八年级上学期数学压轴必考题型-全等三角形（含答案）

人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题全等三角形

一.选择题

1.（2020秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，B。平分NABC,ODLBC于点、D,连接04,

若。。=5,AB=20,则AAOB的面积是（）

A.20B.30C.50D.100

2.（2020秋•定西期末）如图，在四边形ABCO中，ZA=90°,4。=4,连接3。，BDVCD,ZADB=Z

3.（2020秋•莫旗期末）如图，AB〃CD,8E和CE分别平分N48。和/BCD,AO过点E,且与A8互相垂

直，点P为线段8c上一动点，连接PE.若4。=8,则PE的最小值为（）

A.8B.5C.4D.2

4.（202（）秋•鞍山期末）如图，RiZXABC中，ZC=90°,4。平分N/MC交4c于点。，过点。作O以L

AB,垂足为点片点E在边AC上，若DE=DB,则下列结论不正确的是（）

DB

A.DC=DFB.DE=BFC.AC=AFD.AB=AC+CE

5.（2020秋•新宾县期末）如图，AB=AD,AC=AEfZDAB=ZCAE=50°,以下四个结论：①△A/XX

△ABE，、②CD=BE；③NQO8=50°；④点人在NOOE的平分线上，其中结论正确的个数是（）

，

A.1B.2C.3D.4

6.（2020秋•金昌期木）如图，4。是△ABC的角平分线,CELAD,垂足为F.若NC4B=30°,N8=55°,

则石的度数为（）

C

AZ5

AE

A.35°B.40°C.45°D.50°

7.（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，A8=4,ZABC=60°,ZACB=45°,。是8c的中点，直

线/经过点。，AEJL/,BFLL垂足分别为E,F,则4E+8尸的最大值为（）

/X~~C

A.472B.2yC.W3D,3^2

8.（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中AABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三

角形叫格点三角形，图中可以画出与AABC全等的格点三角形共有（）个.（不含△ABC）

A

A.28B.29C.30D.31

二.填空题

9.（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△/WC中，AD1.BC,CE1AB,垂足分别为。、E,人。、CE交于

点、H,已知EH=EB=3,AE=5,则CH的长为

10.（2020•松北区一模）在△ABC中，点。在AC上，AD=5.AB+AC=16,E是BD中点,/ACB=N

11.（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点。满足乙4尸8=/8。。=/。以=120°,则称P为4

ABC的费马点.如图所示，在8c中，已知N84C=45°,设P为△ABC的费马点，且满足NP84=

45°,PA=4,则的面积为.

12.（2020秋•海珠区校级期中）如图，AQ是△43。的角平分线，Q”_LA从垂足为点p，DE=DG,^ADG

和△AOE的面积分别为50和39,则△££）「的面积为.

D

17.（2018秋•襄城县期末）如图，△ABC的内角NABC和外角N4C。的平分线相交于点，BE交ACT点、

F,过点石作EG〃BQ交48于点G,交AC于点H,连接4E,有以下结论：

①N8EC=^NBAC；②AHEFSCBF；®BG=CH+GH-,®ZAEB+ZACE=90°,其中正确的结论有

2

（将所有正确答案的序号填写在横线上）.

18.（2019秋•潍坊月考）如图，Zk/WC中，A/3=4,AC=1,M是4c的中点，A。平分NH4C,过M作

//AD.交4C于凡则FC的长等于.

19.（2021春•铁岭月考）如图，在四边形ABCO中，NB+NAZ）C=I8O°,CE平分NBCD交AB于点E,

连接DE.

（1）若NA=50°,ZB=70°,求NBEC的度数；

(2)若NA=N1,试说明NC3E=NQC£

D

20.（2021•南岗区模拟）已知：点E,尸在3c上，AF=DE,BE=CF,ZAFE=ZDEF.

（1）如图1,求证：AB=CD,

（2）如图2,连接AC,BD,AE,DF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四组平行

21.（2020秋•来宾期末）如图，在五边形48CQE中，AB=DE,AC=AD.

（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△A8C也△OE4,并说明理由；

（2）在（1）的条件下，若NC4D=65°,Zfi=ll0°,求NBAE的度数.

