单元检测卷（五）平面向量与复数（解析版）-2026高考数学一轮复习重难点题型专练

单元检测卷（五）平面向量与复数

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（24-25高三下•重庆沙坪坝•开学考试）复数z满足z（l-i）=3-2i（i为虚数单位），则复数彳的虚部为

（）

A.；B.—C.—iD.—i

2222

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共加复数的概念及计算

【分析】利用复数的除法求出z,进而求出其共扼复数的虚部.

所以-z=95：1i的虚部是一1：.

222

故选:B

2.（24-25高三上•山东济宁•期末）已知复数z满足匕l=-i,则在复平面内z对应的点位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据给定条件，利用复数除法求出z即可得对应点的位置.

【详解】由匕1=—,

z-i一「

所以在复平面内z对应的点（-11）位于第二象限.

故选：B.

3.（24-25高三上•山东烟台•期末）已知向量,出满足归+同=26,且5=（1,1）,则同=（）

A.丛B.2C.V5D.3

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模

【分析】由题意可得/=2标，方=2,又K+B|=2后，可得/+2标+初=20,可求口.

【详解】因为力«-2可，所以好一芯）=0,所以7一2标=0,所以7=2标，

又因为口+4=2百，所以7+2标+片=20,又心。，1），所以r=1+1=2，

所以2『+2-20,所以/_9,所以口=>

故选：D.

4.（23・24高三下•北京西城•开学考试）平面向量£与坂的夹角是?，且同=1,忖=2,如果布一+小

祀=£-3坂，点。是线段6c的中点，那么|砺卜（）

A.75B.273C.3D.6

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】平面向量的混合运算、已知数量积求模

【分析】利用向量模的计算公式可求口斗.

【详解】因为O是线段6c的中点，故而=；（万+就）=g侬-25）=1兀

故园=田-2。石+/=^5-2x1x2x1=73,

故选：A.

5.（24-25高三下•山西大同•期末）已知万是单位向量，且♦・方=；.若平面向量万满足力二"3=2,

则同的值为（）

A.延B.逑C.&D,72

33

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、解析法在向量中的应用

【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得G=（L0）,I,设万=（加并结合数量积的坐标表

示列方程求向量坐标，进而求模长.

【详解】由题意，得同=1司=1,设向最后、石的夹角为仇

-11JT

因为方心=；7,所以cose=；；,故夕=彳.

223

以。为原点，以G方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

使坂的起点与o重合，终点在第一象限，则G=(I,O),李

故选:B

6.(24・25高三下•广东惠州•阶段练习)已知平面向量瓦B满足同=1,同=2,且他-2/；)_L3,则卜-3卜

()

A.瓜B.V5C.2D.1

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示

【分析】根据向审垂直得到向量或B的数最积，再将模长转化为数鼠•积即可求得结果.

【详解】因为2B)_LI,所以(1—2B"=0,即/_21取=0，

因为同=1,所以21坂=1，

|a-b|=J(G=>la2+b2-2a-b，乂恸=2,

所以忖_,-2.

故选：c.

7.（24-25•河南•二模）已知网=|词=1,|冈=0,OA+OB^OC=Q,设次与灰的夹角为a，贝恒二

（）

A.240°B.225°C.135°D.90°

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积

【分析】利用向量的平方等于模的平方来求解夹角即可.

【详解】由方+赤得：丽=-（方+无）n丽，=（方

因为|次卜|砺卜1,|OC|=V2,所以1=1+2+2而.反=|厉，阮卜0$（而，反）=7,

即cos@,西=*一冬

因为何国.0,司，所以（玩同寸,

故选：C.

8.（24-25高三下•贵州贵阳•阶段练习）已知平面向量a人满足|©=3/=（-1,百），且m+B）_L（］-6不）,

则向量。与向量B的夹角是（）

7tn2兀5兀

A.-B.-C.——D.—

6336

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模

【分析】根据向量夹角公式求得cos/,与=-3，从而得解.

【详解】根据题意，|J|=3,p|=J（-l）2+（V3）2=2,

乂（万+1）_L（彳-6。）,W,J（a+b）-（a-6b）=a-5ab-6b=9--6x4=0,

所以a=-3，

-31

3x22'

又两向最夹角范围为［0,司，

所以向量G与向量B的夹角是牛.

故选：C

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.

