特训05 二次函数周长与面积问题专练-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）（解析版）

特训05二次函数周长与面积问题专练【特训过关】一、周长问题1．如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．（1）求的面积．（2）若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与交于点M．求线段的最大值．【答案】（1）的面积是6；（2）线段的最大值为．【解析】（1）解：将，代入，得，解得，∴抛物线解析式为，∴，∴．由，可知，，∴，故答案为：的面积是6．（2）设直线的解析式为．将点B、C的坐标代入函数解析式，得，解得，∴直线的解析式为．设，则，∴，∴当时，有最大值，最大值为．故答案为：线段的最大值为.2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为．（1）求抛物线的解析式及B点坐标；（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1），；（2）线段的最大值是4，此时点P的坐标为．【解析】（1）解：把，，代入得：，解得，∴抛物线的表达式为，令，则或4，∴；（2）解：设直线的解析式为，∵，∴，解得，∴直线的解析式为，设，，∵轴，∴，∴，∴当时，，此时，∴线段的最大值是4，此时点P的坐标为．

3．如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点（不与O，B重合），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线解析式；（2）当，求t的值；（3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）d的最大值为．【解析】（1）解：直线中，时，；时，．∴点A的坐标为，点B的坐标为．∵抛物线经过点A，B，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵设点，则点，，∴，，∵，∴，解得：或4（与点B重合，舍去），∴；（3）解：点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接、，如下图所示，∵点、，∴，，由（2）得：，∴，∴面积最大为8，∵，∴，解得，即d的最大值为．

4．如图1，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）如图2，点P，Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴，交于点N．①求直线的解析式；②求的最大值及此时点Q的坐标．【答案】（1），；（2）①；②有最大值4，此时点Q的坐标为．【解析】（1）解：把和代入，得，解得，∴抛物线的解析式为．令，则，解得，，∴点B的坐标为．（2）解：①设直线的解析式为．把，代入上述解析式，得，解得，∴直线的解析式为．②设，则，，，∴，，∴．∵，∴当时，有最大值4，此时，，∴点Q的坐标为．5．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．（1）求b，c，m的值；（2）如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标．【答案】（1），，；（2）当四边形的周长最大时，点D的坐标为．【解析】（1）解：把，代入，得，解得．∴这个抛物线的解析式为：，令，则，解得，，∴，∴；（2）解：∵抛物线的解析式为；∴对称轴为，设，∵轴，∴，∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，∴四边形是矩形，∴四边形的周长∵∴当时，四边形的周长最大，则，∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为．

6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，点B的坐标为，与y轴交于点C，直线经过A、C两点．（1）求抛物线的解析式与顶点坐标；（2）若点D为线段上的一个动点，过点D作轴，交抛物线于点E，过E作轴，交直线于点F，以、为边作矩形，设矩形的周长为l，求当D点在何位置时，周长l有最大值，并求出最大值．【答案】（1），顶点坐标为；（2）l最大值为12，此时．【解析】（1）解：直线经过C点，当时，，∴，将，代入，得，得，∴抛物线的解析式为：；当时，，∴顶点坐标为；（2）解：当时，解得：，，∴，将代入，得：，∴，∴直线为：，∵D在直线上，设，则E点坐标，∴，解得：，∴，∴，，矩形周长；

∴当时，l取最大值为12，此时．7．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标．【答案】（1）；（2），取最大值4．【解析】（1）解：∵，∴，，把，代入得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：解方程可得，，，∴，设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴，∵，当时，即，取最大值4．

8．如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求M点的坐标，并求出这个最大值．【答案】（1），；（2）的最大值是，此时．【解析】（1）解：∵，∴，解得，故抛物线的表达式为：，当时，，∴；（2）解：过Q作轴交于E，∴轴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，设，∴，∴，，∴，∵，∴当时，的最大值是；∴，∴．9．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，．

（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标．【答案】（1）；（2）的最大值为，此时点P的坐标为．【解析】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，又∵当时，，∴点C的坐标为，∴，∵，∴，即点A的坐标为，∵点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式是；（2）解：过点Q作轴于点H，如图所示：