22.（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AO为N8AC的平分线，DE上AB于E,。尸_LAC于尸，AABC

面积是152cm2,AB=20cmfAC—18cm,求。£的长.

23.（2021春•萧山区月考）如图，在AABC中，OE_LAB与点E,0尸_1_4。与点R且。E=。尸.

（1）如图①，当。为8c中点时，试说明AB=4C；

（2）如图②，当点。在△4BC内部，且OA=OC,试判断//与AC的关系.

24.（2021春•南山区校级期中）如图，在aABC中，AB=AC=3,N8=40°,点。在线段BC上运动（点

D不与点心。重合），连接4D,作NAQ£=40°,交线段AC于点£

（1）当N8OA=110°时，ZEDC=,ZAED=.

（2）线段。C的长度为何值时，△A8O空△DCE,请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，△AOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求N8D4的度数；若不可以,

请说明理由.

25.（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NB4C,。。LAB于点E,点尸在AC

上，且80=。尸.

（1）求证：CF=EB：

（2）请你判断AE、与8E之间的数量关系，并说明理由.

26.（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图

1,已知：在△A8C中，N8AC=90°,AB=AC,直线/经过点A,BQ_L直线/,CE_L直线/,垂足分别

为点。、E.证明：DE=BD+CE.

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件改为：在aABC

中，AB=AC,。、4、E三点都在直线/上，并且有NBD4=NAEC=N8AC=a,其中a为任意锐角或钝

角.请问结论OE=8D+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过△ABC的边A8、

AC向外作正方形和正方形ACFG,A”是边上的高，延长HA交EG于点/,求证：/是EG的

中点.

27.（2020秋•大武II区期末）加图所示，已知中，点Q为NC边上一点，N1=/2=N3,AC=AE,

(1)求证：AABC^AADE；

(2)若AE"BC,且NE=2NC4O,求NC的度数.

3

28.（2020秋•船营区期末）如图，太阳光线AC与A'C是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳

光照射下的影子一样长吗？说说你的理由.

人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题全等三角形

一.选择题

1.（2020秋•东城区期末）如图所示，点。是△A8C内一点，40平分NA4C,OQ_L4C于

点。，连接QA,若00=5,48=20,则△AOB的面积是（）

【思路引导】根据角平分线的性质求出0£,最后用三角形的面积公式即可解答.

•••80平分NA8C,OO_LBC于点。，

：,OE=OD=5,

・••△AO8的面枳=55屈=丹20X5=50,

乙乙

故选：C.

2.（2020秋♦定西期末）如图，在四边形A8C。中，NA=90°,AD=4,连接80,BDA.

CD,ZADB=ZC.若P是8c边上一动点，则。P长的最小值为（）

【思路引导】根据垂线段最短得出当。PJ-BC时，QP的长最小，求出

根据角平分线的性质得山此时QP=AO,再得出选项即可.

【完整解答】解：当Z)P_LBC时，力尸的长最小，

VBD1CD,

ZSDC=90°,

VZA=90°,NAOB=NC,NA+N4OB+N4BO=18D°，/BOC+NC+NCBO=180°,

/.ZAI3D=ZCBD,

VZA=90°,

・•・当。P_L8C时，QP=A。，

•••AO=4,

・・・OP的最小值是4,

故选：A.

3.（2020秋•莫旗期末）如图，AB//CD,3E和。:分别平分NA8c和N3CO,A。过点£,

且与互相垂直，点P为线段8c上一动点，连接若人。=8,则PE的最小值为

【思路引导】过E作EQ_L8C于尸，此时尸E的值最小，求出4力_LC。，根据角平分线的

性质求出AE=DE=PE,求出AE的长即可.

【完整解答】解：过E作EP_LBC于P,此时PE的值最小，

：.AD±CD,

•・•BE和CE分别平分ZABC和/BCD,

：,AE=PE,ED=PE,

:・AE=ED=PE,

VAD=8,

・"E=4,

即PE的最小值是4,

故选：C.

