2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之为什么要证明

第14页（共14页）2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之为什么要证明一．选择题（共7小题）1．（2023秋•巴南区校级期末）下列说法中正确的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离2．（2017秋•凤翔县期末）如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，则∠4＝57°，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（）A．因为∠1＝60°＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57° B．因为∠4＝57°＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60° C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60°，∠2＝60°，故∠1＝∠5＝60°，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57° D．因为∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，所以∠1＝∠3＝∠2﹣∠4＝60°﹣57°＝3°，故∠4＝57°3．下列说法中正确的是（）A．实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论正确与否 B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数 D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个4．若通过举例说明“如果a+b＞0，那么ab＞0”是错误的，则下面可以作为例子的是（）A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣3，b＝﹣15．下列说法正确的是（）A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数 D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个6．下列推理正确的是（）A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁 B．如果a＞b，b＞c，则a＞c C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多 D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角．7．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（）A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达 B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达 C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达 D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达二．填空题（共3小题）8．（2006•宁德）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”；乙说：“不是我打破的”；丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是打破的．9．老师在黑板上写了三个算式；52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣132＝8×7．请你写两个具有相同规律的等式、．10．此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的．黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．这个判断是（填“正确”或“不正确”）的．三．解答题（共2小题）11．（2023秋•香坊区月考）问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们观察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成10n+5，即求（10n+5）2的值（n为自然数）．分别令n＝1，n＝2，n＝3，…，从中探索其规律并归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，探索规律：152＝225，可写成100×1×（1+1）+25；252＝625，可写成100×2×（2+1）+25；352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25；452＝2025，可写成100×4×（4+1）+25；752＝5625，可写成；852＝7225，可写成．（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请计算19952＝．12．（2011春•本溪期中）在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．

