第四章 三角函数与解三角形（单元测试）解析版-2026年新高考数学一轮复习

第四章三角函数与解三角形（单元测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题H的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若5布。=L，则tana=（）

33

A.IB.2x/2C.3D.5

【答案】B

【解析】因为sina=g，

2V2

所以lana=包竺=—2—=2衣.

cosa1

3

故选：B

2.函数/（x）=sin（2x4）的最小正周期为（）

兀I

A.-B.vC.兀D.1

22

【答案】C

【解析】因/（刀卜点口卜》-1）,则最小正周期为：耳=兀.

故选：C

4

3.在V/6c中，内角4RC的对边分别为a,4c.若。=5,6=6.cosC=三，则V的面积为（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】A

4

（解析】丁cosC=w，0<C<n,

第1页

sinC=>/l-cos2C=-,

5

故选：A.

4.要得到函数y=3sin（x+：）的图象，只需将函数y=3sinx的图象（）

A.向右平移;个单位B.向左平移个胞位

C.向右平移?个单位D.向左平移?个单位

44

【答案】D

/\

【解析】要得到函数V=3sinx+J的图象，只需将函数y=3sinx的图象向左平移二个单位.

4

故选：D.

5.已如A足V/4C的内角，贝卜"足「山片＞变”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】在V/出。中，（）＜/＜兀，

先证充分性：在V48C中，取彳=¥＞?，此时sin4=,＜也，即“力＞；”推不出“sin/＞①”，充分性不

642242

成立；

再让必要性：在V48。中，sinA＞-^-＜A＜—，即“sin/l＞也''推出“＜＞；”，必要性成立；

24424

综上，“力＞3”是“sinH＞立”的必要不充分条件.

42

故选：B.

6.记时钟的时针、分针分别为04、OB（。为两针的旋转中心）.从12点整开始计时，经过小分钟，OAOB

的值第一次达到最小时，那么〃?的值是（）

---360In

A.3（）B.31C.-----D.—

1111

【答案】C

【解析】设刀，砺的夹角为°,I方1=4,1丽卜人，则方•丽丽卜os9=Mcos。，

当cos夕=一1,即夕=兀时，（O/・O8）=-ab,

\/min

第2页

又时针一分钟旋转的角度为尸就,

分针•分钟旋转的角度为!x2兀=匚，

又经过帆分钟，刀，丽夹角第一次达到兀，则或小一肃〃?=兀，

解得〃=答，所以经过浮分钟，况.丽的值第一次达到最小.

故选：C.

已知花，（4,、5

7./?e0,ysina=cos(a-/9)=--,则cos/7的值为()

5633

C.D.

6565

【答案】B

【解析】因为兀，sina=1,所以cosa=-1,

因为兀），所以。一夕€（0,兀），

510

因为cos(a_/7)=_r,所以sin(a-夕)二(,

所以cosp=cos[a-(a-夕)]=cosacos(a-/)+sinasin(a-夕)

3xf.2L4x12=63

5I13)51365

所以cos夕的值为7T.

故选：B.

在中，角的对边为。，。，且则空的最小值为：

8.V/8CA,B,Cb,cos/=-sin8,£1)

CT

A.4及一5B.4及一4C.3D.472-3

【答案】A

【解析】因为cos/l=-sin4,/le((U),4c(0,7t),故8+^=4，

所以0=兀_/_8=兀_8-8_巴='_28,

22

所以sinC=sin(1-28)=cos28=2cos25-l,

2222222

-Hrb+csin5+sinC1-cos5+(2cos5-1)2r

取——--=-----；------=-----------：---------=4cos2B+--——5

a~sin-Acos'Bcos'B

之2,4cos2》—\-—5=4拉-5(*),

Vcos"

第3页

当且仅当4cos28==q,即cos28=E时，等号成立，

cos-B2

又4+B<n,故28+马<兀，解得0<8<乌，

24

所以!vcos^Avl,所以(*)式可取等号，

2

所以空£1=44/4+二一一5的最小值为4&-5.

a'sin-A

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.sin2cos3<0

B.若圆心角为个的扇形的面积为则扇形的弧长为兀

32

C.终边落在直线工+>=0上的角的集合是以|。=±£+履,次eZ}

D.函数y=tan(2x-。的定义域为{x|x/％wZ}

632

【答案】ABD

【解析】对于A,由巴<2<3<兀，得sin2>0,cos3<0,则sin2cos3<0,A正确；

2

对于B,设扇形半径为厂，由圆心角为g的扇形的面积为当，得与，

解得，”3,因此扇形的弧长为兀，B正确；

对于C,终边落在射线y=-x(x20)上的角集合为S|={a|a=-f+2E,〃eZ},

终边落在射线y=-x(xV0)上的角集合为S2={a|a=,+2E,AeZ}={a|a=q+(2%+l)"cZ},

因此终边落在直线x+V=0上的隹的集合是HUS?={。|a=-：+/皿,左€Z},C错误；

对于D,由2x-马工巴+E,AeZ,X^—+—,kGZ,

6232

因此函数卜=tan(2x-今的定义域为{X|XH[+”,kwZ},DTEfft.

