第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 章末拔尖卷（北师大版）原卷版+解析

第2章一元一次不等式与一元一次不等式组章末拔尖卷

【北师大版】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖

面厂，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2023春・河南南阳•八年级统考期中）若QVbVO,则下列式子中错误的是（）

A.-a>—bB.Q+1<6+2C.Q+b<cibD.—>1

2.（3分）（2023春•四川眉山•八年级坝达初级中学校考期中）关于x、的二元一次方程％+y=5的正整

数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（3分）（2023秋•浙江金华•八年级校考期中）己知不等式2X+QZ0的负整数解恰好是一3,-2,-1,

那么a满足条件（）

A.6<a<8B.a>6C.6<a<8D.a<6

4.（3分）（2023秋・重庆开州•八年级校联考期中）若数〃使关于x的方程2-a=4（%-1）的解为正数，

心，>1

且使关于y的不等式组32的解集为y<—2,则符合条件的所有整数。的和为（：

.2（y-a）<0

A.10B.12C.14D.16

5.（3分）（2023春•陕西西安•八年级统考期末）关于x的一元一次不等式组只有4个整数解,

则。的取值范围是（）

A.-1<Q<2B.-11<a<-8C.-114Q<-8D.-11<Q<-8

6.（3分）（2023春•四川达州•八年级校考期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，

还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为A人，则下列

各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（）

A.8%+7<8+9（%-1）B.8x4-7>9（x-1）

（8x+7<8+9（x-1）（8x+7<9（x-1）

C'（8x+7>9（x-1）（8x+7>9（x-l）

7.（3分）（2023春•四川遂宁•八年级统考期中）下列说法中，正确的有（）

①x=7是不等式x>l的解；

②不等式2x>4的解是x>2；

③不等式组｛的解集是一24X<3；

④不等式组£的解集是x=6；

⑤不等式组无解.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（3分）（2023春•全国•八年级期末）定义区表示不大于x的最大整数,如：[3.2]=3、[-3.2]=—4,

[3]=3.则方程田+2=2%所有解的和为（）

A“.—3B-.-5C.-7CD.—9

2222

（3x4-5a>4（x+1）+3Q

9.（3分）（2023秋•湖南永州•八年级统考期末）已知关于久的不等式组11的整数

2X+3>-3X

解只有三个，则a的取值范围是（）

A.。>3或。<2B.2<a<-C.3<a<-D.3<a<-

222

10.（3分）（2023春・河南信阳•八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）若不等式组｛：1，元解，则不等

式组的解集是（）

X<3-D

A.x>3—aB.x<3—bC.3—a<x<3—bD.无解

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2023春・河南新乡•八年级校考期中）若代数式号的值不小于的值，则满足条件的工

683

的最小整数值为一.

12.（3分）（2023春・福建福州•八年级校考期中）"输入一个实数X,然后经过如图的运算，到判断是否大

于154为止〃叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是.

13.（3分）（2023春・河南濮阳•八年级校考期末）若不等式组｛/；3的解集中的整数和为5则整数Q的

值为.

14.（3分）（2023春・河南南阳•八年级统考期末）已知不等式组[「要使它的解集中的

任意x的值都能使不等式3%>m4-3成立，则m的取值范围是.

15.（3分）（2023春•福建福州•八年级校考期中）已知实数a,b,c,a+b=2,c-a=1.若aN-3b,

则a+b+c的最大值为.

16.（3分）（2023春・北京西城•八年级统考期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑

步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所

示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.

（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km?答：（填"是"或"否"）；

（2）小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了圈.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）解不等式（组）

（1）10-4（3-%）<2（%-2）；

x-3（x-2）>4

（2）2x-l/x+1.

--<—

18.（6分）（2023春•福建厦门•八年级校考期末）已知关于%和y的方程组3a。，且Q<3,

（1）若。=2,求方程组的解；

⑵若方程组的解满足不等式％-且符合要求的整数a只有两个，求m的取值范围.

19.（8分）（2023春•安徽合肥•八年级合肥市庐阳中学校考期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不

等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.

例如：方程2》一4=0的解集为：x=2,不等式组《I：的解集为：

因为1V2V5,

所以称方程2x-4=0为不等式组《二;：：的关联方程.