9.(23・24高三上•湖北荆州•阶段练习)已知3=(2,-4),书=(1,3),则下列结论正确的是()

A.(a+h^A.hB.卜+2%^C.£与3的夹角为手D.［在B方向上的投影向量是J前

【答案】AC

【难度】0.65

【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量

【分析】A.利用平面向量的数量枳运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角

公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断.

【详解】解：因为3=(2,-4),1=(1,3),

所以"+很=（3,-1）,则R+4方=3xl+（-l）x3=0,所以（Z+，|1B,故A正确;

£+2坂=(4,2),所以M+2+j42+22=2后,故B错误；

cos《,B)=|g=-因为«,今«0,可，所以(£,今=与，故C正确;

£在3方向上的投影向量是2¥*二工

故D错误;

\b\

故选：AC

10.(24-25•湖北黄石•模拟预测)下列命题中，正确的命题是()

A.已知心不为非零向量，若B+小忖-可，则"囚的夹角为锐角

B.若4>6>c,则一■—<—

a-cb-c

C.已知A：=C：,则〃=27

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X~8(10,0.8),则当X=8时概率最大

【答案】BCD

【难度】0.85

【知识点】向量夹角的计算、由已知条件判断所给不等式是否正确、组合数的计算、服从二项分布的随机

变量概率最大问题

【分析】应用数量积公式结合夹角公式计算判断A,应用不等式性质计算判断B,应用组合数及排列数计算

判断C,列不等式求解概率最大值判断D.

【详解】A.因为收+/；卜卜叫，两边同时平方，得（石+肛〉（1一/，RRa2+b2+2ab>a2+b2-2db>所

以1B>o,

"\

因此COS0B）>O,因为（瓦万）€[0,可，所以（7与€o,y,

L乙）

因此不与]的夹角为锐角或零角，故A错误，符合题意；

对于B,由于a>6>c,^a-c>b-c>0,故一--<—^—,B正确，

a-cb-c

对于选项C：根据排列数和组合数的计算公式可得，A：=^*="（〃-2）（〃_l）,

=加=n（/?-3）（A?-2）（n-l）

W-4!（«-4）!"24~

因为A：=C：,所以有〃（〃—2）（〃—1）=〃（〃-3）（；”（〃-1）,即詈=1解得〃=27,故选项C正确；

对于选项D：因为在10次射击中，击中FI标的次数为X,X~8（10,0,8）,

当X=攵时，对应的概率?（X=4）=C：°x0®x022，

P(X=A)_尊。.0.8忆0.2g_4(11-攵)

所以当kN1时P(X=I)=喟♦0.8。.0.2"i一—~k~

P（X=k）4⑴一口44

令网上*ri"，，-八"即"心彳,

因为kwNL所以1W4W8目MwN*,

P(X=k\4(11-Ar)44

令.可得

所以尸（X=O）<P（X=1）<P（X=2）<...<P（X=8）>P（X=9）>P（X=1O）,

即上=8时，概率P（X=8）最大，故选项D正确.

故选：BCD.

11.（24-25高二下•甘肃庆阳•期中）在直角二角形力伏；中，AB1AC,。为线段仅:上一点，则下列说法正

确的有()

A.不存在直角三角形48C,使得口耳是|祠，区斗的等差中项

B.若NBAD=NC4D,N8=$,BD=6，则/。=1

6

C.若力B=3,JC=4,。是△力8c的内切圆在8C上的切点，则力。="至

5

D.若Bn=cn,则存在直角三角形相。，使得|而|是|丽，|N|的等比中项

【答案】BCD

【难度】0.65

【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、等差中项的应用、等比中项的应用

【分析】举反例判断A,根据正弦定理求解判断B,利用等面积法求得ZU8C的内切圆半径「=1,然后利用

向量法判断C,举出实例得到D正确.

【详解】对于A,画=3,亚卜4,匹卜5,满足|画是画"网的等差中项,A错误:

对FB,直角三角形力8c中，ABLAC,故NBAD=/CAD=J

4

rz«ADBD

由止弦定理口]<;——-=-~,

sinNBsinNB/lD

又N8=2，BD=O，故/。=1,BJE确：

6

对于C,设△X8C的内切圆为，

由三角形面积可知;x3x4=gx(3+4+5)xr,则△力3c的内切圆半径r=1,

由几何关系知，"。=2,。。=3,故而屈，BPAB-JC=-Z§--JC,

22

所以历二：刀+：就，~AD=[-18+-Jc\=—AB+—AC=—f

55(55J25255

则,40=晅，故C正确；

5

对于D,取48=1,AC=2+5贝1」8。2=8+4百，AD，=[BC2=2+百,

4

故画2m画.同]

即存在直角三角形川纥，使得|画是画"狗的等比中项，枚D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.