632

故选：ABD

/\

10.已知函数〃x)=tan2x+^，则()

A.在定义域内是增函数B./(x)的最小正周期为:

第4页

C.直线X哈是//（工）|图象的一•条对称轴D.倍,0）是/（X）图象的一个对称中心

【答案】BD

【解析】对于A,/（0）=tan^=—>/f^1=tan»错误；

63\3J63

对于B,/（x）=tan（2x+*中0=2,则最小正周期为色=:，1E确；

\6）co2

对于C,函数y=恂11x|的对称轴为x=y,A,GZ,

Ag加々冗vrvhnZnkllIt.〜

令2x+—=—,kGZ,解得x=------,kEZ,

62412

则函数y=l/（x）l图象的对称轴为.r="V入Z,令与一34得4=算2,错误；

412412123

,_兀kit._/—kuit.r

对十D,令2xH—=—.keZ,解何x=------,AreZ,

62412

则函数/（x）图象的对称中心为（:：,O）,〃uZ,

令"-二=坐得及=4,所以（当,。］是/"）图象的一个对称中心，正确•

41212\127

故选：BD

11.己知V月8C的内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,且力2="，则下列说法正确的是（）

/一

A.Be

B.当“最大时，sinC-sin5=sinBcosA

C.若c=2a,则

D.若C=g,贝ijsin4=——-

22

【答案】AD

Anxj-wA3否a、/-/a2+C2-ac2ac-ac1

r【解析】A选项，cosD8=---------=---------->--------=-,

laclac2ac2

当且仅当q=c时，等号成立，

又y=cosx在（0,兀）上单调递减，而8«0㈤，所以840弓，A正确；

B选项，当8=1时，a=c,故V48c为等边三角形，

所以sinC-sin8=0,而sin8cos400,显然不成立，B错误；

C选项，若c=2a,又//=℃,掖〃2=2/,则b=Jia，cosC="丫'-=―=

2ab2y]2a242

第5页

又Ce(O,冗)，又》二8$》在(0,劝上单调递减，故。＜号，C错误；

D选项，若。=三，则。2=/+〃=/+农,，即(可+3=1,

2\c)c

解得g=避二1,由正弦定理得且=更竺=垦1,故5出力=正1,D正确.

c2csinC22

故选：AD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知角夕(0。＜。＜360。)终边上A点坐标为(sin310o,cos310。)，则。=.

【答案】140°

【解析】因为角。(0°＜。＜360。)终边上A点坐标为(sin310o,cos310。)，且sin310°＜0,cos310°＞0.

所以900＜a＜180。，

cos3100cos(360°-50°)cos500

因为tana—-------=-------------=--------

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(90o-40°)_sin40°

--sin(90°-40°)--cos40°

=-tan40°

=tan(180o-40o)=tanl40°,

所以a=140。.

故答案为：140。

13.在V力8c中，a、力、c分别为角A、B、。的对边，若力=60。,a=炳,8=5,则，=.

【答案】2或3

【解析】在V/BC中，由余弦定理可得Q2=62+C2_26CCOS4,

又A=60)a=M,b=5，所以19=25+/—2x5xcx；,

所以C2-5C+6=0，解得C=2或C=3.

经检验，c=2,c=3均符合题意.

故答案为：2或3.

14.如图，在△48。中，4B=4,4C=6,BC=8.取4C边中点。，连接力。，设石为力。中点，连接BE

并延长与△/8C交于点F,则EF的长为.

第6页

A

F

BDC

【答案】a娓

【解析】作EH//FC交BC于前H,

因为点石为力。中点，所以点〃为中点，即

又因为。为4。中点，即80=。。，

RH

又因为HD=HC,所以一=3,即8石=3即，

HC:

在AABC,由余弦定理可得cosNABD="十"。一"="+1-6~=JJ.

2ABxBC2x4x816

在＞30中，BE=^（BA+BD）t

则阿『=I网2+阿1+2成丽卜1（网2+阿（+2网.阿际480）

=-f42+42+2x4x4x吗=—,

4116）2

所以阿卜亚，则些=恪.

232

故答案为：底.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知函数/(x)=sin2x+x/3sinxcosx.

（1）求/W的最小正周期和对称轴方程;

⑵求/（x）在区间一方金上的最大值，并求出此时对应的上的值.

【解析】(1)/(x)=sin2%+石sinxcosx=~一巴^sin2x

笫7页

x/3.,cos2x1.