4.(2020秋•鞍山期末)如图，RtZ\48C中，NC=90°,A。平分NB4c交BC于点O,过

点。作。口LAB,垂足为点尸，点E在边AC上，若。e=。8,则下歹ij结论不正确的是

()

A.DC=DFB.DE=BFC.AC=AFD.AB=AC+CE

【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即司;

【完整解答】解：•••RI/X4BC中，ZC=90°,AZ)平分/8AC交8C于点。，过点。作

DF1AB,垂足为点F,

:,DC=DF,故A正确，

在RlADCE与Rl△。/^中，

/DC=DF

<DE=DB'

ARtADC^RtADFB(HL),

：.CE=BF,故B错误，

在RtA/iDC与RtAADF中,

(DC=DF

IAD=AD'

ARtA/\DC^RtAADA(HL),

：.AC=AFf故C正确，

：.AB=AF+BF=AC+CE,故D正确，

故选：B.

5.(2020秋•新宾县期末)如图，AB=AD,AC=AE,ZDAB=ZCAE=50v,以卜四个结

论：①△AZX;且△A8E；②CD=BE；③NQO4=5()°；④点4在NQOE的平分线上，其

中结论正确的个数是()

DA

A.IB.2C.3D.4

【思路引导】证明△AQCgZVIBE(S'AS),可得出CQ=3£,ZADC=AABE,则得出N

DOB=5()°,连接。4,过点A作AMLCD于点M,AN[BE于点N,证明△ABAZA

ADM(A4S),则可得出点A在NOOE的平分线上.

【完整解答】解：•••ND48=NC4£=50",

NDAB+N8AC=NCAE+NBAC,

：.ZDAC=ZBAE,

在△AOC与aABE中，

'AD=AB

'ZDAC=ZBAE.

AC=AE

A(SAS),

:.CD=BE；

故①，②正确；

如图1,若AB与C。相交于点儿

・•・ZADC=NABE,

*/ZAFD=ZCFB,

：・NDOB=NDAB=50°.

故③正确.

DA

如图2,连接。4,过点人作人M_LCO于点M,人N_L8E于点M

.•・/AMD=/AN8=9()c，

'：也运△ADC,

二NABN=NAOM,

在△ABN和△4DM中，

fZANB=ZAMD

jzABN=ZADM.

IAB=AD

/.AABNmAADM(AAS),

：,AN=AM,

・•・点A在/OOE的平分线上.

故④正确.

故选：D.

6.（2020秋•金昌期末）如图，AO是△A8C的角平分线，CE_LA。，垂足为凡若/CAB=

30°,N3=55",则/3QE的度数为（）

【思路引导】根据三角形的内角和求出4CB=95°,利用三角形全等，求出。C=DE,

再利用外角求出答案.

【完整解答】解：・・・NCA3=30°,NB=55°,

••・N4CB=180°-30°-55°=95°,

,：CE1AD,

/.ZAFC=ZAFE=90°,

*：AD是△48C的角平分线，

AZCAD=ZE4D=-X30°=15°，

2

y.,：AF=AF,

•・•△AC广丝Z\AE尸(ASA)

：,AC=AE,

•：AD=ADfNC4O=/E4O,

/.AACD^AAED(SAS),

:,DC=DE,

・••NDCE=/DEC,

VZACE=90°-15°=75°,

AZDCE=ZDEC=AACB-ZACE=950-75°=20°,

；・NBDE=NDCE+NDEC=200+20°=40°,

故选：B.

7.（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，A8=4,NA8C=60°,NAC8=45°,。是

8C的中点，直线/经过点。，AEA.LBFLL垂足分别为E,F,则AE+8”的最大值为

2娓C.电D.3A/2

【思路引导】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段

最短来进行计算即可.

【完整解答】解：如图，过点C作CK_L/于点K,过点A作AHJLBC于点，,

在RtZ\A”8中，

VZABC=60°,AB=4,

:・BH=2,4"=2英，

在RtZ\A”C中，NACB=45”,

:.AH=CH=2近,

••AC=4&口2="12+12=2^/6，

:・BD=CD,

在△BFD与△CKO中，

，ZBFD=ZCKD=90°

'ZBDF=ZCDK,

BD=CD

:ABFD妾ACKD（AAS）,

:,BF=CK,

延KA£,过点。作CV_LA£于点M得矩形ENCK,

:・CK=EN,

：・AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线LAC时，最大值为2代，

综上所述，AE+期的最大值为2遥.

故选：B.