12.（24-25高三下•云南•阶段练习）己知不=（1,4）石=（石①在B方向上的投影向量为岑则心.

【答案】6

【难度】0.85

【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量

【分析】由投影向量的定义，结合已知有叵凶坂=3弓，即可得.

42

a'bb>/3+k工\f3r、石+kGr-

【详解】由万在5方向上的投影向量下「同二^-即*1=券，解得4=技

故答案为：G

13.（24-25•安徽合肥•二模）已知△力4c为锐角三角形，且力4=5,JC=6,。的面积为6灰，则

BC=.

【答案】7

【难度】0.65

【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】由面积和两边长,可以求出夹角力的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦

定理求出另一边长即可.

【详解】由484c。沁4=（、5、65出力=6#，得sin4=平，

又AABC为锐角三角形,所以角力为锐角，所以cos<="i=

“、4a小小-im/AB2+AC2-BC2俎I52+62-BC2

在A45C中，由余弦定理cos/=-------------------------,得：一=------------,

2ABAC52x5x6

/.BC2=49,BC=7.

故答案为：7.

14.（24-25高一下•广东清远•期中）如图，在平面四边形>18C。中，2ABC々,AB工AD,

36

CD=4AB,WJtanACAD=.

【难度】0.65

【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算

【分析】设/，。=凡由正弦定理得而金二岩,嬴金=悬万,两式相除即可求出

tanZCJD.

【详解】设NCWP在"C。中，由正弦定理可得而金二照①,

由48_L4。口J得/84。=—,PPJZ.BAC—0,Z.ACB=TC—Z.ABC—Z.BAC=n---------0—0—,

22326

4CAB

在2U8C中，由正弦定理可得②，

sin/44csinZJCB

sin—sin（^-—

①②两式相除，得吗嘿二*一,即-

smZ.ADCABsin<9.冗]sin0

Sin—

6

整理得tan0=冬叵，故tanZ.CAD=2叵.

33

故答案为：巫

3

四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（24-25•天津河北•模拟预测）已知向量不=（-3,1）,A=（1,-2）,=（1,-1）.

⑴求21-5的坐标，硒勺值；

⑵若云//（2+而），求实数〃的值;

（3）若云_L（I+序），求实数〃的值.

【答案】⑴21-3=（-7,4）,%卜石;

（2）女=-2；

4

（3）k=~.

【难度】0.85

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数、利用坐标

求向量的模

【分析】（1）由向审•线性关系和模长的坐标运算求2G-B坐标科|同；

（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数;

（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.

【详解】(1)由题设22-B=2・(-3,l)-(l,-2)=(-7,4),同=#+商=石；

（2）由题设］+序=（一3,1）+上（1,一2）二（女一3/一2左），又K〃（2+届）,

所以・二-^-，则〃-3二2左一1,可得〃=一2；

1-I

(3)由(2)Rcl(a+kb),则乙伍+%5)=太一3+2左一1=0,可得左=3.

3

16.(24-25•上海金山•三模)已知〃?=(jisinx,2cosx71

,/?=(2cosx,sinx),函数〃x)=6一6〃.

⑴求函数/（X）的单调递增区间;

⑵在△/A。中，若/（力）=3,8。=近，且的面积为差，求小+女.

【答案】⑴?+A兀§+版(ZreZ)

36

(2)5

【难度】0.65

【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简/（x），进而利用正弦函数的单调性求解;

（2）由/（彳）=3可求角4进而由右用=半可求力4/C的值，从而利用余弦定理求出力8+£的值.

【详解】（1）由题意，而sinX,2cosx—=(VJsinx,2sinx),万=(2cosx,sinx),

==6-2->/3sinxcosx-2sin2x

=6-V3sin2x+cos2x-l=5-2sin2x~—.

由^+2〃兀<2xJK当+2履(％GZ),可得三+而WxK1+EAcZ,

irSir

所以/(X)的单调递增区间为不+日”+E(£eZ).

36

己卜得一］7T

(2)由/(/)=5-2sin2A-3,sin（24=1,

6J

因为0＜力＜兀，所以一?＜2力—乎，所以24-?=1,即4=£.

666623

因为%.=吧，所以！力氏彳0©114=,4870*立=地，得彳84C=6.

