并集与交集（导学案）-人教A版高中数学必修第一册

1.3.1并集与交集导学案

【学习目标】

1.掌握并集、交集的定义.

2.会进行简单的并集、交集运算.

【学习重难点】

重点：

1.两个集合并集和交集的含义.

2.求两个简单集合的并集和交集.

难点：能用Venn图表达集合的并集和交集，体会数形结合思想.

【学习过程】

一、课前预习

预习任务一：知识预习

预习课本P10〜12,思考并完成以下问题

（1）两个集合的并集与交集的含义是什么？它们具有哪些性质？

“怎样用如n图表示隼合的并集和交集?_________________________________/

预习任务二：简单题型通关

1.判断（正确的打“小，错误的打“X”）

⑴并集定义中的“或'就是"和”.（）

（2）AUB表示由集合人和集合B中元素共同组成.（）

（3）AnB是由属于人且属于B的所有元素组成的集合.（）

2.设集合M={-1,0,1},N={0.1,2},则MUN等于()

A.{0,1}B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}D.{-

3.若集合A={x|-5<x<2},〃=3—34<3},贝ljAQ8=()

A.{x[—3<x<2}B.{x[—5<A<2}

C.{R—34V3}D.{卫-54<3}

4.满足{1}08={1,2}的集合8的个数是.

二、新知精讲

1.并集和交集的概念及其表示

类别

自然语言符号语言图形语言

概念

由所有属于集合4______属于集合B的元素组

并集

成的集合，称为集合A与B的并集，记作______{小£4,或

(读作“_______”)x^B]

ACI8=

由属于集合A_____属于集合B的所有元素组

交集成的集合，称为与的交集，记作______(读

A3{巾，且

作“________”)

x^B}

［点睛］(I)两个集合的并集、交集还是一个集合.

(2)对于人U8,不能认为是由A的所有元素和8的所有元素所组成的集合.因为A与/3

可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素.

(3)4(18是由A与8的所有公共元素组成，而非部分元素组成.

2.并集与交集的运算性质

并集的运算性质交集的运算性质

AUB=BUA

AUA=AACiA=A

AU0=AACI0=0

AQB^>AUB=B

三、题型探究

<题型一并集的运算

［例1］(1)(全国卷H)设集合A={1,2,3},{2,3,4b则4UB=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3)

C.{2,3,4}D.{1,3,4}

(2)若集合A=B={x\-2<x<2},则AUB等于()

A.{中>一2}B.{4r>-I}

C.{x|—2<r<—1}D.{A|—1<X<2}

［归纳总结］

求集合并集的2种基本方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法

求解.

［活学活用】

1.已知集合M={R-3OW5},N={x|xv—5或心>5］,则MUN=()

A.{巾<—5或x>—3}B.⑶-5<x<5}

C.{A1-3<V<5}D.{x|xv—3或x>5}

2.已知集合a={0,2,4},B=<0,1,2,3,5},则.

令题型二交集的运算

［例2］⑴设集合人={川一1姿2},8={x|0W处4},则ACW等于（）

A.{x|0S吐2}B.{x|l<x<2}

C.{^0<i<4}D.{A|1<I<4}

（2）已知集合从=（小=3〃+2,〃金N},^={6,8,10,12,14},则集合ACW中元素的个数为

（）

A.5B.4

C.3D.2

［归纳总结］

1.求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：（1）定义法，（2）数形结合法.

2.若A,B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式

时,含有端点的值用实点表示,不含有端点的值用空心点表示.

［活学活用］

3.集合A={M-2<r〈l},3={4r<—l或工>3},则ACI8=（）

A.{A|-2<X<-1}B.3—2*3}

C.D.{.v|l<.v<3}

4.若集合A={x|2x+l>0},B={x\~\<x<3},则ACI8=.

<题型三有集合的并集、交集求参数（一题多联、题根显现）

题点一：由并集、交集求参数的值

1.已知"={1,2,，一3。-1},N={-1,3},MDN={3},求实数。的值.

题点二：由并集、交集的定义求参数的范围

2.设集合A={x［—l<r<a},4="|10:<3}且4口4=3-1々<3},求。的取值范闱.

题点三：由交集、并集的性质求参数的范围

3.已知集合A="|-34S4},集合8=。伙+15匕次-1},且AU8=A,试求A的取值

范围.

4.把3题中的条件“AUB=A"换为“08=4”，求我的取值范围.

［归纳总结］

由集合交集、并集的性质解题的方法及关注点

(1)方法：当题目中含有条件AAB=A,AUB=B,解答时常借助于交集、并集的定义

及集合间的关系去分析，将关系进行等价转化如：AnB=A=AGB,AUB=B=AGB等.

此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关系面出数轴，然后根据数轴列出关于参

数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍.

(2)关注点：当题FI条件中出现BGA时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B=0的

情况.

