定理，正确记忆相关知识点是解题关键．4．（2024秋•侯马市期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】B【分析】设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m，∴BD＝1.8m．设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，解得：x＝3.4，即绳索AC的长是3.4米．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键．5．（2025秋•南山区期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（）A．S1=a2+C．S1=a2+b2+【考点】勾股定理的证明．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2，由题意，可得S1故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．6．（2025春•海淀区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（）A．6 B．22 C．10 D．【考点】勾股定理的证明．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】设BC＝a，AC＝b，根据正方形的性质得到CD＝2，GK＝4，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设BC＝a，AC＝b，∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，∴CD＝2，GK＝4，∴a+∴a=1∴AB=3故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．（2025春•邯郸校级期末）如图1，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙E，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高1.5m的学生（即CD＝1.5m）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（）A．4m B．5m C．6m D．7m【考点】勾股定理的应用．【专题】推理能力．【答案】A【分析】过点C作CE//BD，交AB于点E，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：过点C作CE//BD，交AB于点E．∵BE＝CD＝1.5m，∴AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m）．∵AC＝5m，∴CE2＝AC2﹣AE2＝52﹣32＝42，∴CE＝4cm，故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为4m故选：A．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．8．（2024秋•偃师区期末）一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米【考点】勾股定理的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】首先根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距厂门中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长；然后再根据CH＝CD+DH，进而得出CH的长，即可得出答案．【解答】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD=OC2-CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，故选：A．【点评】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．9．（2025秋•东港市期中）下列选项中，正确的是（）A．在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B．若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C．△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若AB2＝BC2+AC2，则∠A是直角 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则△ABC是直角三角形【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】B【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、在Rt△ABC中，如果已知两直角边长分别为3和4时，则第三边的长为5；如果已知4为斜边，3为直角边时，则第三边的长为7，故A不符合题意；B、∵三角形的三边之比为3：4：5，∴设三边分别为3k，4k，5k，∵（3k）2+（4k）2＝25k2，（5k）2＝25k2，∴（3k）2+（4k）2＝（5k）2，∴该三角形是直角三角形，故B符合题意；C、△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若AB2＝BC2+AC2，则∠C是直角，故C不符合题意；D、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：7，则∠C＝180°×72+3+7∴△ABC不是直角三角形，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．二．填空题（共4小题）10．（2025秋•东莞市期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝90度．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】90．【分析】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1＝45°，根据网格的特点可知∠3＝45°，即可求解．【解答】解：如图，在△ABC与△DEF中，AC=∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1＝∠4，∵FD∥CG，∴∠2＝∠FDC，同理可得△DCG≌△CEB，∴EC＝ED，∠2＝∠BEC，∵∠BEC+∠ECB＝90°，∴∠2+∠EBC＝90°，∴∠ECD＝90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，即∠4+∠FDC＝∠1+∠2＝45°，根据网格的特点可知∠3＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°，故答案为：90．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得∠1+∠2＝45°是解题的关键．11．（2024秋•锦江区校级期末）若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为（43+2）m【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．【答案】（43+2【分析】仔细观察图片，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成等边三角形，它的边长是8m，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的直径，根据勾股定理求出AD的长，即可得出结果．【解答】解：由题意得：A、B、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×2＝8（m），AD为等边△ABC的高，∴AB＝BC＝8m，BD＝CD=12BC=12×8在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=AB2-B∴遮雨棚起码高为：（43+2）m故答案为：（43+2【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．（2025秋•包头期中）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是3cm．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【答案】3．【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可．【解答】解：如图，由题意得：AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°，在直角三角形AOB中，由勾股定理得：AB=82+15∴吸管在饮料罐内部的长度为17cm，∵吸管的总长度为20cm，∴外部长度为20﹣17＝3（cm），即吸管露在饮料罐外部的长度是3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度．13．（2025春•樊城区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝1.5米．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE故答案为：1.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．三．解答题（共2小题）14．（2025秋•大连期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA，垂足为D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图2中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA，垂足为E，测得BD＝6cm，CE＝10cm．（1）求证：∠COE＝∠B；（2）求DE的长．【考点】勾股定理的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，在Rt△BOD中，∠BOD+∠B＝90°，∴∠COE＝∠B；（2）4cm．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEO＝∠ODB＝90°，求得∠BOD+∠COE＝90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CE＝OD，OE＝BD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∴∠BOD+∠B＝90°，∴∠COE＝∠B；（2）解：在△COE和△OBD中，∠CEO∴△COE≌△OBD（AAS），∴CE＝OD，OE＝BD，∵CE＝10cm，∴OD＝10cm，∵BD＝6cm，∴OE＝6cm，∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4（cm）．【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，以及勾股定理，解答本题的关键是找准条件判定全等，解题技巧是通过勾股定理求解边长，然后通过线段和差关系求解．15．（2025春•林州市期末）随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，AC＝20，BC＝15，CD＝12．求证：△ABC是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】见解析．【分析】直接根据勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理可得出AD的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】证明：∵CD⊥AB∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△CDB中，∵BC＝15，CD＝12，∴BD=15在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD=∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，在Rt△ABC中，AB＝25，AC＝20，BC＝15，∴AB2＝252＝625，AC2+BC2＝202+152＝625，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据勾股定理求出AB的长是解本题的关键．

考点卡片1．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．2．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形