等腰三角形 第1课时 过关练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

15.3.1等腰三角形第1课时过关练2025-2026学年上学期

初中数学人教版（2024）八年级上册

一、单选题

1.如图，在VABC中,AB=AC,是/ABC的平分线，若N8QC=72。，则/A等于（）

AA

BC

A.16°B.j[6。C.48°D.60°

2.如图，在△ABC中，AI3=AC,N8=56。，以点。为圆心，C4长为半径作弧交AB于点Q,

大于;AD的长为半径作弧，两弧相交于点作直线。。交八6于点八

分别以点A和点。为圆心、，

则/A;b的度数是（）

B

A.16°B.：22。C.24°D.26°

3.如图，在VA8C中,Z4BC=50°,Z4CD=70°,。为线段A8的垂直平分线与直线3C的交

点，连接A。，则NC4O=（）

A

A\

BCD

A.40°B.2；0。C.20°D.10°

4.墙上钉了一根木条,陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平.在这个测平

仪中，AB=ACfAC'边的中点。处挂了一个重锤.陈老师将3。边与木条重合，观察此时重垂线是

否通过点4.如果重垂线过点A,那么这根木条就是水平的.这其中的道理是（）

A.等边对等角

B.垂线段最短

C.等腰三角形的“三线合一”

D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等

5.如图，C。是等腰VA6c底边上的中线，的平分/A4C,交CD于点、E,AC=8,DE=2,

则△BCE的面积是（）

6.如图，在VA6C中，AB=AC,点。为线段3C上一动点（不与点8,。重合），连接AO,

作NAOE=N8=40。，OE交线段AC于点E,下列结论：①NDEC=NBDA；②若A/?=DC,则

AD=DE；③当时，则。为中点；④当VAOE为等腰三角形时，"4）=40°；其中正

确的有（）

A.①②③B.®@@C.①③④D.①②

二、填空题

7.如图，在VA8C中，AC=8C,ZC=2«,点£是AC的中点，DE上AC交BC边于点、D,

连接4。，则NB4O=.

8.如图，点C,E在。4上，点。在08上，H.OC=CD=DE,若ZEDB=75°,则ZAOB=

E^A

oDB

9.如图.点B,C,D,E,F在NA的两边上，AB=BC=CD=DE=EF,NA=18。，则NDEF二

10.如图，在VA3C中，4c的垂直平分线所交—ABC的平分线8。于点E,若NB4C=66。,

ZACE=24°,则”防的度数为.

11.如图，在VABC中，Z4=ZBC4,。为AC的中点，连接BD,延长BC至点E,使C£：=CQ,

连接。£,ZE=20°,则NBQE1的大小为°.

三、解答题

12.在VA8c中，AB=AC,AN的作图痕迹如图所示，AN交BC于点、N,DE垂直平分边AB,

交AC于点。，交AB于点E,交AN于点O,连接04.

(1)若A3=6,CD=2,求△A。。与VA08的面积比；

(2)若NC=70。，求N08C的度数.

13.如图，在VA8C中，AB=AC,A。是边上的中线，延长6至点E,延长至点尸,

参考答案

题号123456

答案BBBCCA

1.B

【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角得到

ZABC=ZC,设乙48C=NC=2x,由角平分线的定义得到NC8O=.J则由三角形内角和定理可得

X+2A-+72O=180°,解方程即可得到答案.

【详解】解：•••A6=AC,

・•・ZABC=ZC,

设ZA8C=NC=2x,

•・•8。是—A3c的平分线，

：,ZCBD=-ZABC=x

2f

*/ZI3DC=72°,/BDC+NC+NCBD=180°,

.*.x+2x+72°=180°,

Ax=36°,

・•・NA=180°-ZABC-NC=1800-2x-2x=36。，

故选：B.

2.B

【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质，由作图过程可知，直线则

^AFC=90°.由等腰三角形的性质可得/ACA=/8=56。，则/加。=180。一/4。4一/8=68。，

再根据NACF=180°-ZBAC-ZAFC可得答案.

【详解】解：由作图过程可知，直线CFJLA8,

・•・ZAFC=90°.

VAB=AC,28=56。，

・・・/AC8=/3=56。，

・•・ZBAC=180°-zfACT-=68°,

・•・NACF=1800-NBAC-NAFC=22°.

故选：B.

3.B

【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟

练掌握相关的性质是解题的关健.

由。为线段AB的垂直平分线与直线8C的交点可得4)=8。，可得/84。=乙43。=50。，根据

三角形外角的性质可得/必C=20。，然后根据角的和差即可解答.