22222

又BC=V7,所以482+4C2-2d87Ccos/=7,

即(Z!3+4C)2-3/B./C=7,

所以(4=34〃./lC+7=3x6+7=25

即,48+4C=5.

17.(24-25・广西・模拟预测)已知向量所=111(；+，,小皿》,n=sin(；-x,cosx，设函数/(x)=而•万.

(1)化简/(x)并写出/(x)的最小正周期：

⑵在△力8C中，角48,C对的边分别为4。，若=a=J7,ZUBC的面积为逆，。是线段4C

的中点，求|力。|的值.

【答案】⑴/(x)=sin(2x+JT=n

(训回=平

【难度】0.65

【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、数量积的运算律、数量积的坐标表示

【分析】(1)利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简/('),再杈据三角函数

的周期公式求最小正周期即可；

(2)由/(X)求出彳，由三角形面积公式和余弦定理求出曲和/+/,再根据。是线段8c的中点可得

AD=-[AB+AC）,利用数量积的运算律求解即可.

【详解】（1）由题意可得/（》）=启•万=sin[；+x卜nJ+5/isinxcosx

it（it.（兀）6.、（it兀

=sin————xsin——x+——sin2x=cos——xsin—-x----sin2x

[2（4JJU；2U）（4）2

=1sinf71sin2x=—cos2x+—sin2x=sinf2x+-11X

2U）222I6）

故最小正周期为r=B=7T.

（2）因为/（g=sin（H+：j=l,且/“0,兀），

所以＜+?=1，解得/=£,

o23

由Siwc=—/?csinJ=—hc=^^-i得6c=6,

&丽242

由余弦定理/=b2+c2-2bccosAb2+c2-be=7,解得〃+,2=13,

又因为。是线段AC的中点，所以而=g（而+衣），

得瓦，+JC2+2|JB||^C|cosJ）=1^13+2x6xl>=?.

故1明-•

18.（24-25•北京•模拟预测）在△力8C中，角48.C所对功分别为〃Ac.已知:

V?sinJsinC=sin2J+sin2C-sin?Z?.

⑴求8；

（2）已知。=4,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得△/4C存在且唯一确定，并求△/13C的面积.

①〃=3；

②c=2〃sinC；

@7B-AC=\6-

【答案】（1）8=：

4

（2）若选①不符题意，选②满足题意且S““C=4+4>/5,选③满足题意且53〃=8

【难度】0.65

【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向品的数

量积

【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解；

（2）若选①，可余弦定理运算可知此时△44C存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时

b=4近,此时通过余弦定理可唯一解出。满足题意，结合三角形面积公式求解即可；若选③，一方面有

cZ?cosA=b-c—l.=16,另一方面a=4,旦/=°2一4&c+16，由此可唯一解出c,进而b也唯一，满

2

足题意，结合三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为&sinJsinC=sin2/l+sin2C-sin;;8.

所以缶0=6+'2一〃，即COS8="2+T-）=立，

2ac2

所以V,

4

（2）若选①力=3,因为。=4,8==，

4

所以由余弦定理有9=16+c?-2x4xcx"，整理得c?-4亚+7=0，

2

解得C=2VZ±1,此时△月8c存在但不唯一，不符题意：

caa4.bbrr.

若选②c=2asinC,则sinCsin/JJsinB-Jl,

22—

所以此时〃=4夜，

由余弦定理有32=16+C2—2X4XCX』Z,整理得1一4加°-16=0，

2

解得c=2五+2卡或c=2近一2遍（舍去），此时△力5c存在且唯」

=gacsin8=Jx4x(20+2网X¥=4+46

II.SA”

-222

若选③刀.就=16，则Hcos"=_—=16,

Ztf=4,Kb2=16+c2-2x4xcx=c2-4&c+16，

2

所以整理得。2-2岳-16=0,解得c=4丘或c=-2&（舍去），

此时△/AC存在口唯一，

II.Slj?r=—acsin^=—x4x4>/2x-^=8.

—222

19.（24-25•广东广州•二模）设〃eN',4,集合心二次叵二师当丹,…,x,J,%W{0,1},134小，eN1（工

为向量），若。"4，生，％，…，%）C匕，B=3也也，…也）6勺，定义々电=E。也.

i-1

（1）若乙方16巴，且1=（0,1,1,1）,5=（1,1,0,1）,11二鼠5=2,写出所有的3；

（2）若瓦Ge2,,且,=（覃』,…,1）,设满足口石=，”的B的个数为/（〃?），求的值；

m=0

⑶从集合匕中任取两个不同的向量记G4=X，求X的分布列与数学期望.

