第一章 空间向量与立体几何（知识清单）答案版-人教A版高中数学选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

思维导图

1空间向量线性运算

一T空间向量基本定理

空间向量及其运算

「空间向量数量积

L法向量求法

T线线平行

1线面平行

平行.垂直关系一面面平行

T线线垂直

空间向量

与立体几何1线面垂直

4面面垂直

T点到直线距离

距离点到平面距离

U异面直线距离

空间角

知识清单1

清单01空间向量的加法、减法运算

1、空间向量的位置:已知空间向量23,可以把它们平移到同一平面。内，以任意点。为起点，作向量

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OA=a,OB—b

a

2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量充=B，则向量历叫做向量的和.记作£+5,

即无=%=2+5

3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量⑸叫做£与a的差，记作7-加即

BA=OA-OB=a-b

4、空间向量的加法运算律

（1）加法交换律:a+b=b+a

（2）加法结合律：a+h+c=a+[b+c）

清单02空间向量的数乘运算

1、定义：与平面向量一样，实数义与空间向量3的乘积几）仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

2：数乘向量义]与向量£的关系

4的范围Aa的方向苏的模

Z>0丸£与向量£的方向相同

2=02a=0＞其方向是任意的1痴=MI|Z|

2<0丸£与向量£的方向相反

清单03共线向量与共面向量

1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在“勺直线互相平行或重:合,则这些向量叫做芯

线向量或平行向量,若々与否是共线向量，则记为4//工

在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：

（1）零向量和空间任一向量是共线向量.

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（2）共线向量不具有传递性，如a//b,Z?//c，那么〃//c不一定成立，因为当B=0时，虽然q//瓦力//c，

但■不一定与"共线（特别注意。，0与任何向量共线）.

2、共线向量定理：对空间任意两个向量"万3工6）,力||B的充要条件是存在实数4,使£二兄刃.

2.1共线向量定理推论：如果/为经过点A平行于已知非零向量Z的直线，那么对于空间任一点。，点P在直

线,上的充要条件是存在实数乙使丽=况+i①，若在/上取方="，则①可以化作：OP=OA+tAB

2.2拓展（高频考点）：对于直线外任意点O,空间中三点P,43共线的充要条件是赤=7万+〃方，

其中丸+〃=1

3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

3.1共面向量定理：如果两个向量工石不共线，那么向量,与向量工3共面的充要条件是存在哇一的有序实

数对（X/）,使p=+yb

3.2空间共面向量的表示

如图空间一点尸位于平面48。内的充要条件是存在有序实数对（KJ，），使刀=%有IyAC.

图3.1-15

或者等价于：对空间任意一点O,空间一点尸位于平面4BC内（尸,43,C四点共面）的充要条件是存在

有序实数对（x,y）,使丽=E+x而+yX,该式称为空间平面力8。的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

3.3拓展

对于空间任意一点O,四点P,C,48共面（其中C,43不共线）的充要条件是"=工工+箕刀+z而（其

r|]X+y+z=l).

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4、空间向量数量积的几何意义：向量5的数量积等于"的长度|£|与B在z方向上的投影

的乘积或等于h的长度|B|与3在B方向上的投影|工|cos<%,b>的乘积.

清单06空间向量基本定理

如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量方，存在有序实数组{'J*},使得连森田

清单07空间向量运算的坐标表示

设4=（卬a2,%）层（％b2,bj,空间向量的坐标运算法则如下表所示：

运算坐标表示

加法a+J=(q+4,勺+%%+4)

减法a-b-(a-bva2—bva3~b3)

数乘AcF~(At7|»2a2，4aJ,几wR

数量积ab=4]毋+42优+。3'%

清单08空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

a=®a2t/)%=(%%,b3)

a]=独

加工

平行G|而3||0)=]="0•a2=Ah2(AGR)

%一亚

垂直（3_LB）〃_1_否<=>a-b=0<=>aA+a2b2+〃也=0(a,3均为非零向量)

q=他

特别提醒：在瓦必0）=生=2仇（％£/?）中，应特别注意，只有在6与三个坐标平面都不平行时，才

的二也

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能写成•例如，若6与坐标平面XQF平行，则与=（）,这样?就没有意义了.