⑴在方程①5%-2=0；-1=0；0x-（2x-l）=0中，不等式组，2：的关联方程的

是.（填序号）

（2）若不等式组（x-^<2的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是.（写出一个

即可）

⑶若方程"-l=x+2,3+x=2（x+3都是关于x的不等式组｛;三发］二的关联方程，求〃律勺取值范

围.

20.（8分）（2023春・全国•八年级期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了

解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现壬原有技术人员分成两部分：技术人员和研

第2章元一次不等式与一元一次不等式组章末拔尖卷

【北师大版】

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2023春・河南南阳•八年级统考期中）若QVbVO,则下列式子中错误的是（）

A.-a>—bB.a+l<b+2C.a+b<abD.—>1

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可.

【详解】解：A.-a<b<0,

-a>-b,故本选项不符合题意：

B.

•••Q+l<b+lVb+2,故本选项不符合题意；

C.va<b<0,

a+6<0,ab>0,

即a+bvab,故本选项不符合题意；

D.va<b<0,

1>-,

a

即e<i,故本选项符合题意；

a

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两

边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同

一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两加都乘（或除以）同一个负数，不等号的方

向改变.

2.（3分）（2023春•四川眉山•八年级坝达初级中学校考期中）关于x、y的二元一次方程％+y=5的正整

数解有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据x、y为正整数得出工>0,5-％>0,求出X的范围0VXV5,得出％=1或2或3或4,代入

求出y的值，由此即可解答.

【详解】解：团二元一次方程X+y=5的解为正整数，

解得：0<无<5,

回当％=1时，y=4；

当x=2时，y=3；

当式=3时，y=2；

当x=4时，y=1；

目二元一次方程x+y=5的正整数解有4个，

故选:D.

【点睛】本题考查了二元•次方程的整数解.，求出x的取值范围是解决问题的关键.

3.（3分）（2023秋•浙江金华•八年级校考期中）已知不等式〃+。之0的负整数解恰好是一3,-2,-1,

那么a满足条件（）

A.6<a<8B.a>6C.6<a<8D.a<6

【答案】C

【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的负整数解得到关于a的不等式组，从而求出a的取值范围.

【详解】解：；2x+a>0,

:.2x>—a,

•••不等式2x+aZ0的负整数解恰好是一3,-2,-1,

-4<x<-3,

...-4<-^<-3,

6<a<8.

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质和确定-5的取值范围.

4.（3分）（2023秋•重庆开州•八年级校联考期中）若数。使关于x的方程2-。=4（%-1）的解为正数，

心，〉1

且使关于V的不等式组327，的解集为yv—2,则符合条件的所有整数〃的和为（、,

12（y-a）<0

A.10B.12C.14D.16

【答案】A

【分析】根据关于％的方程的解为上数即可■得出a<6且Q*2,根据不等式组的解集为y<-2,即可得出Q>

一2,找出一2WaV6且QH2中所有的整数，即可解答.

【详解】解：由方程2-a=4(%-1)的解为％=与生

x01,

解得：QH2；

•••关于"的方程2—a=4(%-1)的解为正数，

二羊>0,解得：Q<6

..降T>I①

(2(y-a)<0@

解不等式①得：y<-2；

解不等式②得：ywa；

(空，>1

••・关于y的不等式组32>'的解集为y<-2

I2(y-a)<0

**•cz>—2；

A-2<a<6»且QH2；

•••a为整数，

•••a=-2、-1、0、1、3、4、5；

•••-2+(-1)+0+1+3+4+5=10,

所以符合条件的所有整数a的和是10.

故选：A.

【点睛】本题考查含参的方程以及不等式，熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含

参的不等式时要考虑端点.

5.(3分)(2023春•陕西西安・八年级统考期末)关于x的一元一次不等式组｛2只有4个整数解,

则〃的取值范围是()

A.-1<a<2B.-11<a<_8C.-11<Q<_8D.-llVaW—8

【答案】C

【分析】先求出不等式组的解集为牛<x<3,再根据这个不等式组只有4个整数解，确定-2<^<-1,

•5S

再进行求解即可.

2x>3x—3①

【详解】解:

3x—a>5②’

由①得，X<3,

由②得，工>等,

团不等式组的解集为—VXV3,

又晚的一元一次不等式组只有4个整数解,

(3-2<^<-1,

(21—11<a<—8,

故选；C.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法

是解题的关键.