则，∵点B的坐标为，点C的坐标为，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，设点P的坐标为，∵轴，∴，把代入得：，解得：，∴，∴，∴当时，有最大值，且最大值为，∴的最大值为，此时点P的坐标为．10．抛物线交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）已知，点D在第二象限抛物线上，交于点E．若，求点D的坐标．【答案】（1）抛物线的对称轴为：直线；（2）D点的坐标为：或．【解析】（1）解：抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为：直线；（2）解：过点D作轴交于点P，过点B作轴交的延长线于点Q，∴，∴，∴，∵，∴，∵，抛物线的对称轴为：直线，∴，，解得，，，∴，，，把点代入抛物线解析式得，，解得，，∴抛物线解析式为，设的解析式为，∴，解得，，∴直线的解析式为，当时，，∴，∴，，设，则，∵直线经过点P，∴，解得：，，当时，；当时，；∴D点的坐标为：或．11．如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）有最大值是2，；（3）的最大值是．【解析】（1）解：设抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴．把A，B两点坐标代入解析式，得解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：设直线l的解析式为，把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得：，直线l的解析式为；∵轴，设点P的坐标为，则，∴．∵∴当时，有最大值是2，∴，∴的最大值是2，此时的P点坐标是．（3）解：∵，，∴．∵在中，，∴．∵轴，，∴．在中，，．∴，∴．在中，，，∴，∴．当取最大值2时，有最大值，∴的最大值是．二、面积问题12．如图，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积．【答案】（1）抛物线；（2）四边形的面积16．【解析】（1）解：将点代入，得解得∴抛物线解析式为；（2）解∶如图所示，过点P作于T，∵，，，∴，，，，∴，∴．13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C，D为抛物线上的一个动点，连接，，．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点D在直线上方时，求面积的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）面积的最大值4．【解析】（1）对于直线，当时，，解得，∴；当时，，∴，把，代入得：，将代入，得，解得，∴抛物线解析式为；（2）过点D作轴交于点F，设，∴，∴∴面积的最大值是4．14．如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为直线上方抛物线上一点，若，求出点P的坐标．【答案】（1）抛物线；（2）P点坐标为．【解析】（1）解：设抛物线解析式为，即，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：当时，，∴，设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为；∵，∴，∴设直线的解析式为，把代入得，解得，∴直线的解析式为，解方程组得或，∴P点坐标为．15．综合与探究已知抛物线与直线交于，两点，与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式．（2）若N为抛物线顶点，则线段的长为_____．（3）如图，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．连接，，求的面积的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）；（3）有最大值8．【解析】（1）解：将，代入，得：，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴，∴，故答案为；（3）解：设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，∴直线的解析式为；由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为，设，则，∴，∴当时，有最大值8．16．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）抛物线，点D的坐标为；（2）的面积的最大值为8，此时．【解析】（1）解：∵抛物线经过点、，∴，解得∴抛物线的解析式为，∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点，∴，解得，∴把代入，得，∴点D的坐标为，（2）解：如图，过点P作轴，交于点E，则，，∴，∴∴当时，的面积的最大值为8，此时．17．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）四边形面积有最大值为9．【解析】（1）解：如图，过点D作轴于点E，则，．∵，∴，∴，∴．∵点、在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：．（2）解：令，得，∴，令，得或1，∴．设点M坐标为，如图所示，过点M作轴于点F，则，，．∴当时，四边形面积有最大值9．18．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为、，点M是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S．①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围；②求S的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）①，；②的面积有最大值．【解析】（1）解：将、代入抛物线可得，，解得，∴二次函数的关系式；（2）解：①由（1）知二次函数的关系式，∵点M是抛物线的顶点，∴，设直线的解析式为，将、代入得，，解得，∴直线的解析式为，∵过点P作轴于点D，点P的横坐标为n，∴、，∴的面积为，∵、，∴；②由①知，，∴，∵，满足，∴的面积S有最大值．19．如图，抛物线（a，b，c为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线交于点G，求的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）的最大值．【解析】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数）经过点，故将代入，求得；∵，且抛物线的顶点坐标为，故，，即，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）解：∵抛物线的解析式为：，且与x轴交于A，B两点，故令，得，解得：或，∴，，∵，∴，设直线的解析式为：，将，代入解析式，得，解得：，∴直线的解析式为：；设交于点K，，，∴，∵，∴当，即时，有最大值．

20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少．【答案】（1）抛物线；（2），的面积最大为16．【解析】（1）解：在矩形中，，，∴点，∵抛物线经过点B，且与x轴交于点，∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：如图，连接，过点P作轴，交于点F，交于点G，当时，解得，，∴，设直线为，将代入可得，，解得，∴直线为，设，，∴∵，∴函数有最大值，当时，，此时四边形的面积最大为16．21．如图，直线与坐标轴交于B，C两点．抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，，，求的最大值．【答案】（1）抛物线；（2）的最大为．【解析】（1）解：把，，分别代入中，得，，把，代入中，即，解得，∴；（2）连接，解：∵，∴，∴，过点D作轴于点M交于点H，设，则则，∴，∵，抛物线开口向下，∴当，有最大值．

22．如图，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C．

（1）