aAb、4

2、向量长度的坐标计算公式

若“=（〃[,%%），则|a|=J|"『=\/^-=Jq：+%?+“»即|a|=JajI行*1

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的

体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

__a6_姐+a2b2+a乱

设所（叩％/=低，为4）,则8s</b>=荷2+/+*册+£+/

4、两点间的距离公式

已知力（百,必,zJ,8（々,），2，Z?），则九=1而I-J6”十片七丁声冉《〒•守

清单09空间中直线、平面的平行

设直线4,12的方向向量分别为a，b，平面a，夕的法向量分别为〃，加，则

线线平行II，2oQII°0a=2b（九wR）

线面平行川1。0313=O

面面平行aII夕=〃IItn=77--777

清单10空间中直线、平面的垂直

设直线4的方向向量为a=（%,配。1）,直线4的方向向量为4=（。2也,。2），平面a的法向量〃=（x”M，Z[）,

平面广的法向量为三=（Z，必,Z2）,则

线线垂直/11/20』.1=。04%+她+土6=0

q=2.V]

线面垂直4_LacQ||〃c〃二-Zo«A=4匕

L=片

面面垂直aVP。H+奇名+&z?=0

清单11点到线面距离

1、点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为£,4是直线/上的定点，。是直线/外一点.设万=£,则向量/在直线/

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上的投影向量而二（71而，在&A4P。中，由勾股定理得：尹0=5衲2T而|2=62一6Tk

2、点到平面的距离

如图，已知平面。的法向量为4是平面。内的定点，。是平面a外一点.过点尸作平面a的垂线/,

交平面a于点。，则［是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是万在直线/上的投影向量炉的

长度.「°一|不.:卜）£•〃卜|4［川

清单11用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知&b为两异面直线，AtCRB,。分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为0,则

ACBD

®cos<AC,BD>

I就II前I

\AC~BD

@COS^=|COS<~ACJD>\=

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2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线/的方向向量为£,平面a的法向量为「，直线与平面所成的角为9,£与£的角为伊，则有

ga〃

①COS0二_一

②sine=|cos同=耳gT.（注意此公式中最后的形式是：sin6）

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若04J_a于小PB1。于•B,平面〃仍交/于£,则乙4所为二面角。一/一夕的平面角，NAEB+

N/陟180°.

若“•%分别为面。的法向量

■>.

C〃1•〃，

<%,%>一」

①60S2

'|,?1||^|

②COS。根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正），Mcos0=|cos<77,,n2>|；

若二面角为顿二面角（取负），则cose=-|cos<〃「〃2>|；

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易错总结

易错点1混淆异面直线所成角和向量的夹角

错误：易忽略异面直线夹角的范围为(0,1,而向量的夹角是[0,1]

注意：注意向量法求异面直线所成角最后要考虑异面直线所成角范围

例题1-1如图，四棱锥S-力次⑦的底面是正方形，SQ_L平面力88，点E为SC中点，SD=AD,则异面

直线EB与4c所成角的余弦值为()

【答案】A

【分析】以。为原点，分别以O4DCQS所在直线为轴建立空间直角坐标系，设SO=4O=2，求出

EB.AC,再由向量的夹角公式计算可得答案.

【详解】因为SD±平面ABCD,底面ABCD是正方形，

故以。为原点，分别以。4。。，原所在直线为x/,z轴建立空间直角坐标系，

设SD=4D=2,则4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),5(0,0,2),

因为点E为SC中点，所以七(0』,1),

所以而=(2,1,-1),JC=(-2,2,0),

设异面直线EB与AC所成角为0,

|丽•就|2名

则8®同同=引迈二下

故选：A.

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s

X

例题1-2在正四面体力8CO中,点M在8c上,且8M=2CM,则异面直线4M与。。所成角的余弦值

为.

【答案】¥

【分析】在正方体中构造出正四面体力8co，建立空间直角坐标系.设正方体边长为3〃，求出向量丽和丽

的坐标，根据向量法即可求解.

【详解】如图，在正方体中构造出正四面体力8C。,建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体边长为九.因为8."=2CA/,

・・・cos〈而，CD)=巨@==①

\AM\\CD\8a7'

••・异面直线AM与CD所成角的余弦值为，.

故答案为：立.

7

易错点2混淆线面角与向量夹角关系

错误：若直线与平面所成的角为心直线的方向向量为平面的法向量为"，则sin6=|cos〈Z/|。

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容易出错的是：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平

面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值③不清楚线面角的范围。

注意：线面角向量法公式中最后形式是正弦sin9=|cos〈Zm）|,注意公式中最后形式。

例题2-1若直线1的一个方向向量为方=仅,1,一万），平面。的一个法向量为方=（及,0』，则1与a所成的

角为（）

71r2冗八兀n九

A.—B.—C.-D.一

6332

【答案】A

【分析】求出直线/的方向向量与平面的法向量的夹角后可得.