8.（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△48C的三个顶点分别在正方形的顶点（格点

上）,这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△48C全等的格点三角形共有（）

个.（不含△ABC）

A.28B.29C.30D.31

【思路引导】当点3在下面时，根据平移，对称，可得与△A8C全等的三角形有8个,

包括△48C,当点8在其它3条边上时，有3X8=24（个）三角形与△ABC全等，由此

即可判断.

【完整解答】解：当点3在下面时，根据平移，对称，可得与△A3C全等的三角形有8

个，包括△ABC,

当点B在其它3条边上时，有3X8=24（个）三角形与△A8C全等，

一共有：8+24-1=31（个）三角形与△/WC全等，

故选：D.

二.填空题

9.（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△A/3C中，ADA.BC,CE±AB,垂足分别为。、E,

AD.CE交于点、H,已知E，=E8=3,AE=5,则CH的长为2.

【思路引导】先由CEA.AB,判断出NAOB=NAE〃=90°,再判断出NBA。

=NBCE,进而判断出得出AE=EC=5,即可得出结论.

【完整解答】解：・・・AD_L8C,CELAB,

AZADB=ZAEH=W,

,/NAHE=/CHD,

：・/BAD=/BCE,

在△H£A和△8EC中，

'NBAD=NBCE

<ZAEH=ZBEC=90°>

EH=EB

:.△HEAmABEC(AAS),

/ME=£C=5,

贝ijCH=EC-EH=AE-EH=5-3=2.

故答案为：2.

10.(2020•松北区一模)在△ABC中，点。在4c上,AD=5,AB+AC=16,£是3。中点，

NACB=NABC+2NBCE,则。。=2

D

E

【思路引导】延长CE于F,使CE=EF,交AB于点G,根据SAS证明ABE尸与△DEC

全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.

【完整解答】解：延长CE于F,使CE=ER交/WF点G,

是8。的中点，

:・BE=DE,

在△8E/7与△。石C中，

BE=DE

'NBEF=NDEC，

EF=EC

:.△BEFQ/\DEC(SAS),

：.NF=NDCE,BF=DC,

,：ZACB=ZABC+2ZBCE,

・•・ZDCE=/ACB-ZBCE=ZABC+ZBCE,

*/ZAGC=ZABC+ZBCE,

/./AGC=NDCE,

/.ZF=ZDCE=ZAGC=ZBGF,AG=AC,

:.BF=BG=CD,

设BF=BG=CD=x,

VAD=5,AB+AC=\6,

解得：x=2,

：.CD=2,

故答案为：2.

11.（2020•荷塘区模拟）在448。中，若其内部的点P满足N”3=NBPC=ZCPA=\20°,

则称P为△ABC的费马点.如图所示，在△ABC中，已知NB4C=45°,设P为AABC

的费马点，且满足NPBA=45°,M=4,则△%。的面积为」的_.

【思路引导】如图，延长8。交AC于。，先说明△A8O是等腰直角三角形，△AOP是

30°的直角三角形，可得尸。和A。的长，根据费马点的定义可得/APC=120°,从而

可知△POC也是30°的直角三角形，可得。。的长，根据三角形的面积公式可得结论.

【完整解答】解：如图，延长8P交4c于。，

'：ZBAC=ZPBA=459,

/.ZADB=90°,AD=BD,

TP为△ABC的费马点，

/.ZAPB=ZCPA=n^,

.\ZBAP=I8O°-120°-45°=15°,

/.ZMC=45°-15°=30°,

AZAPD=60°,

Rt△%D中，VBA=4.

:,PD=2,AD=2的，

VZAPC=\20<>,

AZCPD=I2O0-60c=60°,

Rl"QC中，ZPCD=30°,

:.CD=?g

，AC=4D+CQ=2近+2夷=4第，

的面积为之代叩D得义笳X2=Wi

乙乙

故答案为：4M.

12.（2020秋•海珠区校级期中）如图，A玲是△ABC的角平分线，DF±AB,垂足为点尸,

DE=DG,AADG和4人八七的面积分别为50和39,则△EOF的面积为5.5

【思路引导】在线段AC上取一点M,使0M=。石，过点D作。N_L4C,利用角平分线

的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求.