2025-2026学年上学期初中数学北师大版（2024）八年级期末必刷常考题之为什么要证明参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DCDBDBD一．选择题（共7小题）1．（2023秋•巴南区校级期末）下列说法中正确的是（）A．相等的两个角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．直线外一点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】A；根据对顶角的概念即可判定；B：根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行即可判定；C：根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等即可判定；D：根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离即可判定．【解答】解：A：因为，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，所以A选项错误；B：因为，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以B选项错误；C：因为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以C选项错误；D：因为，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，对顶角，点到直线的距离及平行公理的概念，合理应用相关概念进行判断是解决本题的关键．2．（2017秋•凤翔县期末）如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，则∠4＝57°，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是（）A．因为∠1＝60°＝∠2，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57° B．因为∠4＝57°＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60° C．因为∠2＝∠5，又∠1＝60°，∠2＝60°，故∠1＝∠5＝60°，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57° D．因为∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝57°，所以∠1＝∠3＝∠2﹣∠4＝60°﹣57°＝3°，故∠4＝57°【考点】命题与定理．【答案】C【分析】根据平行线的判定和性质即可作出判断．【解答】解：A、因为∠1＝60°＝∠2，不能判定a∥b，错误；B、因为∠4＝57°＝∠3，不能判定a∥b，错误；C正确；D、因为不能判定a∥b，所以不能计算出∠4＝57°，错误．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的判定及性质定理，比较简单．3．下列说法中正确的是（）A．实验、观察或归纳完全可以判断一个数学结论正确与否 B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数 D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个【考点】推理与论证．【专题】证明题；推理能力．【答案】D【分析】选项A中，判断一种数学结论的正确与否，需进行推理论证，故A说法不正确；选项B中，推理对于每个人来说都很重要，故B说法不正确；选项C中，当n＝1时，n2+n+37＝39，39不是质数，故C说法不正确；选项D中，有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，故D说法正确．【解答】解：选项A中，判断一种数学结论的正确与否，需进行推理论证，故A说法不正确；选项B中，推理对于每个人来说都很重要，故B说法不正确；选项C中，当n＝1时，n2+n+37＝39，39不是质数，故C说法不正确；选项D中，有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个，故D说法正确；故选：D．【点评】本题考查了推理与论证，利用排除法是解题的关键．4．若通过举例说明“如果a+b＞0，那么ab＞0”是错误的，则下面可以作为例子的是（）A．a＝1，b＝3 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣3，b＝﹣2 D．a＝﹣3，b＝﹣1【考点】有理数的乘法；有理数的加法．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】利用有理数的乘法法则和有理数的加法法则解答．【解答】解：两数相加大于0，两数相乘有可能小于0，所以有可能一正一负，但正数绝对值大，B．符合题意．故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘法、加法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则和有理数的加法法则．5．下列说法正确的是（）A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B．推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C．对于自然数n，n2+n+37一定是质数 D．有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个【考点】命题与定理．【答案】D【分析】根据推理、证明的作用即可作出判断．【解答】解：A，错误，不能完全这样判断，还要有严格的逻辑证明；B，错误，生活中也有推理的存在；C，错误，当n＝37时，结果就不是质数；D，正确．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理，质数的概念，我们生活中处处要用到数学中的知识．6．下列推理正确的是（）A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟的明年比今年长大了1岁 B．如果a＞b，b＞c，则a＞c C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小也差不多 D．因为对顶角必然相等，所以相等角也必是对顶角．【考点】命题与定理．【答案】B【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、错误，因为哥哥和弟弟的年龄同时增长；B、正确，如果a＞b，b＞c，则a＞c，正确；C、错误，两角相等它们看起来应一样大；D、错误，不符合对顶角的定义．故选：B．【点评】要注意对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．7．骑自行车的速度是每小时15千米，骑摩托车的速度每小时40千米，则下列结论中你能肯定的是（）A．从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达 B．从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达 C．从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的不可能同时到达 D．从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达【考点】命题与定理．【答案】D【分析】此题需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：因为此题的路程没有确定，所以无法只根据速度来确定时间．A、B、C因为出发时间没有确定，不是同时同地出发没有可比性，故错误；D、说的只是有可能，故正确．故选：D．【点评】此题要特别注意时间和路程、速度两个量有关系．二．填空题（共3小题）8．（2006•宁德）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”；乙说：“不是我打破的”；丙说：“甲说谎”．三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是乙打破的．【考点】推理与论证．【专题】压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论．【解答】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话甲说：“是丙打破的”也是假话，则丙说：“甲说谎”是真话，∴玻璃是乙打破的符合题意故答案为：乙【点评】本题主要考查了推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键．9．老师在黑板上写了三个算式；52﹣32＝8×2，92﹣72＝8×4，152﹣132＝8×7．请你写两个具有相同规律的等式172﹣152＝8×8、72﹣52＝8×3．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．【专题】规律型；推理能力．【答案】172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3．【分析】根据题意，等式左边为连个连续奇数平方的差，右边为8的倍数．【解答】解：根据题意，得出：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3，故答案为：172﹣152＝8×8，72﹣52＝8×3．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，找到题目中的规律是解题的关键．10．此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的．黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．这个判断是正确（填“正确”或“不正确”）的．【考点】推理与论证．【专题】证明题；推理能力．【答案】正确．【分析】根据此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的，得出此次数学考试八（1）班全班45名学生全部及格，再根据黄天是八（1）班的一名学生，由此推断黄天考试及格了．【解答】解：∵此次数学考试八（1）班全班45名学生没有不及格的，∴此次数学考试八（1）班全班45名学生全部及格，∵黄天是八（1）班的一名学生，∴黄天考试及格了，故答案为：正确．【点评】本题考查了推理与论证，根据题意推理是解题的关键．三．解答题（共2小题）11．（2023秋•香坊区月考）问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们观察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成10n+5，即求（10n+5）2的值（n为自然数）．分别令n＝1，n＝2，n＝3，…，从中探索其规律并归纳，猜想得出结论．（1）通过计算，探索规律：152＝225，可写成100×1×（1+1）+25；252＝625，可写成100×2×（2+1）+25；352＝1225，可写成100×3×（3+1）+25；452＝2025，可写成100×4×（4+1）+25；752＝5625，可写成100×7×（7+1）+25；852＝7225，可写成100×8×（8+1）+25．（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25．（3）根据上面的归纳、猜想，请计算19952＝3980025．【考点】规律型：数字的变化类；尾数特征．【专题】规律型；运算能力．【答案】（1）100×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25．（2）100×n×（n+1）+25．（3）3980025．【分析】（1）根据题意得出即可．（2）根据题意得出（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25即可．（3）求出n，代入规律求出即可．【解答】解：（1）752＝5625＝100×7×（7+1）+25，852＝7225＝100×8×（8+1）+25，故答案为：100×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25．（2）（10n+5）2＝100×n×（n+1）+25，故答案为：100×n×（n+1）+25．（3）19952＝（10×199+5）2＝100×199×（199+1）+25＝3980025，故答案为：3980025．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，关键是能根据题意得出规律．12．（2011春•本溪期中）在学习中，小朋发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小朋猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小朋的猜想正确吗？请简要说明你的理由．【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：偶次方．【答案】见试题解答内容【分析】根据因式分解，可得n（n﹣6），再分类讨论，可得答案．【解答】解：小明的猜想不对．∵n2﹣6n＝n（n﹣6），当n≤0，或n≥6时，n2﹣6n≥0，∴小明的说法不对．【点评】本题考查了因式分解，由因式分解，可得出代数式的值是非负数．

考点卡片1．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．2．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．3．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．4．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．5．尾数特征“尾数特性，即得到一个具体算式时，可以先不进行详细计算而直接心算出其末位数字从而排除错误选项．其应用的核心技巧在于，只要选项的尾数不同，就有可能根据尾数快速得到答案．6．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．7．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．8．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．9．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．10．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入