第五节一元二次方程及其应用

第二章方程（组）与不等式（组）第一部分数与代数第五节一元二次方程及其应用1

一元二次方程的概念及一般形式定义等号两边都是整式，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程

一般形式一元二次方程的一般形式：

，其中a，b，c为常数且________方程的根使一元二次方程左右两边相等的

叫做一元二次方程的解，也叫方程的根

防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调二次项系数a≠0一2ax2＋bx＋c＝0a≠0未知数的值例1

（2025·富锦）若关于x的方程（k－2）x2＋3x－1＝0是一元二次方程，则k的取值范围是（

）A.k≠0 B.k≠2 C.k＞2 D.k＞0析解：∵关于x的方程（k－2）x2＋3x－1＝0是一元二次方程，∴k－2≠0，解得k≠2.故选B.B本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）整式方程.此类问题属于对概念的考查，解题的关键是抓住定义的关键词，特别是次数最高项的系数一般不为0.

BC2

一元二次方程的解法直接开平方法如果方程能化成

或

（p≥0）的形式，那么可得x＝

，或mx＋n＝

配方法定义通过配成完全平方（x＋m）2＝n的形式解一元二次方程步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上

；④把方程整理成（x＋m）2＝n的形式；⑤运用直接开平方法解方程

公式法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），且b2－4ac≥0时，则x＝________________

x2＝p（mx＋n）2＝p

一次项系数一半的平方

公式法步骤（1）将方程化成

的形式；（2）确定a，b，c，并求出b2－4ac的值；（3）若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程无实数根

因式分解法基本思想把方程化成

（A，B表示两个一次式）的形式，得________________方法常用的方法主要是运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行因式分解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）A·B＝0A＝0或B＝0例2

（2025·齐齐哈尔）解方程：x2－7x＝－12.分析：先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可，也可以利用公式法求解.解：整理，得x2－7x＋12＝0，因式分解，得（x－4）（x－3）＝0，所以x－4＝0或x－3＝0.解得x1＝4，x2＝3.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.3.（2025·临沂）将一元二次方程x2－6x－9＝0配方后得到（

）A.（x－3）2＝0 B.（x＋3）2＝0C.（x＋3）2＝18 D.（x－3）2＝184.（2025·浦口）一元二次方程3x（x－1）＝x－1的解是

.

D

5.（2025·西安）用适当的方法解方程：3x2＋2x－2＝0.解：3x2＋2x－2＝0，a＝3，b＝2，c＝－2，Δ＝22－4×3×（－2）＝28＞0，

3

一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2－4ac根的情况当b2－4ac

0时，方程有两个不相等的实数根

当b2－4ac

0时，方程有两个相等的实数根

当b2－4ac

0时，方程没有实数根

防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件＞＝＜例3

（2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（

）A.－4 B.－1C.1D.4析解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0且a≠0.∴22－4a＝0且a≠0.∴a＝1.故选C.C对于一元二次方程的根的判别式一般有两种考查类型：①已知方程，通过根的判别式判断方程根的情况；②已知方程根的情况，求方程中某个字母的值或取值范围.审题时要关注三点：①方程的类型：是一元二次方程还是方程，如果是方程要注意讨论；②二次项系数是否含有字母，如果是含有字母的式子，切记二次项系数不为0这一隐藏条件；③方程根的情况.6.（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（

）A.x2＋1＝0 B.x2－2x＋1＝0 C.x2＋x＋1＝0 D.x2＋x－1＝0D7.（2025·邗江）已知关于x的方程：x2＋2kx＋k2－3＝0，其中k是常数.（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；证明：∵Δ＝（2k）2－4（k2－3）＝4k2－4k2＋12＝12＞0，∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）若m，n是此方程的两个根，当k＝1时，求代数式2025－m2＋2m＋4n的值.解：当k＝1时，原方程化为x2＋2x－2＝0，∵m是方程的根，∴m2＋2m－2＝0.∴m2＝－2m＋2.∴2

025－m2＋2m＋4n＝2

025－（－2m＋2）＋2m＋4n＝2

025＋2m－2＋2m＋4n＝2

025＋4（m＋n）－2.∵m，n是方程x2＋2x－2＝0的两个根，∴m＋n＝－2.∴2

025－m2＋2m＋4n＝2

025＋4×（－2）－2＝2

015.4

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝

，x1x2＝_______注意隐含条件a≠0且b2－4ac≥0

例4

（2025·河北）若一元二次方程x（x＋2）－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限C析解：由方程x（x＋2）－3＝0，得到x2＋2x－3＝0.

∴m，n都为负数.∴点（m，n）在第三象限.故选C.此类题目的特点是利用根与系数的关系求待定字母的值；解决此类问题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，再把已知式子化成含x1＋x2，x1x2的形式，将其代入就可得到关于待定字母的方程或不等式，解题时一定要注意隐含条件Δ≥0.8.（2025·泸州）若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为

.

10

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题：（1）材料理解：一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝

，x1x2＝

.

故答案为3；－1.3－1

解：∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为m，n，∴m＋n＝3，mn＝－1.

解：∵实数s，t满足s2－3s－1＝0，t2－3t－1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根.∴s＋t＝3，st＝－1.

而c＜10，则10－c＞0，∴（10－c）3－27≥0.∴（10－c）3≥27.∴10－c≥3，即c≤7.∴c的最大值为7.5

一元二次方程的应用应用类型等量关系增长（降低）率问题（1）增长率＝增量÷基础量；（2）设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则

，当m为平均下降率时，则________________几何图形问题（1）利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长；（2）利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积公式建立等量关系列一元二次方程；（3）利用相似三角形的对应边成比例关系，列比例式，通过两内项积等于两外项积，得到一元二次方程销售利润问题（1）毛利润＝售出价－进货价；（2）纯利润＝售出价－进货价－其他费用；（3）利润率＝利润÷进货价a（1＋m）n＝ba（1－m）n＝b例5

（2025·泰兴）综合与实践主题：将一张长为80cm，宽为40cm的矩形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒.方案设计：如图1，把硬纸板的四角剪去四个相同的小矩形，折成一个如图2所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分.任务一：若收纳盒的高为xcm，用含x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；分析：任务一：根据图1分别列出代数式即可；解：任务一：∵矩形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为xcm，

答：收纳盒的底面ABCD的边BC的长为（40－2x）cm，AB的长为（40－x）cm.任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高.分析：任务二：设该收纳盒的高为x

cm，则BC＝（40－2x）cm，AB＝（40－x）cm，根据收纳盒的底面积为600

cm2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.解：任务二：设该收纳盒的高为xcm，则BC＝（40－2x）cm，AB＝（40－x）cm.根据题意，得（40－x）（40－2x）＝600，整理，得x2－60x＋500＝0，解得x1