【完整解答】解：如图，在线段AC上取一点M,使DM=。&过点。作ONL4C于点

M

•:DE=DG,

:・DM=DG,

••.A。是△A3C的角平分线，DF1.AB,

：.DF=DN,

在RtADEF和RtADMN中,

/DN=DF

<DM=DE，

ARtADEF^RtADMvV(HL),

•••△AOG和△AED的面积分别为50和39,

=

:・S^MDG=S匕ADG-S^ADM50-39=11,

13.（2020秋•青羊区校级月考）如图，在△A8C中，ZC=90°,。是A3中点，FDLED

于。，BE=«,AF=43,则EF=3.

C

E,

----------D----------〜

【思路引导】延长。七到H，使DH=DE,连接尸〃，先证△BEDg△4"。（SAS）,得4〃

=BE,NB=NDAH,再求出NM”=90°,然后由勾股定理求出777=3,最后由线段垂

直平分线上的性质即可得出答案.

【完整解答】解：如图，延长。£到〃，使DH=DE,连接ffl,

•・•。是AB中点，

：,AD=BD,

在ABED和中，

fBD=AD

\NBDE二NADH，

IDE=DH

:・4BED二4AHDCSAS）,

:.AH=BE=«,NB=NDAH,

VZC=90°,

/.ZFAH=ZBAC+ZDAH=ZBAC+ZB=180°-90°=90°,

由勾股定理得，™=7AF2+AH2=7（V3）2+（V6）2=3,

•；FDLED,DE=DH,

：,EF=FH=3,

故答案为：3.

14.（2020秋•温岭市期中）如图，4D是△48C的角平分线，DE_LAC于点E,于

点F,给出下列结论：①。E=OF：②△AQ”经△AQE：③aAB。和△ACO的面枳相等.其

中正确结论的序号是一①②.

【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可.

【完整解答】解：是△ABC的角平分线,于点E.于点足

：.DE=DF,故①正确：

在RtAADF与RlZSAOE中，

/AD=AD

<DE=DF'

ARtA/lDF^RtAADE(HL),故②正确；

•・•得不出AB=AC,

：.^ARD和△AC。的面积无法判断相等，故③错误：

故答案为：①②.

15.(2019秋•南岗区校级月考)如图，在△A8C中，NAC3=90°,点。在边A3上，AD

=AC,点七在BC边上，CE=BD,过点、E作EFLCD交AB于点F,若AF=2,BC=

8,则QF的长为4.

【思路引导】设N8C7)=a,延长AC到点G,使AG=4B,连接BG,延长石厂和C4交

于点”，根据已知条件证明△CE，gZ\CGB,即可解决问题.

【完整解答】解：设N8CQ=a,

VZACB=90°,

/.ZACD=90°-a,

VAD=AC,

AZADC=ZACD=9(f-a,

・・・NC4B=I8O°-2NACO=2a,

・・・N48C=90°-2a,

V£F±CD,

AZC/CF=90°,

••・NOFK=90°-(90°-a)=a,

AZCEF=90°-a,

如图，延长AC到点G,使AG=A8,连接8G,

H

'：AD=AC,

:,CD〃GB,BD=CG=CE,

：・/GBC=NBCD=a,

/.ZG=90°-a,

：・4G=/CEF,

延长E尸和C4交于点亿

；"H=a=/GBC,

•・・NC48=2a,

，NAFH=a,

：.4H=ZLAFH,

：,AH=AF=2,

在ACEH和ACGB中，

rZCEH=ZG

•CE=CG，

ZECH=ZGCB=90"

:・/\CEH冬ACGB（ASA）,

:,CH=CB=8,

：,DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AH=S-4=4.

故答案为：4.

16.（2019秋•江汉区期中）如图，A3_LC。于点£且44=CO=AC,若点/是△ACE的角

平分线的交点，点厂是的中点.下列结论：①乙”。=135°；@BD=Bh③Swc=

SMM®1F±AC.其口正确的是①@④（填序号）.

D

【思路引导】如图，延长/F到G,使得〃G=/7,连接。G,BG,延长交AC于K.利

用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可.

【完整解答】解：如图，延长//到G,使得广G=E，连接。G,BG,延长F/交AC于

K.