四、易错误区

不能正确理解数学式子的含义导致出错

［典例］已知集合A={），|y=『一2t—3,x£R},B={y|y=—f+2x+13,R},求ACI8.

y=x2—2x—3,x=4,x=-2,

［错解I解方程组,或，所以ACI8={5}.

y=—13,)'=5[y=5.

［正解I由题可知集合A,8分别是二次函数y=f—3和y=—/+2丫+13的)，的

取值集合.

A={y|y=(x—I——4,干eR}={y|y>—4,y£R},B={y|y=—(x—1)2+14,.r£R}={y\y<14,

y£R}.

因此，AnB={y|-4<)<14,y^R}.

［易错警示］

错误原因纠错心得

这是一种典型的错误.描述法表示的集合口仅

£A}中，X表示元素形式，A表示元素的

在有关集合运算，特别是描述法表示的集合

性质和特征.集合{(x,)，2=/(x)，x£R}表示

运算中，要正确理解式子的数学意义，要把

由函数4r)的图象上全体点组成的集合，而本

握好自然语言、数学语言和集合语言之旬的

例(y\y=fi^)，x£R)表示函数值1y的取值集合，

关系，否则易发生错误.

因此所求的ACIB实为求两个函数函数值的取

值集合的交集.

五、达标检测

1.已知集合A={x|应一3},B={x\~5<x<2}f则AU8=()

A.{x|x>—5}B.{月烂2}

C.{.V|-3<A<2}D.{x|-5<r<2}

2.设集合M={x|-3VxV2},N={x\\<x<3},则MCN=()

A.{X|1<¥<2}B.{x|l<r<2}

C.{R2〈W}D.{x\2<x<3}

3.设A={x|-3人3},8={)心=一/十1}.若ACIB=0,则实数，的取值范围是()

A./<一3B.二一3

C.>3D.r>3

3-x〉()

4.已知集合4=〈不|<>,集合B={〃?|3>2加一1},求ACIB,AUB.

3x+6>0

六、本课小结

1.对并集、交集概念的理解

(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，

它们是“相容”的.或这一条件，包括下列三种情况:但入任从工£8但.汉A：

xWA且16法因此，AU8是由所有至少属于A、"两者之一的元素组成的集合.

(2擀03中的元素是“所有”属于集合A且属于集合8的元素，而不是部分，特别地，当

集合A和集合B没有公共元素时，不能说4与8没有交集，而是4口8=0.

2.集合的交、并运算中的注意事项

⑴对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交''、"并”定义求解，但要注意集合元

素的互异性.

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，

但要注意端点值能否取到.

参考答案

课前预习

1.答案:⑴x(2)x(3W

2.答案:D

3.答案:A

4.答案:2

新知精讲

1.或者AUB4并8

且A交4

题型探究

［例1］解析：(1)由题意得AUB={1,2,3,4}.

(2)画出数轴如图所示，故AU3={.巾＞一2}.

答案：⑴A(2)A

［活学活用］

1.解析：选A将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示,

可知或Q-3).

2.解析：2U8={0,2,4}U{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}.

答案：{0,123,4,5}

［例2］解析♦：(1)在数轴上表示出集合A与从如下图.

B

34

则由交集的定义，4nB={x|0SE2}.

(2)集合人中元素满足x=3〃+2,〃£N,即被3除余2,而集合8中满足这一要求的元

素只有8和14.故选D.

答案：(1)A(2)D

[活学活用]

3.解析：选A由集合交集的定义可得4口8=3-24<一1}.

4.解析：*：A—x|x>—1>,8={x]—l<x<3},

画数轴如图：

-2-110123x

~~2

.\AC\B='x—^<v<3

答案：x-1<x<3>

题点一：由并集、交集求参数的值

1.解：・；MnN={3},・・・3£M：

・32—34—1=3,即/-3a—4=0,

解得〃=-1或4.

但当。=—1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去;

当〃=4时，M={1,2,3},N=[-1,3,4},符合题意.

・M=4.

2.解：如图所示，

由AU8={H-l<x<3}知，\<a<3.

_A^___njn_.

-11a34

3.解：VAUB=A,3BUA,

①当〃=0时，：.k<2.

②当8,0,则根据题意如图所示:

AHUI4

%+1切―1,

根据数轴可得（-3<%+1,

解得2<K（.

综合①②可得女的取值范围为卜|七|）.

4.解：•；ArW=4,：.AQB.

又4={1|一34饪4},B={x\k-\~\<x<2k-\］,可知后：0.

由数轴

41L-I.*

&+1W-3,

可知

即当Ar8=A时,&不存在.

易错误区

y=x2—2x~3,x=4,x=~2,

［错解］解方程组所以ACI8={5}.

y=—『+2v+13,口=51)=5.

［正解I由题可知集合