【详解】解：•・•由。为线段AA的垂直平分线与直线BC的交点，

/.AD=BD,

・•・^BAD=ZABC=50°,

•・•ZAC。=70。，

・•・ABAC=ZACD-ZABC=70°-50°=20°,

・•・ZC4D=々BAD-MAC=50°-20°=30°.

故选：B.

4.C

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.

根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，A。也是8c边上的高，即AO28C,即这根木

条是水平的，据此即可解答.

【详解】解：•・•在三角测平架中，AB=AC,

・•・A3为等腰V/WC的底边AC上的高，

又•・•A。自然下垂，

・•・处于水平位置.

・••等腰三角形底边上的中线就是底边上的高.

故选C.

5.C

【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是

作出辅助线.过E作EFJ.BC交BC于点、F,根据等腰三角形底边上三线合一得到OEX,结合

EF1BC,8E平分N4BC得到。£=£/即可得到答案；

【详解】解：如图，过E作EFJ.BC交BC于点F,

•・•C£＞是等腰三角形VA8c底边上的中线,

ADEJ.AI3,AC=BC,

••・BE平分/ABC,EF1BC,

：-DE=EF,

•・・AC=8,DE=2

・•・S38CE=gBCxM=；ACxOE=；x8x2=8,

故选：C.

6.A

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和.通过等腰

三角形的性质得到NC=NAOE=N8=40。，利用角度的转换即可得到NOEC=N8D4,故①正确；

当A8=DC时，可证明△84旌△(?£)£,即可得到故②正确；当工AC时，可得

ZADB=NDEC=90。,利用等腰三角形三线合一的性质可得。为3C中点，故③正确；根据三角形

外角的性质，可得ZA£D>40°,则可得到ND4E=40。或7()。，即可求出的度数为6(尸或30。，

故可得④不正确.

【详解】解：・・・AB=AC,

AZB=ZC=ZADE=40°,

ZDEC+ZC+/EDC=180°,ABDA+/ADE+/EDC=180°,

:.ZDEC=ZBDA,故①正确；

若AB=DC,

由①得ZDEC=NBDA,NC=NB,

△BAZ^ACDE(ASA),

AD=DE,故②正确；

若DEJ.AC,则可得NA£)B=N/)EC=90。，

•IAB=AC,

・••D为8c中点，故③正确；

根据三角形外角的性质，可得幺包>>40°,

故ZADEHZAED,

当ZADE=READ=40c时，

NBAD=1800-ZB-ZC-ZDAE=60°；

当Z.AED=NEAD=丁。匹=70°,

/BAD=1800-NB—NC—ND4E=30°,故④不正确，

所以正确的为①②③，

故选：A.

7.900-3a

【分析】此题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质.根据等腰三:凭形的性质

求出N8AC=90。-。，根据线段垂直平分线的判定与性质求出NO4C=NC=2a,再根据集的和差求

解即可.

【详解】解：VAC=BC,ZC=2tz,

・•・ZBAC=-x(180o-ZC|=90o-a,

•・•点E是AC的中点，DEJ.AC,

:.OE垂直平分AC,

JAD=CD,

，NDAC=NC=2a,

JZBAD=ZBAC-ZDAC=9(r-a-2a=90o-3a,

故答案为：90°-3a.

8.25

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先证明NC8=NCDO,

/DCE=/DEC,再利用三角形的外角的性质得到NEZ犯=3NC8=75。，从而可得答案，掌握等腰

三角形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键.

【详解】解：・・・OC=CT>=OE,

:./COD=/CDO,/DCE=NDEC,

・•・ZDCE=Z.COD+NCDO=2ZCOD,

・•・4EDB=/DEC+乙COD=3ZCOD=75°,

・•・ZAOB=ZCOD=25°,

故答案为：25.

9.36。/36度

【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理.由

AB=BC=CD=DE=EF,根据等腰三角形的性质，即可得4c8=NA,NCDB=NCBD,

NCED=/DCE,/EFD=/EDF,又由三角形外角的性质、三角形内角和定理，即可求得NOM的

度数，此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

【详解】解：・・・AB=8C,

・•・ZACB=ZA=18°,

・•・NCBD=ZA+ZACT=36°,

•?BC=CD,

・•・4CDB=NCBD=36°,

・•・NDCE=ZAiNC"=18。i36。=54。，

CD=DE,

，4CED=/DCE=54。,

:.NEZ）产=/4+乙4£0=18。+54。=72°,

DE=EF,

・•・ZEFD=ZEDF=72°,

・•・ZLDEF=180°-72°-72°=36°.

故答案为：36。.

10.60°

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理笔知以，根

据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出@C=N£C8=Z/WQ,然后根据

三角形内角和定理求出48力=4BC=NE6=3O°,ZBEC=120°,最后根据三线合一的性质求解即

可.