AZAEC=90°,

••・NEAC+/EC4=90°,

AZMC+Z/CA="ZEAC-^-ZECA=45°,

22

AZ4/C=180°-45°=135°,故①正确，

\'AB=AC,NIAB=/IAC,Al=AL

：.AA/^^AA/C(SAS),

：.ZAIB=ZAIC=\35),IA=ID,

：.ZB/C=360°-135°-135°=90°,

同法可证：△/(“丝ZX/C。(SAS),

Z/\/C=ZC/D=135°,M=/D,

・•・NA//)=360°-135’-135°=90°,

••・NO/8+NA/C=180°,

•；DF=FB,IF=FG,

・•・四边形/BGQ是平行四边形，

：JD=BG=AI,JD//BG,

/.ZD/B+Z7BG=18O°,

・••ZA1C=Z1BG,

VM=/D,IC=IB,

/.△A/C^AGB/（SAS）,

**•Z~GIB—Z.ACI»SAA:C—SABGI—~S平行四边形DGB尸S&EDI，故③正确，

乙

•：NG1B+NCIK=9O0,

:・NCIK+NICK=9O0,

・・・N/KC=90°,即/凡LAC,故④正确，

不妨设BI=BD,则△B。/是等腰直角三角形，显然2=&/8,即4/=J9C,显然题

目不满足这个条件，故②错误.

故答案为①③④.

17.（2018秋•襄城县期末）如图，ZkABC的内角NA8C和外角NACO的平分线相交于点E,

BE交AC于点、F,过点E作反;〃8。交A8于点G,交AC于点H,连接AE,有以下结

论：

①/BEC吾NBAC；②AHEF@ACBF；③BG=CH+GH；@ZAEB+ZACE=90c,其

乙

中正确的结论有①③④（将所有正确答案的序号填写在横线上）.

【思路引导】①根据保平分线的定义得到/丽=£//WC,/。3=3/人6根据

乙乙

外角的性质即可得到结论；

②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；

③由8G=GE,CH=EH,于是得到8G-C〃=GE-EH=G〃.即可得到结论；

④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距

离相等，从而得出为“ZMC外角平分线这个重要结论，再利用二角形内角和性质与

外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论.

【完整解答】解：①8E平分/4BC,

・・.N£4C=』NA4C,

2

TCE平分NACO,

.\ZDCE=yZ^CD,

•.•/ACO=/5AG/A6C,Z1DCE=Z：CBE+/BEC,

AZEBC+ZBEC=y(N8AC+N48C)=NEBC+//BAC,

:.NBEC吾/BAC,故①正确；

•••②与△C8F只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得

出全等的结论，故②错误.

③BE平分N48C,

・••ZABE=ZCBE,

■:GE//BC，

:"CBE=/GEB,

NABE=NGEB,

:・BG=GE,

同理CH=HE,

:,BG-CH-GE-EH-GH,

故③正确.

④过点E作目LLAC于N,EDLBC于D,EM上BA于M,如图，

〈BE平分NA8C,

:・EM=ED,

••・CE平分N4C7),

:・EN=ED,

:.EN=EM,

平分NC4M,

设NACE=NOCE=x,ZABE=ZCBE=y,ZMAE=ZCAE=z,如图，

则NBAC=1800・2z,ZACB=180-2r,

VZAI3C+ZACB+ZBAC=\^r,

.\2,v+180°-2z+1800-2x=180°,

，x+z=y+90°,

Vz=j+ZAEB,

・••%+)叶/AEB=y+90°,

：.x+ZAEB=9()0,

即/ACE+N4EB=90°,故④正确;

故答案为：①③④.

18.(2019秋•潍坊月考)如图，△A8C中，AB=4,4C=7,M是BC的中点，A。平分N

BAC,过M作交AC于R则尸。的长等于5.5.

【思路引导】可通过作辅助线，即延长尸M到M使MN=MF,连接BM延长M/交R4

延长线于E,从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论.

【完整解答】解：如图，延长QW到N,使MN=M/，连接8M延长交84延长线

于E,

是8C中点，・,・BM=CM,4BMN=/CMF,

:.△BMN/ACMF,:.BN=CF,ZN=ZMFC,

又•.•N8AO=NC4。，MF//AD,

•••NE=NR4O=ZCAD=4CFM=ZAFE=NN,

：,AE=AF,BN=BE,

/.AR+AC=AR+AF+FC=AR+AE+FC=RF.+FC=RN+FC=1FC,

：.FC=—(AB+AC)=5.5.