【答案】⑴(1,1，1,0),(1,0"),(01,0，1)

(2)5(—l)m/5)=(T)j〃N4,〃eN・

*»=0

⑶分布列见解析，

【难度】0.15

【知识点】二项式定理与数列求和、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、向量新

定义

【分析】（1）设设/二（G，G，G，1），G・{0，l}，，川1,234},根据定义列方程求G，G，Q，%，由此可得结论；

（2）方法一：根据定义，由条件可得/（m）=C;，由二项式定理可得由此可求结论；

m=O

方法二：根据定义，由条件可得〃m）=C：,结合组合数性质C：+C：i=C3,分〃为奇数，〃为偶数两种

情况结合裂项相消法分别求结论；

C）方法一：根据定义确定随机变量X的可能取值，再结合定义和计数原理求P（X=k）,由此可得分布

3"1*-0n-1Kr*n-l

列，结合期望公式可得七（X）=Q-i）.2”0丁一再分别计算牙袋"，yc,化

简可得结论；

方法二：根据定义确定随机变量X的可能取值，再结合定义和计数原理求P（X=〃-攵），由此可得分布列,

结合期望公式可得%”）二/二产］吟3、C：-乎3c-〃弓《+孕Cj,再分别计算：3飞.

nZC„,£&由此可求结论.

f=i/=!/=!

【详解】（1）设卜=（%。2，。3，。4），^€{0,1},/€{1,2,3,4},

因为值=（0,1,1,1）,3=（1,1,0,1）,ac=b-c=2>

所以c2+C3+C4=2,q+c2+c4=2,

所以q=03,

若勺=。3=0，则C2=c%=l,

若C]=J=1,则02=1,c4=0u£t2=0,c4=1,

所以满足==2的m为：(M,1,0),(1,0,1,1),(0,1,0,1).

(2)解法1：因为无良匕抠=(1,1,1,…,1),

则满足，石等价于向量6的坐标中有加个位置上的值为1,剩下〃一机个位置上的值为0,即/(m)=C>

由二项式定理,±(-ifc：rw(-If=(1-1/=0,

m=0m=0

所以亍(一1『/(〃?)=一(一1)",

m=0

m-0।

因此N(T『/»=(T),〃之4,〃eM,

n-1

解法2：因为匕刀=

则满足=,〃等价于向量5的坐标中有用个位置上的值为1,剩下〃-〃?个位置上的值为0,即/W)=C>

因为C：+C：T=C；M，所以C；=C£+C；，n>2fneN*,0<m<n,

所以，〃为奇数时，Z(-if=1-C>C；-C>•.-4-(-ifC；；-1

m=0

=i-(c3+%)+(CL+cL,)-(cL,+**..+(*+c：：；)

=i--i.

〃为偶数时，S(—i)"'/(，〃)=i—c；+c：—c：+…+(—iy"c：T

m=0

=i-)+(cL+c3)一(c3+c：」)+…一©二"c：：；)

二Y-.

m=O।

因此27(-1)。(加)=(-1广'，〃"，〃eN’;

n-l

(3)解法L若£%=〃，则2=(11,LT),5=(1",…,1),与I/为不相等的向最矛盾,

所以随机变量X的可能取值有0,123,…，〃-1,

对FX=A-的随机变量，在坐标师生，为，…M)与佃也也,…也)中有左个对应位置上的值均为1,剩下“-〃

个对应位置上的值有3种对应关系,

且"A-个对应位置上的值不能同时为0,否则，两个向量相等,

此时所对应情况数为C：・(3"T-1)；种.

CO"-1)T*(尸7)

匕中元素的个数为2"个,所以P(X=%)=

Cj-(2n-l).2w

所以随机变量X的分布列为:

X0123•••n-\

3"-1『尸-1）2c丁

p（2"-1）2（2n-l）-2fl（2,,-l）-2n（2,,-l）-2J•■•（2"-1）2

«-ik,C*,(3nk—1)3'k"CkIn-i

所以随机变量X的数学期望为E(X)喑=近T产百丁一产严斗

首先计算s里.

*-03

设(1+X)”=C：+xC：+x2C；+/C：+…+x"C：,

两边求导得，〃（1+x）z=C；+2xC：+3/C：+…+〃/-£：,

两边乘以x后得，以。+x)z=xC\+2x2C；+3.