=—sin2x-------+-=sin

222

令2x=/+kit,kwZ,解得+wZ,

所以/（x）的最小正周期T=〃，对称轴方程为X=+£Z.

7tItc兀

(2)2x——G

6

当2》一色=色，即x=：时，s:n2x--=1,/（x）取得最大值1

623I

所以/（x）在区间-T看上的最大值为g，此时

16.(15分)

已知函数/（幻=然皿5+9）,（4>0,3>0,|同〈九）的部分图象如图所示

⑴求/（X）的解析式：

（2）已知/（y）=-|,«€（0,^）,求cos（a+白）的值.

【解析】（1）由最值可确定/=2,

周期7=2止_(_2)]=兀=>②='=2

36T

-r-J//九、cC冗、〜•/2jt\.2冗亢71

X/(r)=2=>2sin(2--+^=2=>sin(—F^=1=>-F(p=3(P=--,

33332o

所以/")=2sin(2x-[)

6

(2)/(1)=2sin(a-^)=|=>sin(a-^)=p

•••"z717T

.a€(0,—),.・—,y),

.，人2夜

••cos(<z——)=---

.…。叱」依心-也泊」'与壁

12464/32326

17.(15分)

第8页

已知。也。分别为V4BC三个内角己知C的对边,jaV3sin(.4+C)-cos5=l.

⑴求8；

(2)若6=4,丫48。的面积为4道，。为力。边上一点，满足衣=3赤，

①求V/l5c的周长;

②求8。的长.

【解析】(1)由Gsin(/+C)-cos8=l,

可得，V3sinZ?-cos^=1,B]2sinfB-y1-1=0,

则=即8=f.

663

i6

(2)(D因sinB==46，所以ac—16.

由余弦定理：h2-cr+c2-2accosB,

则16=片+c.2-QC，即(O+C)2=64,则”+C=8,

所以a=c=4,即\F8C为等边三角形，

则V/BC的周长为a+b+c=12.

4

②由农=34。，所以4)=],

在△力8。中，由余弦定理得，

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos-=\6+--2x4x-x-=\6x-,

39329

所以3孚.

在锐角V48。中，内角4队。满足2sin(力+C)(2cos2g-1卜J5COS24=0.

⑴求角8；

(2)若力C=2,求V/出C面积的取值范围;

第9页

⑶证明：cos2/+cos2C+2j3cos4cosC+38s28=0.

【解析】（1）因为4+8+。=兀，所以sin（/+C）=sin〃，

所以2sin（彳+C）（2cos2^■-1卜Qcos28=2sin8cos8-床os28=0,

即sin28-VJcos28=0,所以tan28=G，

因为840,外,28€（0,兀），所以28=:即3

\乙）3。

/c、BCABAC.

（2）由止弦定理一；=「；=—^=4,

sinAsinCsinB

所以8C=4sinA,AB=4sinC,

因为3=2,则。=学一力，

66

0<A<—z、

又V/48C为锐角二角形，则<2,即/u,

57T.7T\32）

0A<-----A<—\'

62

所以

S,=—BCABsin8=4sinJsinC=4sin/sin］

△/lORVCC£

2Vo）

=4sinJ—cosA+——sinJ=2sinAcosA+2/3siriA-sin2A3cos24/：

X22/

=2sin^2J-j+6,

因为气），所以2力宁O则2sin（24-翡（&］,

所以V4AC面积的取值范围是（2百,2+百］.

（3）证明：由（1）可知，cos28=1,

2

吸证cos2,4+cos2C+2>/§cos/cosC+3cos25=0，

即证cos2N+cos2c+2\f3cosAcosC+-=0,

2

而cos24+cos2C=cos［（力+C）+（A-C）］+cos［（4+C卜（4-Cj=2cosg+C（）osg-C）

=-2cosi?cos（J-C）=-\/3cos/lcosC->/3sin/IsinC,

即证百（cos/lcosC—sinHsinC）+3=0,

第10页

即证A/3COS（J+C）+—=0,

a

即证-Vicos8+-=0,

2

而cosB=正，显然满足上式，原式得证.

2

19.（17分）

己知函数/（r）=4n（2〃"G）+2L>0加卜耳的图象关于宜税x=g对称，其最小正周期为

2\2762

⑴求/（X）的对称中心；

⑵若函数/（X）在上儿〃wR，加<〃）上恰有8个零点，求〃一机的最小值;

证明：”x）有且只有一个零点且

【解析】（1）因为函数的最小正周期转，所以由题察”7,

所以/（X）=sin（4x+0+1外，又由/（X）图象关于直线x=B对称,

所以4x色+0=次兀+工，keZ,即尹=左兀一工，keZ,所以q=一多，

6266

所以/（x）=sin（4x-e）+；,

A-7T.,