【详解】由已知cos（〃,〃）=Fp=2x6=一鼻，（〃，〃）=?所以/与a所成的角为看，

故选:A.

例题2-2正三棱锥P-48C的侧面都是直角三角形，£/分别是棱”，3C的中点，则总与平面PE歹所

成角的正弦值为.

【答案】专

【分析】由已知可得尸4尸民夕。两两垂直，设"=4.以点P为会标原点，建立空间直角坐标系，得到各点

的坐标，通过向量求出平面庄户的一个法向量;?=（1,-1』），进而通过向量即可求出结果.

【详解】由已知可得，夕4〃&p。两两垂直，且尸/1=尸3=尸。.

设48=4,由已知可彳导，BC=AC=4,PA=PB=PC=26.

ZA

y

如图，连结PE,PF,EF.以点P为坐标原点，分别以尸4户民尸。所在的直线为'J*轴，如图建立空间直角坐

标系.

则产（0,0,0）,J（2V2,0,0）,8（0,2夜,0）,C（0,0,2>/2）,,尸（0,"匈，而=（0,2©0）,

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PE=(V2,V2,0),而=(0,仓0).

设〃=(x,y,z)是平面压尸的一个法向量，

n~PE=O>j2x+41y=0-,、

则—，则⑤+后”取则…』）・

n-PF=O

/--\n-PB—2\/26

所以8@回=丽

/>8与平面PEF所成角的正弦值为卜。SG，丽)卜等

故答案为：4

易错点3混淆两个平面夹角与二面角平面角关系

错误：若两个平面的法向量分别为乙方,若两个平面所成的锐二面角为。，则cos。=1cos〈无小I；若两个平面

所成二面角为钝角，则cos。=-1cos(a,b)|

两个平面的夹角范围：0°<<90°,二面角的平面角范围：0°<6><180°

注意：两个平面的夹角范围：0°<^<90°,二面角的平面角范围：0。工0w180。，注意区分角的范围

例题3T在空间中，已知平面的一个法向量3=(4,8,。)和平面上一点〃(工0，州,20),平面上任意一点的坐标

(3")满足的关系式为力"-%)+以卜%)+C("z0)=0,则-亥方程称为这个平面的方程，若两平面的方

程分别为x+2j，-2-1和2xyz=R,则这两平面的夹角的余弦值为()

A.--B.工C.JD.-

3366

【答案】D

【分析】确定两个平面的法向鼠，根据向晟的夹角公式，即可求得答案.

【详解】因为两个平面的方程为x+2y—z=l和2x—y—z=VI,

由题意可得，两个平面的法向量分别为1=(1,2,7)"=(2,-I,-1),

—R园11

故两平面夹角的余弦值为Icos(〃1,叫〉1==7.

勺〃276766

故选：D.

例题3-2已知两平面的法向量分别为1=(0』,0),；=(0』,1),则两平面所成的二面角为()

A.45,B.135"C.45"或135°D.120°

【答案】C

【分析】两平面所成的二面角的平面角与两平面的法向量所成的角相等或互补.

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m-n巫

【详解】设两平面所成的二面角的平面角为。,则上os0二卜os(川,〃，二而F

•.•0'4。4180,6=45°或6=135°.

故选:C.

易错训练

1.在正四棱台/也44Gq中，=2,48=4,且该正四棱台的体积为28,则异面直线14与4。

所成角的余弦值为()

A13V209B5x/2092mD旦

r\•-------------

209209H.209

【答案】D

【详解】设该正四棱台的高为力，上底面与下底面的中心分别为a,。，连接。a,由题知

|(4+V4^16+16)//=28，得〃=3.由正四棱台的性质知。Q，平面Z8CO,

以。为坐标原点，过点。分别与4R48平行的直线为x轴，J，轴，。。1所在直线为Z轴建立空间直角坐标

系如图所示,

则4(2,-2,0),4(1,-1,3),B,(1,1,3),C(-2,2,0),

所以怒=(一1,1,3),麻=(一3』,-3),

57209

cos/jj祠-祠配_㈠)x(—3)+lxl+3x(—3)=

209

故异面直线力4与4c所成角的余弦值为得券.