6.(3分)(2023春•四川达州•八年级校考期中)八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，

还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为A人,则下列

各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是()

A.8%+7<8+9(%-1)B.8x+7>9(x-l)

(8%+7<8+9(x-1)(8x+7<9(x-1)

C'(8%4-7>9(x-1)D，(8x+7>9(x-1)

【答案】C

【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为(8%+7)棵，根据“每人平均植树9棵，则有1位同学植

树的棵数不到8棵”列一元一次不等式组即可.

【详解】解：若每人平均植树9棵，则(工一1)位同学植树棵数为9(%-1),

团有1位同学植树的棵数不到8棵.植树的总棵数为(7%4-9)棵，

团可列不等式组为：代

(8%4-7>9(%-1)

故选：C.

【点睛】本题考查了一元•次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键.

7.(3分)(2023春•四川遂宁•八年级统考期中)下列说法中，正确的有()

①x=7是不等式x>l的解；

②不等式2x>4的解是x>2；

③不等式组｛的解集是一2《XV3；

④不等式组｛:I的解集是x=6；

⑤不等式组无解.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】①x=7是不等式x>l的解，正确；

②不等式2x>4的解集是x>2,原答案错误；

③不等式组｛jjy的解集是x>3,原答案错误；

④不等式组｛晨,的解集是x=6,正确；

⑤不等式组无解，正确，

故选C.

8.（3分）（2023春•全国•八年级期末）定义团表示不大于x的最大整数,5n：[3.2]=3,[-3.2]=-4,

[3]=3.则方程团+2=2%所有解的和为（）

A.-B.-C.-D.-

2222

【答案】C

【分析】令国=n，代入原方程可得71+2=2%,解方程并由题意可得田Wx<[力+1,即可建立不等式

并求解可知0<nW2,结合题意〃为整数，可推导〃=1或2,当〃=1或〃=2时，分别计算％的值即可获得本

题.

【详解】解：令团=%代入原方程可得九+2=2，

解得％=詈

由题意可得[幻[6+1,

071<<n+l,解得0V/42,

即为整数，

0/1=1或2,

当“1时，x=l，

当n=2时，x=2,

则方程［出+2=2x所有解的和为:+2=3

故选：C.

【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、解一元一次方程以及不等式的应用，正确根据新定义得出x的取

值是解题关键.

f3x+5a>4（x+1）+3a

9.（3分）（2023秋・湖南永州•八年级统考期末）已知关于工的不等式组+的整数

2十33

解只有三个，则Q的取值范围是（）

A.Q>3或a<2B.2<a<|C.3<a<D.3<a<

【答案】c

【分析】分别求出不等式的解集，根据不等式组有解得到-:VXV2a-4,再根据不等式组有三个整数解

得到2<2Q—4W3,求解即可.

3%+5a>4(x+1)4-3a①

【详解】解:

呆+：>-枭②

解不等式①得x<2a-4,

解不等式②得V，

团不等式组有解，

团一；<x<2a—4,

（3不等式组的整数解只有三个,

02<2a-4<3,

解得3

故选：C.

【点睛】此题考查不等式组的整数解的情况求参数，正确理解不等式组的整数解只有三个得到关于参数的

不等式是解题的关键.

10.（3分）（2023春・河南信阳•八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）若不等式组元解，则不等

式组的解集是，）

A.x>3—aB.x<3-hC.3—a<x<3-bD.无解

【答案】C

【分析】根据不等式组无解，得出〃>方，进一步得出3-〃<3»,即可求出不等式组的解集.

【详解】解：团不等式组无解，

团-“V功，

03-«<3-/?,

回不等式组｛:：：二f的解集是3—avx<3—b.

故选:C

【点睛】本题考杳了求不等式组的方法，可以借助口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小

无解了"求解集.解题的关键是根据已知得到进而得出3FV3心.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2023春・河南新乡•八年级校考期中）若代数式号的值不小于的值，则满足条件的x

6o3

的最小整数值为一.

【答案】0

【分析】根据题意得出关于x的不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同

类项、系数化为1可得x的范围，继而可得答案.

【详解】解：根据题意得号

oo3

去分母得，4（5x4-4）>21-8（1-%）,

去括号得，20x4-16>21-8+8%,

移顶得，20%-8%之21-8-16,

合并同类项得，12XZ-3,

系数化为1得，x>-p

则满足条件得X的最小整数值为0.

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查解•元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注

意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

12.（3分）（2023春・福建福州•八年级校考期中）“输入一个实数x,然后经过如图的运算，到判断是否大

于154为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是.