【详解】解：•・•斯垂直平分8C,

:.BE=CE,

：.4EBC=/ECB,

：4。平分/ABC,

・•・ZABD=/EBC,

VZBAC=66°,ZAC石=24。，

r.Z4BC+ZECB=18（F-ZfiAC-ZACE=90°,

即ZABD+ZEBC+^ECB=9GP,

/.ZABD=ZEBC=/ECB=,

・'.ZBEC=180°-Z£BC-ZECB=120°,

,:BE=CE,EFJ.BC,

：./BEF=L/BEC=60°,

2

故答案为：60°.

11.110

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到』8DC=90。，利用等边对对角得

到NCQE=N£=20。，再根据/4£＞石=N4DC+Na）E求解，即可解题.

【详解】解：•.•在VA8C中，ZA=N8（X，。为AC的中点，

..BD1.AC,即/3DC=900,

vCE=CD,Z£=20°,

ZCDE=ZE=20°,

ZBDE=ZBDC+ZCDE=900+20°=110°；

故答案为：110.

12.（1）2:3

（2）50°

【分析】（1）过点。作Ok_LAC于点尸，根据角平分线的性质得出。£再根捱三角形的

面积公式即可求解；

（2）根据等边对等角得出NAAC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出480的度数，即

可推出结果.

【详解】（1）解：如图，过点。作Ob_LAC于点尸，

由作图可知，AN平分NC48,

又•••0E垂直平分边AB,OF±AC,

:.OF=OE,

VAC=AB=6,CD=2,

AD=AC-CD=6-2=4f

48与4AO8的面积比nlgAQO/7ABOE)=AO:AB=4:6=2:3；

(2)解：•/AB=AC,ZC=70°,

ZABC=ZC=70°,NBAC=180°-ZC-ZABC=40°,

•••4V平分NBAC,

ZBAO=-ZBAC=20°

2f

・“花垂宜平分边A8,

：.OA=OB,

.•.ZOZJ4=Z6t4B=20°,

ZOfiC=ZABC-ZABO=70°-2（T=50°.

【点睛】本题考查r线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，尺规基本作

图-作角平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键.

13.见详解

【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰三角形的性质，

根据等腰三角形的性质得出BO=DC,AD1BC,AD平分N84C,再利用全等三角形的判定和性

质证明即可.

【详解】证明：•・・在△A8C中，AB=AC,AD是8c边上的中线，

:.BD=DC,AD±I3CtAD平分N4AC,ZABD=4CD,

・•・ZABE=ZACF,

在~4跳：与△ACF中，

AB=AC

-ZABE=ZACF,

BE=CF

・•・aAZ?E且△ACF(SAS),

JNBAE=/CAF,

・•・ZBAE+/BAD=ZCAF+ZC4D,

即ZEAD=ZFAD,

即A。平分/£4尸.

14.(1)70°；

(2)见解析.

【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质.

(1)根据角平分线的定义可知/"。=20。，根据垂直的定义可知NA£D=90。，根据直角三角形

的两个锐角互余可求NED4=70。；

(2)利用AAS可证瓦注A4CO,根据全等三角形的性质可知AE=AC,又因为A。平分N8AC,

根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线AD是线段CE的垂直平分线.

【详解】(1)解：♦.•N84C=40。，AO平分NR4C,

/.ZEAD=ZCAD=-ZBAC=20°,

2

\-DE±AB,

:.ZAED=9O0,

ZEZM=90°-20°=70o；

(2)证明：-,DEIAB,Z4CB=90°,

r.ZAED=9O0=ZACI3,

A。平分NB4C,

/DAE=ADAC=24BAC=20°,

2

AAED=ZACD

在^AED和AACD中2DAE=ZDAC,

AD=AD

.△AED^AACD,

：.AE=AC,

•.•AO平分々AC,

AD1CE,A/）平分线段EC,

・••直线4。是线段CE的垂直平分线.

15.（1）证明见解析

（2）ZBDC=130°

【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，及三角形内角和的应用，正确

添加辅助线构造全等三角形是解题关键.

（1）利用等腰三角形等边对等角的性质求得NA8c=NAC8=40。，利用角平分线的定义求得

ZABD=/DBC=2。。,然后再利用等边对等角的性质求得/A£）8=ND48=80。，从而求得

ZC4T）=20o,即可得证；

（2）延长4。到点E,使得AE=BC,根据SAS定理证明AD8（WAC4E,从而得到CD=CE,

ZBDC=ZACE,设NCDE=NCED=a,则N8DC=NACE=100。+。，然后利用三角形内角列方程

求得a的值，从而解答.

【详解】（1）证明：VAB=AC,ZfiAC=100°

・•・ZABC=ZACB=40°

8。平分/ABC