第2章 平面解析几何初步（知识清单）原卷版

第一章数列

清单01直线的倾斜角

清单02直线的斜率

（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的宜线均有斜率

（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）

（4）同越大，直线越陡峭

（5）倾斜角。与斜率A的关系

清单03过两点的直线斜率公式

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

清单04直线斜率的应用

1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上，则任意两点的坐标都可以确定这条直

=

线的斜率，即k,w二kw（或kuFkec,或kx=kac）；反之,若RAB二kw:（或RAB—kno或kAckrc）»则直线AB与AC（或AB

与BC,或AC与BC）的倾斜角相同，又过同一点A（或B,或C）,因此点A,B,C在同一条直线上.

2.形如旦的范围（最值）问题，可以利用丑的几何意义［过定点（a,b）与动点（x,y）的直线的斜率］,借助于

x-ax-a

图形，将求范围（最值）问题转化为求斜率的范围（最值）问题，从而简化运算过程.

清单05直线的截距

（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距

离”相关）

（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非轻直直线

清单06直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式不含垂直于X轴的直线

斜截式不含垂直于X轴的直线

两点式

截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

清单07求直线方程的方法：

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，

或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条

件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

清单08直线的方向向量、法向量

1.与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量，直线的方向向量和法向量不唯一.

2.斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍，直线Ax+By+C=0的法向量可取(A,B).

清单09线段中点坐标公式

清单10对直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

清单11根据位置关系设直线方程的方法

1.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mWC).

2.与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为BxAy+m=0.

3.与直线y=kx+b平行的直线方程可设为y=kx+m(m^b).

4.与宣线产kx+b(kW0)垂直的直线方程可设为y^x+m.

清单12两条直线的交点坐标

1.求两相交直线的交点坐标，其关键是解方程组，解二元•次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元

法.

(1)若一条直线的方程是斜截式，则常应用代入消元法解方程组.

(2)若直线的方程都是一般式，则常应用加减消元法解方程组.

2.设直线h：A1x+B1y+G=0(Ai,Bi不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,2不全为0),则过h,k交点的直线方

程可设为/hx+Biy+G+入(A2x+B2y+G)=0(其中X为参数),然后根据条件求待定系数.

注：(1)利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.

(2)两条直线相交的判定方法：

①联立直线方程组成方程组，并解方程组，若有一组解，则两直线相交.

②两直线斜率都存在且斜率不相等.

③若两条直线的方程分别是h：Ax+Biy+G=0,bA2x+B2y+C2=0,

则h与卜相交=AB2ABW0.

3.求过两条直线交点的直线方程的方法

(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.

(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后

确定直

清单13常见的对称问题及应用

1.对称点的求法

(1)求点关于点的对称点坐标

若点M(xl,yl)关于点P(a,b)的对称点为N(x,y),则由中点坐标公式可得'=之2—'

(y=2b-yr

(2)求点关于直线的对称点坐标

设点M(xO,yO)关于直线1：Ax+By+C=O(A,B不同时为0)的对称点为N(x,y),则点N的坐标可由方程

组户(Af求得

・・芋+

IVA"2+B2C=0

2.在直线1上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的方法

(1)若两个定点A,B在直线1的异侧，则当点P为直线AB与1的交点时，点P到两个定点的距离之和最小，

最小值为|AB[.如图①，在直线1上任取一点P',则|P'A|+|P'B|21ABi=|PA|+|PB|.

⑵若两个定点A,B在直线1的同侧，如图②，则作点A关于直线1的对称点A',连接A'B交直线1于点

B的距离之和最小.

清单14两点间的距离

清单15点到直线的距离

清单16两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求44间距离的方法:

①转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

清单17圆的定义和圆的方程

(1)平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

(2)圆的四种方程

清单18点与圆的位置关系判断

清单19直线与圆的位置关系

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

（3）直线与圆相交时的弦长求法

小2

几何法利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长1之间的关系r2=d2+Q）解题

代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长

设直线1：y=kx+b与圆的两交点分别为⑶,y,）,（x2,y2）,

弦长将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长

公式法222

1=Jl+k|xlx2|=Jl+k・J（X]+x2）-4XJX2

（4）解决与中点弦有关的问题，有下列三种常见方法

①利用根与系数的关系求出中点坐标；

②设出弦的两个端点的坐标，代入圆的方程，利用作差法求出斜率，此法即为点差法；

③利用圆本身的几何性质，即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.

清单21利用圆的方程解决最大（小）值问题的方法

（1）由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形

的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有：

①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率；

②关于x,y的一次式常转化为直线的截距；

③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离.

（2）转化成函数解析式，利用函数的性质解决.

Y-分+r0

⑶利用三角代换，若点P(x,y)在圆(xa)2+(yb)2-r2(r>o)上，则设

y=b+rsin0

（。为参数），代入目标函数，利用三角函数知识求最大（小）值.