--------------是-----

—►x—>x3—>-2—>>154---->停止

t_____________」否

【答案】

【分析】表示出第一次、第二次、第三次的饰出结果，再由第二次愉出结果可得出不等式，解出即可.

【详解】解：第一次的结果为：3x-2,没有输出，则3%-24154,

解得：x<52；

第二次的结果为：3（3x-2）-2=9x-8,没有输出，则9%-8工154,

解得：x<18；

第三次的结果为：3（9x-8）-2=27x-26,输出，则27%-26>154,

解得：

综上可得：”的取值范围是?vxw18.

故答案为：<x<18.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得

出不等式.

13.（3分）（2023春・河南濮阳•八年级校考期末）若不等式组{1?/的解集中的整数和为巧，则整数。的

值为.

【答案】-1或2/2或-1

【分析】由不等式组的解集中的整数和为3，可确定整数解为：X=-3,-2或％=-3,-2,-1,0,1,

即可得出整数Q的值.

【详解】解：0{X~~3,

x<a

团一3<x<a,

（3不等式组的解集中的整数和为-5，

=-3,-2或x=-3,-2,-1,0,1.

0-1<a<0或2<a<3,

则整数Q的值为：-1或2,

故答案为：-1或2.

【点睛】本题考查了•元•次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解.，再确定参数a的

范围.

14.（3分）（2023春・河南南阳•八年级统考期末）已知不等式组］出=匕、，要使它的解集中的

任意x的值都能使不等式3x2m+3成立，则〃?的取值范围是.

【答案】TTL<—9

【分析】解不等式组得到解集，结合3XZ7H+3成立列式求解即可得到答案；

【详解】解：分别解不等式得，

x>—2,x<p

4

0-2<x

0-6<3%<4,

03A->m+3,

+3<—6,

解得：m<一9,

故答案为：m<—9；

【点睛】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集.

15.（3分）（2023春・福建福州•八年级校考期中）已知实数a,b,c,a+h=2,c-a=1.若QN-3b,

则a+b+c的最大值为.

【答案】6

【分析】由c一Q=1得。=a+1,与a+b=2相加得a+b+c=a+3,由a+b=2及aN-3b,可得a

的最大值为3,从而得出Q+b+c的最大值.

【详解】解：由c-Q==a+1,

由a+b=2得Q+/）+C=Q+3,

•••a+b=2及a>—3b,

:.a>—3（2—a）解得：aW3,

a的最大值为3,

•••a+b+c的最大值=3+3=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了不等式的性质运用.关键是由己知等式得出Q+b+c的表达式，再求最大值.

16.（3分）（2023春•北京西城•八年级统考期末）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑

步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所

示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.

（1）小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km?答：（填“是〃或“否”）；

（2）小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了圈.

【答案】否10

【分析】（1）设环形跑道的周长为L,小明总计跑了x圈，结合图形即可作答；

（2）利用环形道的周长与里程数的关系建立不等式求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方程即可

求解.

【详解】（1）设环形跑道的周长为L,小明总计跑了x（X为整数）圈，

结合图形，根据题意有：4<3L<5,

即小明恰好跑3圈时，路程没有超过5km；

1<L<2

2<2L<3

（2）结合图形，根据题意有:

4<3L<5

4L>5

解得：;V

根据题意还有：xL=14,可得：x=.,

畴

取为整数,

畔为整数,

畔=10,

即X=m=10,即小明共跑了10圈,

故答案为：否，10.

【点睛】本题考查了不等式的应用，根据题意结合图形得出不等式组，是解答本题的关键.

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级校考期中）解不等式（组）

(l)10-4(3-x)<2(x-2)；

x-3(x-2)>4

⑵-2-x-l<-x-+-l

52

【答案】（1）工工一1

(2)-7<%<1

【分析】（1）按照解一元i次不等式的一般步骤求解即可；

（2）先求出两个不等式的解集，再取公共部分即可.

【详解】（1）解：去括号得：10-12+4x<2x-4,

移顶得：4x-2x<-10+12-4

合并同类项得：2x<-2

系数化为1得：x<-l

（x-3a-2）>4①

（2）（等〈等②

解不等式①得：x<1,

解不等式②得：x>-7,

团原不等式组得解集是一7<x<1.

【点睛】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，掌握解一元一次不等式和取公共解集的方

法是解题的关键.