故选：D.

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-----2--------------1---------

2.如图，在长方体ABCD-中，4B=BC=3,BB1=2,DM=-DB,A,N=-J,C,,则异面直线4M和

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可.

【详解】以。为坐标原点，。4",。口所在直线分别为x,3轴建立空间直角坐标系，

则4(3,0,2),M(2,2,0),8(3,3,0),N(2,l,2),

故异面直线4M和BN夹角的余弦值为|雪露=K严-2).(；1,-2,2)|=2

卜幽卜网71+4+4x71+4+49

故选：B.

3.已知直线6的方向向量1=(1,0』)与直线4的方向向量E=(T2,-2)，则直线4和A所成角的余弦值为()

A.-#B」C.#D.近

2222

【答案】C

【分析】根据直线与直线的夹角与两直线的方向向量的夹角关系，结合向量夹角公式求结论.

【详解】设直线4与/2所成的角为。，

因为1=(1,0,1),^=(-1,2,-2),

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所以cose=

所以直线（和12所成角的余弦值为y-.

故选：C.

4.如图，已知在长方体在CQ-44GA中，AAi=2AB=2>AD=3，点E在棱8C上，且阮二衣，则直

线力卢与直线GQ所成角的余弦值为（）

A.-[B.—C.|D.—

3433

【答案】C

【分析】先建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标，进而得到向量彳豆和皿的坐标，再利用向量的夹

用公式求出两向量夹角的余弦值，由于异面直线所成用的范围是（0,中，所以取其绝对值即为异面直线所成

乙

角的余弦值.

【详解】以。为原点，分别以所在直线为xj,z轴建立空间直角坐标系.

已知=2力B=2,AD=3,则48=1,=2.

所以4(3,0,2),G(0,l,2),。(0,0,2).

因为点E在棱〃。上，且赤=2左，BC=AD=3，所以B£=2,EC=1,则E（l」,0）.

所以乖=(1-3,1-0,0-2)=(-2,1,-2),函=(0-0,0-1,2-2)=(0,-1,0).

根据向量的夹角公式cos//〉=a-b

先计算福•函=(-2)x0+1x(-l)+(-2)x0=-l.

I福|=J(_2)2+『+(-2)2=J4+1+4=3.

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|QD；|=V0F+（：：l）2+0r=l.

则c°s密的=器舞=言=一1

因为异面直线所成角的范围是（0,自，所以直线4石与直线GR所成角的余弦值为|cos〈福厅）H-5=1

直线4E与直线所成角的余弦值为1.

=AC=AD=2,且48,AC,4。两两垂直，M,N分别为4C,AD

的中点，则异面直线AM和CN夹角的余弦值为（）

Vio

ArD.如

-4B-T55

【答案】D

【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量丽和函的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计

算异面直线AM和CN夹角的余弦值.

【详解】因为46,AC,力。两两垂直，所以以A为原点，分别以,AC,4。所在直线为x轴,V轴，

z轴建立空间直角坐标系.

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A

已知4A=4c=力乃=2,则40.0.0),8(2,0.0),C(0.2.0),Z)(0.0.2).

因为M为8C的中点，根据中点坐标公式可得/点坐标为MOJO).

又因为N为力。的中点,所以NW。」).

由坐标可得下7=(1-0,1-0,0-0)=。,1,0).

ov=(O-0,0-2,1-0)=(0,-2,1).

先计算^A7-GV=1XO+1X(-2)+OX1=-2.

再计算I万7|=J『+]2+O2=6,|CW|=702+(-2)2+l2=x/5.

-2_-2x/10

所以cos(而，函〉=

拉x石一加一5

但异面直线夹角范围是(0甲，所以异面直线4W和CN夹角的余弦值为巫|=乎.

JJ

故选：D.

6.如图，在三棱锥P-"C中，Y/8C为等边三角形，△/iPC为等腰直角三角形，PA=PC

平面ABC,D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为()

A.2B.在J&D.也

4444

【答案】c

【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得04,OB,OP两两垂直，以。为坐标原点,OA.OB.OP

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的方向分别为x，y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出衣，PD,再由异面直线所成角

的向量公式代入即可得出答案.

【详解】取的中点O,连接。。，OB,因为4=,所以4C_LOP.