2

故答案为5.5.

E

19.(2021春•铁岭月考)如图，在四边形A8C。中，N8+NAOC=180°,CE平分N8CD

交AB于点E,连接OE.

(1)若NA=50°,ZB=70°,求NBEC的度数；

(2)若NA=N1,试说明/COE=NQCE.

【思路引导】(I)求出N4+N8CO=180°,求出NEC。，求出NBCE,根据三角形内角

和定理求出即可；

(2)根据三角形内角和定理和NA+/BC£>=180°求出NCDE=NBCE,即可得出答案.

【完整解答】解：(1)VZ/4+ZB+ZfiCD+ZADC=36O=,ZB+ZADC=i8O°,

/.ZA+ZBCD=180°,

VZA=5()°,

：.ZBCD=\30Q,

•・・CE平分N8CO

AZBCE=-ZBCD=^=-X130°=65°,

22

:26=70",

AZBEC=180°-65°-70°=45°,

(2)证明：由(1)知NA+N8CD=180°,

/.ZA+ZBCE+ZDCE=180°,

ZCDE+ZDCE+Z1=1800,N1=NA,

：・/BCE=/CDE,

YCE平分/8CO,

:・/DCE=/BCE,

:・/CDE=/DCE.

20.(2021•南岗区模拟)己知：点£F在BC上,AF=DE,BE=CF,NAFE=NDEF.

(1)如图1,求证：AB=CD；

(2)如图2,连接ACBD,AE,DF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2

中的四组平行线.

(2)由全等三角形的性质得NB=NC,得/W〃CQ,再证四边形4BOC是平行四边形,

得AC〃B。，同理证出A尸〃OE,AE//DF.

【完整解答】(1)证明：・・・6£=。月

：.BE-EF=CF-EF,

即BF=CE,

*/ZAFE=ZDEF,

ZAFB=/DEC,

在AAB产和△OCE中，

(AF=DE

INAFB:/DEC，

IBF=CE

・•・△"产0△OCE(S4S),

：,AB=CD；

(2)解：图2中的四组平行线为：AB//CD,AC//BD,AF//DE,AE//DF,理由如下：

由（1）得：XABFWRDCE,

：,AB=DC,Z6=ZC,

:‘AB"CD,

・•・四边形ABDC是平行四边形,

：.AC//BD,

,/ZAFE=/DEF,

：.AF//DE,

\,AF=DE,

・•・四边形AED尸是平行四边形,

：.AE//DF.

21.（2020秋•来宾期末）如图，在五边形/IBCOE中，AB=DE,AC=AD.

（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABCgAOEA,并说明理由；

（2）在（1）的条件下，若NCAO=65",ZB=110°,求NBAE的度数.

【思路引导】（1）添加/ZMC=N£D4,根据SAS即可判定两个三角形全等；

（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到N84E的度数.

【完整解答】解：（1）添加一个角方面的条件为：ZBAC=ZEDA,使得

理由如下：

在△A8C和△QE4中，

rAB=DE

'ZBAC=ZEDA.

AC=AD

/.AABC^ADEA（SAS）,

（2）在（I）的条件下，

,/△ABCdOEA,

/.ZACB=ZDAE,

ZCAD=65°,ZB=110°,

AZACB+^BAC=1800-ZB=70°,

/.ZDAE+ZBAC=ZACB+ZBAC=10°,

AZBAE=ZDAE+ZBAC++650=135’.

22.（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，人。为NBAC的平分线，。凡L/1A于E,DF1.

4c于尸，△ABC面积是152加2,AB=20cm,AC=\Scm,求OE的长.

BDC

【思路引导】根据品八BC=S必砧+S&AC。，再利用角平分线的性质即可解决问题.

【完整解答】解：YAD为284C的平分线，OEJ_A8于E,DFVAC^F,

:・DE=DF,

S^ABC=S/.ABD+S^ACD^

・•・S"BC=]XABXDE耳xACxDF，

乙乙

「△ABC面积是1520八，AB=20cm,AC=18c/n,

：・152=/X20XDE弓X18XDF，

AIODE+9DF=152,

•:DE=DF,

.-.19DE=152,

；・OE=8.