18.（6分）（2023春・福建凰门•八年级校考期末）已知关于％和y的方程组，且a<3,

⑴若Q=2,求方程组的解；

⑵若方程组的解满足不等式且符合要求的整数a只有两个，求m的取值范围.

心，

【答案】⑴

[y=~2

(2)2<m<3.

【分析】（1）将Q=2代入方程组，再利用加减消元法求解即可；

（2）两式相加可得2%-2y=4+2a,根据x-y>7n,求得关于a的不等式，再根据解集情况，求解即可.

【详解】（1）解：将Q=2代入方程组可得：卜+?=20

（%-5y=6@

①一②可得：8y=-4,解得y=-：

将y=弋入①可得：x-1=2,解得

则方程组的解为：1”—1：

{y=~2

⑵解：卜+3y=4-喟

（x-5y=3a②

①+②可得：2x-2y=4+2a,即％-y=2+a

0x-y>m

02+a>即a>m—2

回a<3,符合要求的整数a只有两个

回整数a为1,2,即0式根一2<1

解得2Wm<3.

【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式组是解题的关键.

19.（8分）（2023春•安徽合肥•八年级合肥市庐阳中学校考期中）如果一元一次方程的解也是一元一次不

等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程.

例如：方程"一4=0的解集为：x=2,不等式组照二:::的解集为：1<XV5,

因为1<2V5,

所以称方程2%-4=0为不等式组用二;：；的关联方程.

⑴在方程①5%-2=0；②"-1=0；@x-（2x-1）=0中，不等式组，[J::]:的关联方程的

是.（填序号）

⑵若不等式组1x-l<2的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是_______.（写出一个

（2%-4>-7x+5

即可）

⑶若方程2x—l=x+2,3+"2（%+。都是关于式的不等式组{：三资17的关联方程，求〃?的取值范

围.

【答案】⑴②

(2)x-2=0

(3)1<m<2

【分析】(1)先求得不等式组的解集，再分别解方程①②③，逐一验证方程的解是否在不等式组的解集

范围内即可；

(2)先解不等式组求得其解集，再找出解集中的一个整数并以此整数构建一个方程即可；

(3)先求得方程2%-1=%+2和方程3+%=21+：)的解，再求得不等式组的解集，然后根据两方程解

的大小确定不等式组的解集上限和下限即可；

【详解】⑴解：不等式组管”或：；)中：

解不等式2%-1<x+3可得％<4,

解不等式％+5<3(x+1)可得%>1,

团不等式组的解集为1VxV4；

解方程①5%-2=0可得x=方程的解不在1VxV4内，

团方程①不是不等式组的关联方程，

解方程②：％—1=0可得无二£方程的解在1VXV4内，

回方程②是不等式组的关联方程，

解方程③x-(2x-1)=0可得％=1,方程的解不在1VX<4内，

团方程③不是不等式组的关联方程，

故答案为：②；

(2)解：不等式组［X-2<2中：

.2x—4>—lx+5

解不等式“-\<2可得“<

解不等式2x-4>-7x4-5可得x>1,

团不等式组的解集为1<x<|；

%=2是不等式组的一个整数解，

方程％-2=0的解为久=2,方程的解在1〈XV:内且是整数，

回方程％-2=。是不等式组的关联方程；

(3)解：解方程2X-1=%+2可得x=3,

解方程3+x=2(%+：)可得％=2,

不等式组｛工会北中：

解不等式x<2x-m可得x>m,

解不等式％-2<m可得x<m+2,

团不等式组的解集为m<x<m+2,

以=3,%=2都在不等式的解集内，

m2

(4tni+-2>3'

01<m<2；

【点睛】本题考查了解不等式组，解一元一次方程，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公

共部分组成是解题关键.

20.(8分)(2023春•全国•八年级期末)为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了

解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入Q万元，现用原有技术人员分成两部分：技术人员和研

发人员，其中技术人员工名(工为正整数且45WXW75),调整后研发人员的年人均投入增加轨％,技术人

员的年人均投入调整为a(经萨万元.

⑴若这(100-幻名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最

多有人：

(2)是否存在这样的实数m,使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件：

①研发人员的年人均投入不超过(m-2)a；

②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.请说明理由.

【答案】⑴即调整后的技术人员最多有75人；

(2)m=6.