又平面E4C_L平面48C,平面4CD平面4?C=4C,OPu平面4C,

所以平面力8C,又4B=BC，所以4C_LO8,

可得。力，OB,。尸两两垂直,所以以。为坐标原点，

OA,OB,而的方向分别为X,y,Z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，不妨设刃=4,则*"o,。），c（-2x/2,o,o）,“衣疝0）,邛）,0,2夜），所以

JC=（-4x/2,0,0）,PD=（x/2,5/6,-25/2）,

又异面直线所成角的取值范围为

所以异面直线"与9所成角的余弦值为当

故选：C.

7.若向量。=（。20）是直线/的方向向量，向量万=（1』」）是平面a的法向量，则直线/与平面a所成角的

余弦值为（）

B-TDT

【答案】D

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【分析】根据直线/与平面a所成角的余弦值等于直线/的方向向量与平面。的法向量夹角的正弦值即可求

解.

【详解】设向量G与向量万的夹角为。，根据两向量夹角余弦值的公式可得：

丽2,G253，

贝Usin0=

直线/与平面。所成角的余弦值等于直线/的方向向量与平面。的法向量夹角的正弦值,

因此直线,与平面。所成角的余弦值为争

故选：D.

8.如图，在正方体/8C。-44GA中，E为48的中点，则直线4E与平面48G所成角的正弦值为)

D•普

【答案】D

【分析】设正方体44G2的棱长为2,以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角

的正弦值即可.

19/29

设正方体的棱长为2,以。为原点，力彳为x轴，0c为V轴，。。为z轴，建立空间直角

坐标系，

4(2,0,2),£(2,1,0),8(2,2,0),G(0,2,2),

所以诟=(0,1,-2),4G=(-2,2.0),祠二(0,2,-2),

设平面44G的法向量为万=",乂z）,

万・4G=o，所以【-22—x+2zy==00

，令x=l所以方=（1』,1）,

弁币=0

设直线4石与平面48G所成角为。，

所以sin"gs万丽=谭=瑞=普，

所以直线4"与平面4"G所成角的正弦值为巫.

15

故选：D.

9.已知向量无〃分别是直线/和平面。的方向向量和法向量，若cos〈风万〉=-；,则/与。所成的角为（）

A.30。B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】根据线面角、方向向量与法向量的夹角的关系求解.

【详解】设/与。所成的角为8，贝I」sin0=|cos〈沆万〉|二；.

因为，所以。=30。.

故选：A.

10.如图所示，正方形48。。，的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.动点M,N分别在正方

形对角线AC和BF上移动，且CM=AN.当MN的长最小时，二面角A-MN-B的平面角的余弦值为（）

工

A

20/29

A-1B

,34C・与D--T

【答案】A

【分析】以8为坐标原点，848EIC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得可阿的

长及最小值，求出平面历乂4与平面MN8的法向量，然后利用向量法求解二面角的平面角的余弦值即可.

【详解】由题意两个边长均为1的正方形/5CO与正方形”M所在的平面互相垂直.

可彳寻AB工BC,AB上BE,BC1BE,

以8为坐标原点，44即1。所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则题1,0,0),8(0,0,0),0,1),E(0,1,0),广(1,1,0),

在xOz平面上，直线4C方程为x+z=l,可设M(/,0/T),

在吟，平面上直线"方程为x-p=0,设CM=BN=a,因此得N0/0),

由0<Q<5/2得0<，v1,

贝I」府=(0/*_1),所以MN=|淑|=+«_1)2=_2,+]=,

当且仅当好:时，MN取得最小值”，此时A/，N分别是/C"的中点，

吗08，吗g,0),而=畤_；),0,-1),丽=(；,；,0),

设平面MNA的一个法向量/；=(x,p,z),

n-MN=-y--z=0

则」_；；，取x=l得;;=(1」,1),

n-MA=-x--z=0

22

设平面的一个法向量是〃=储,必,马),

21/29

p-MN=~y\=0

则取X=1得7=(I,TT)，

丽/=；玉+3必=0

__np1-1-11

所以cos〃,p=词词二百x百=一§，由图可知，二面角力-MN-8的平面角为钝角.

所以二面角A-MN-B的平面角的余弦值为一;.

故选：A

11.已知两平面的法向量分别为〃?=（O，T，O），〃=（0，1』），则两平面的夹角为（）

A.45°B•135。C.45。或135°D.90°

【答案】A

【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面

的夹角.

【详解】因为两平面的法向量分别为而=（0J0）,布=（。，-1，1）.