清单22圆与圆的位置关系

1.用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

2.两圆的公共弦问题

(1)两圆的公共弦所在直线方程的求法

22

设I员IG：xW+D.x+E.y+F^OCD^+E^F^O),圆G：x+y+D>x+E?y+F,=O(Dl+E^4E?>0).

联立K+y：+D/&y+FL。®破，得(皿)x+(E息)y+FFE.③

设两圆交点分别为A(x”山)，B(X2,yJ,则A,B的坐标适合方程①©，也适合方程③，

因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.

①当两圆相交时，(DD)x+(EE2)y+FF2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程.

②当两圆外离时，(DQ)x+(E]E2)y+FR=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.

③当两圆相切时，(DD)x+(EE)y+FF2=0是两圆的一条公切线的方程.

④若两圆是等圆，则(DD)x+(EFjy+FR=O是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.

(2)两圆公共弦长的求法

代数法：将两圆的方程联立，解出交点的坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长.

几何法：①将两圆的方程作差，求出公共弦所在的直线方程；

②求出其中一个圆的圆心到公共花的距离；③利用勾股定理求出公共弦长.

3.求经过两圆交点的圆的方程的方法

222222

一般地，过圆G；x+y+Dlx+Ely+Fi=O与圆Cz：x+y+D^+Ezy+F,=O交点的圆的方程可设为x+y+Dlx+Ely+F,+

22

X(x+y+D2x+E2y+F>)=0(XGR,X^l),然后由其他条件

求出入即得圆的方程.

易错总结

易错点1忽视直线倾斜角的取值范围

错误：直线斜率与倾斜角应用时，忽略考虑直线倾斜角的取值范围而造成错误

注意：直线斜率与倾斜角应用时，要特别考虑直线倾斜角的取值范围的情况

例题12已知直线方程为3才+”-6=0,求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.

易错点2求直线方程忽视截距为零

错误：利用截距式求直线方程时，忽视考虑截距为零时的情况

注意：利用截距式求直线方程时，①当直线过坐标原点时，②当直线不过坐标原点时

(1)求直线/的一般方程；

易错点3忽视直线点斜式的适用范围

错误：利用点斜式表示直线方程时，忽略考虑直线斜率不存在直线不能用点斜式时的情况

注意：利用点斜式表示直线方程时，应考虑直线斜率存在时可以用点斜式

A.任何一条直线B.不过原点的直线

C.不与y轴垂直的直线D.不与x轴垂直的直线

例题32(多选)下列说法中不正确的是()

C.直线在y轴上的截距是直线与了轴交点到原点的距离.

D.过点(H)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来.

易错点4判断两直线位置关系时忽视斜率不存在

错误：判断两直线位置关系的错误就是不注意对直线斜率是否存在的分析

注意：判断两直线位置关系时：①两直线平行应注意两条直线斜率可能不存在；②两直线垂直应注意其中

一条直线斜率可能不存在，另一条直线斜率为o

易错点5平行线间的距离公式使用不当

错误：平行线间的距离公式使用不注意两直线方程中X,y的系数分别对应相同以及直线斜率是否存在的分

析

注意：平行线间的距离公式使用应注意两直线方程中x,y的系数分别对应相同以及应注意两直线斜率是否

存在的讨论分析

易错点6忽略圆的一般方程的限制条件

错误：圆的一般方程的使用错误就是没有注意二元二次方程，+/+以+。+尸=0表示圆的充要条件是〃+

才一4冷0的检验

注意：圆的一般方程的使用应检验〃+4—4冷0

例题62已知圆。的方程为V+〃+ax+2y+，=0,过点J(l,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.

易错点7处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论

错误：处理直线与圆的位置关系时就是没有注意对直线斜率的讨论

注意：处理直线与圆的位置关系时应要注意对直线斜率的讨论.

例题71若直线过点尸(4,1)且被圆V+/=25截得的弦长是6,则该直线的方程为

例题72过点尸(2,4)作圆(x—l)2+(y—1/=1的切线，则切线方程为()

A.3x+4y—4=0

B.4A—3y+4=0

C.x=2或4x—3y+4=0

D.y=4或3x+4y—4=0

易错点8曲线方程变形不等价

错误：曲线方程最大的错误就是经过变形后不注意方程要有意义

注意：曲线方程变形应注意原来方程有意义满足的条件

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

易错点8两圆有无公共点误认为是相交或者外离

错误：错位相减最大的错误就是数错项数，或者相减时最后一项没有变号

注意：错位相减应要注意项数，同时相减时，最后一项注意变号

例题81已知两个圆％2+y2=9,x2+(y-6)2=r2,若两圆相切，则半径r为

易错训练

A.1B.2C.—1D.-2

2.经