23.（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC中，OE工AB与点E,。/J_AC与点凡且OE

=OF.

（1）如图①，当。为4c中点时，试说明A8=AC：

（2）如图②，当点。在△ABC内部，且O8=OC,试判断/IB与AC的关系.

(2)由等腰三角形的性质得NO8C=NOC8,再证RiZ\O8EgRtaOC/(HL),得乙48。

=/ACO,则NABC=NAC8,即可得出结论.

【完整解答】(I)说明如下：:。为BC中点，・,.BO=CO,

•・・OE_LAB,OF±AC,

••.NOEB=NOFC=90『,

在RDBE和RtAOCF中，

：0B=0C,

,0E=0F'

ARtAOBE^RtAOCT(HL),

:・/B=NC,：,AB=AC；

(2)解：AB=AC,理由如下:

•：OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

yOEIAB,0F1AC,

：,ZOEB=ZOFC=9Qa,

在RtAOBE和RtAOCF中,

0B=0C

'OE=OF'

ARtAOBE^RlAOCF(HL),

・•・ZABO=ZACO,

/.NABC=NACB,

：.AB=AC.

24.（2021春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=3,NB=40°,点。在线段

8C上运动（点。不与点8、。重合），连接A。，作乙4。£=40°,交线段AC于点

E.

（1）当/8。4=110°时，/EDC=30°,ZAED=70°.

（2）线段。C的长度为何值时，△ABD9XDCE,请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，aADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/BDA的

度数；若不可以，请说明理由.

【思路引导】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求NEQC,NQEC的度数：

（2）当OC=3时，由“/US”可证

（3）分AD=OE,DE=AE,4E=A。三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性

质可求N双）4的度数.

【完整解答】解：（1）・・・/4。4+/4。石+/£。。=180°,且乙4。£=40°,/4。4=110°,

AZEDC=180°-110°-40°=30°,

*：AB=AC,

，NB=NC=40°,

/.ZAED=ZEDC+ZC=300+40°=70°,

故答案为：30°,70°；

(2)当。C=3时，A48。丝△OCE,

理由如下：

■:NADC=NB+NBAD,ZADC=ZADE+ZCDE,NB=NA£>£；=40°,

；・NBAD=/CDE,且AB=CO=3,ZB=ZC=40°,

/.AABD^/\DCE(ASA)；

(3)若AQ=Q£时，

'：AD=DE,ZADE=40°,

・・・NOE4=ND4E=70°,

ZDEA=ZC+ZEDC,

：.ZEDC=30°,

AZBDA=1800-ZADE-ZEDC=180°-40°-30°=110°,

若A£=OE时，

VAE=DE,NA£>£=40°,

AZADE=ZDAE=40a,

/.ZAED=100°,

*：ZDEA=ZC+ZEDCt

，NEOC=60°,

・・・N8OA=1800-ZADE-Z£DC=180°-40°-60°=80°,

若A£=A。时，ZAED=ZADE=40°,

N/)AE=180°-40°-40°=100°,

此时。与B重合，不合题意，舍去.

综上所述：当/8D4=80°或110°时，的形状可以是等腰三角形.

25.(2021春•沂源县期末)如图，在△A4C中，ZC=90°,AO平分N84C,DELABT

点E,点尸在AC上，且8。=。尸.

(1)求证：CF=EBx

(2)请你判断AE、A尸与8K之间的数量关系，并说明理由.

【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到。。=。£，根据直角三角形全等的判定定理

得到RtADCF^RtAZ；£B,根据全等三角形的性质定理得到答案；

（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE,根据（1）的结论得到答案.

【完整解答】证明：⑴:AZ)平分/BAGDELAB,ZC=90°,

:.DC=DE,

在Rt^OC尸和RtZ\OE4中，

/DC=DE

<DF=DB，

ARtADCF^RtADEB,

:・CF=EB；

(2)AF+BE=AE.

VRtADCF^RtADEB,

：,AC=AE,

：,AF+FC=AE,

即AF+BE=AE.

26.（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基

a

本图形.如图1,已知：在△48C中，ZBAC=90?AB=AC,直线/经过点A,BD1.

直线/,C£L直线/,星足分