又丽・历=0x0+lx（—l）+0xl=-l,|,n|=Vo2+l2+O2=1,|H|=7o2+（-l）2+l2=>/2.

所以1cos硒）士|融卜|力卜亭

所以两平面的夹角为45..

故选：A.

12.如图，在正方体ABEF-DCE'F'^,M,N分别为AC,BF的中点，则平面MNA与平面MN8的夹角的

2>/2k2及

U■

3--------------------------------------------------------3

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【答案】B

【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱垂直的两条直线,

将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可；

法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可.

【详解】设正方体棱长为1,以E为坐标原点，山，即，8。所在直线分别为X轴、）•轴、z加建立空间直

I1

角坐标系B-xyz,J1IJAfi-,0,~,J(l,0,0),5(0,0,0).

解法一取MN的中点G,连接BG,AG,

则呜Cl

因为出为等腰三角形,所以力GLWN,BG1MN,故为两平面夹角或其补角.

11

又因为G—介匕Iy11GB=

2"44J

所以，cos@,叫=GAGB

RR-

设平面MNA与平面MNB的夹角为^,

贝［Jcos0=|cos(^GA,G3,=；.

故所求两平面夹角的余弦值为1.

解法二设平面4WN的法向量勺=（x,j，,z）

由于而=,舁口，不+*—

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1I八

——x+—z=0

〃11AM=022

则，即

1I，

4•AN=0—x+—_V=0

22

令1,解得1,z=l,于是〃I=(1,1,1),

同理可求得平面的一个法向量值二(1,一1,一1).

所以8S(晨碍=_-1_1

丽=7^二一5

设平面，”N4与平面MNB的夹角为。,

则cos6=cos

故所求两平面夹角的余弦值为1.

故选：B.

13.已知平面。与平面"的法向量分别为神与0,平面。与平面尸相交，形成四个二面角，约定：在这四

个二面角中不大于90的二面角称为两个平面的夹角,用。表示这两个平面的夹角，且

cos0=|cos^^)|=i^，如图，在棱长为2的正方体力8CQ-48CQ中，点E为棱44的中点/为棱CZ)

的中点，则平面8M与平面BC尸的夹角的余弦值为()

A亚B.@C..逅D.-2

321321

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，写出8.E,产点的坐标，分别求出平面8£尸和平面3c户的法向量，再根

据两个平面的夹角公式直接计算出结果即可.

【详解】以A为坐标原点,48为x轴,仞为I轴,为z轴，可得8(2,0,0),£(0,0,1),产(1,2,0),

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所以方=(2,0,-1),彷=(1,2,7),

_小丽=()2x-z=0

设平面8M的法向量为"(x/,z),则有一，得“…令z=2,

GEF=()[x+2y-z=0

所以万=（l，g，2）,因为平面63的法向量是B=（0,0,l）,所以c°s6

14.已知矩形"CO,48=6,AD=\将/。。沿4C折起至必忙尸的位置若依=石则二面角P—4C—8

平面角的余弦值的大小为（)

A•不B-lD.考

【答案】C

【分析】作4cJ./1C,垂足分别为乙尸，过点E作ME//BE交力B于点M，可得NPEM即为二

面角的平面角，再根据而=_而+而+而，两边平方求出cos（而,必），即可得解.

【详解】解：作PEiCWr/C,垂足分别为乙J过点七作ME//8F交于点"，则ME_L4C,

所以即为二面角尸-4C-B的平面角，

由矩形可得依"二嘤"等

贝IJE4=PC=g，所以£77=1,

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因为而=而+而+而=-乔+丽+而，

所以=涉,+砺,+而2—2而历一2办•而+2方)月

即3=q+l+\-O—2x坐x#co《丽超+C,

所以cos何，丽)=-；,

因为A/E//B",

所以cos/PEM=­L

3

所以二面角P-AC-B平面角的余弦值的大小为一；.

故选：C.

15如图在四棱台体/14C0—44GR中，14_L平面"CO，底面/8CQ为正方形〃4=2x4=244=4,

则该四棱台的体积V=直线。4与平面力4口所成角的正弦值为,

【分析】(1)运用台体体积公式计算即可；

(2)借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可.

【详解】(1)运用台体体积公式计算，展;X2x(4?+2?+4x2)=挤.

JJ

(2)建立如图空间直角坐标系，则4(0,0,0),4(2,0,2),A(0,2,2),。(0,4,0),

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所以西=（0,-2,2）,函=（2,0,2）,西