【分析】(I)根据题意，求得这(100-％)名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列

不等式求解即可；

(2)由①可得(1+4X%)QW(m-2)a,由②(100-幻(1+4%%)aNQ(《誓也)x,根据题意，求解不等

式组即可.

【详解】(1)解：由题意可得：(100-x)(l+4x%)a2100a,(a>0)

解得：0<x<75,

又R45W%W75,

045<x<75

即调整后的技术人员最多有75人；

(2)解：由①可得(1+4x%)aW(m-2)a,由②(100-％)(1+4x%)aNa(侬0巧x

(1+4x%)a<(m-2)a”(m>^+3

即［(100-x)(l+4x%)a>Q(经彩)x，解得<60r

又既为正整数且45<x<75,

回当％=75时，'+3最大,为£+3=6：

当x=75时，嗤丝最小,为600-6X75=6,

25

综上，存在m=6,满足题意.

【点睛】此题考查了不等式(组)的求解，解题的关键是理解题意，找到不等式关系，正确列出不等式.

21.(8分)(2023春•重庆•八年级统考期末)定义：对任意一个两位数小如果。满足个位数字与十位数

字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为"迥异数将一个"迥异数〃的个位数字与十位数字对调后得

到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商汜为/'(a).例如：a=12,对调个位数字与

十位数字得到新两位数21,新两位数与原两位数的和为21+12=33,和与11的商为33+11=3,所以

/(12)=3.根据以上定义，回答下列问题：

⑴填空：①下列两位数：20,33,84中，“迥异数"为:②计算：〃35)=.

(2)如果一个"迥异数*的十位数字是匕个位数字是2k+2,且/(b)=11,请求出“迥异数*.

⑶如果一个“迥异数%,满足c一5f(c)>35,请求出所有满足条件的c的值.

【答案】⑴①84；②8

(2)38

(3)81或91或92

【分析】(1)①根据定义"个位数字与十位数字互不相同，且都不为零“，可以确定84是“迥异数"，而20

和33不是.

②根据所给定义代入并运算就可以求得/(32)的值.

(2)根据“迥异数〃的定义代入可得/(/，)的值为弘+2=11,可求得后3,再出〃的值为38.

(3)先设c的个位为〃，十位为加，可以代入求得/(c)的值为，〃+〃.再根据c-5f(c)>35,可求得关于

加和〃的不等式，再对机、〃进行讨论就可以求得。的值.

【洋解】(1)解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数〃

可知，20,33,不符合定义

a=84,对调个位数字与十位数字得到新两位数48,新两位数与原两位数的和为84+48=132,和与11

的商为132・11=12,所以f(84)=12.

•••"迥异数"为84.

(2)f(35)=(35+53)+11=8.

故答案为：84,8.

(2)囹这个“迥异数”的十位数字是七个位数字是2("1),

M=10xk+2(左+1)=122+2.

将这个数的个位和十位调换后为：10x2(k+1)+k=21k+20,

磔lb)=(12k+2+21k+20)vll=3A+2,

又f(b)=11,

03^+2=11,

欧=3.

故这个"迥异数》=12&+2=38.

(3)设这个“迥异数”c的个位为小十位为m,则〃w〃，且加，”均为大于1小于10的正整数.

则c=10m+n,调换个位和十位后为：10〃+/〃，

故/(c)=(10m+n+10n+m)+11=/〃+〃，

%-y(c)>35,

ElO/n+w-5(m+n)>35.

整理得：5/小4〃>35,

同机,殁之

又切?49,

0^<9,

解得：〃V2.5,

又日为正整数,

故及=1或2,

当〃=1时，m=8或9,此时c=81或91；

当〃=2时，〃?=9,此时c=92；

故所有满足条件的c有：81或91或92.

【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解和运用，还考查了列代数式和解不等式的知识，最后一问需要

讨论不等式的整数解，是本题的难点.

22.（8分）（2023春•江苏扬州•八年级统考期末）对非负数产四舍五入〃到个位的值记为⑴，即当〃为非

负整数时，若0.5幺<〃+0.5,贝！（»=〃.反之，当八为非负整数时，若<»=〃，则〃-0.5±</?+0.5.如〈1.34）

=1,(4,86)=5,

(1)(n)=

（2）若<0.5x-l〉=7,则实数x的取值范围是

若关于的不等式组--1

(3)xI-的整数解恰有4个，求。的取值范围;

.x-<