第四章《一次函数》单元培优测试题-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第四章一次函数单元培优测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册

满分：150分时间：120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列函数为一次函数的是：）

A.y=-^B.y=+1C.y=x2+1D.y=y[x

3.已知变量y与x的关系满足下表，则y与x之间的函数表达式是（）

X-2-1012

y43210

A.y=-2xB.y=x+4

C.y=-x+2D.y=2x-2

2.关于正比例函数y=2x的图象，卜.列叙述错误的是（）

A.点（-1,-2）在这个图象上B.函数值y随自变量x的增大而减小

C.图象关于原点对称D.图象经过一、三象限

3.一次函数J=-8x+3的图象经过的象限是（）

A.一、二、三B.二、三、四C.一、二、四D.一、三、四

4.在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（kVO）的图象的大致位置只可能是（）

5.若力（1,。）、B（-2,b）在函数y=-5%+1的图象上，则a、b的关系是（）

A.a=hB.a>bC.a<bD,不能确定

6.一次函数>»=-2x+3上有两点（-2,勿）和（0,卜2），则勿与”的大小（）

A.yi>y2B.yi<y2C.yi=y2D.无法比较

7.在同一条道路上，甲车从力地到4地，乙车从8地到彳地，两车同时出发，甲车先到达目的地，图中

的折线段表示甲，乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系，下列说法不正确的是（）

A.甲乙两车出发2h后相遇B.甲车速度是40<m/h

C.相遇时乙车距离4地120kmD.乙车到4地比甲车到8地迟gh

8.已知关于x的方程mx+3F的解为x=l,则直线y=（2m-l）x-3一定不经过（：

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.直线：y=-6x+8向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度平移后的直线解析式是什么？（）

A.y=—9%+13B.y=-6x4-3C.y=-6x4-25D.y=-9x+3

10.如图，已知直线AB：y二尊%+符分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3,0）,D、E分别为线段

AO和线段AC上一动点，BE交y弱于点H,且AD=CE.当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.使函数y=>有意义的x的取值范围是.

12.两直线弘=”a+1和必=nx+3的图象如图所示，则关于x的一元一次方程（〃?-〃）x=2的解是

13.已知一次函数^=米-2攵+3（%是常数且〃=0）的图象始终经过点（。,3）,则〃的值为.

14.如图，直线1的函数表达式为灯x,点A的坐标为（一2,0）MB1Z于点B,则△48。的面积为.

15.一次函数），=履+力的图象过点力5（1,2）,与x轴交于点C,在平面内找到点人使得以点P,

B,C为顶点的三角形是以8c为腰的等腰直角三角形，则点P的坐标为.

三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分）

16.已知一次函数的图象过点（-2,0）和点（0,4）,求这个一次函数的解析式.

17.已知），是一的正比例函数，并且当*-2时，

⑴求出y与x之间的函数关系式：

（2）求J=7时4的值.

18.如图，直线y=kx-6经过点A：4,0）,直线y=-3x+3与x轴交于点B,且两直线交于点C.

（1）求k的值；

（2）求AABC的面积.

19.某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元;

（1）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若

购进x（x>0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系；

（2）在（1）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购

⑴如图1,直接写出点。的坐标；（用含〃的式子表示）

⑵如图2,当〃<-1时，连接力人过点Q作。。，加于点D，交川5于点£.

①若NP4c=a,求NE的度数（用含覆的式子表示）：

②求点E的坐标（用含〃的式子表示）.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-gx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的

负半轴上，若将4DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在X轴正半轴上的点C处.

（1）求点C和点D的坐标：

（2）y轴上是否存在一点P,使得Sg刖nTsA”。？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，。为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，（

04=10,。。=6..在AB上取一点M,使得△以“沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作点B.

（1）求点.8'的坐标.

（2）求折痕CM所在直线的函数表达式.

（3）在坐标轴上是否存在一点P,使△BCP的面积为12?若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请

说明理由.

25.【模型建立】

(1)如图1，等腰直角△A8C中，^ABC=90°,BC=BA,直线ED经过点8,过点A作AD1ED于点D,过

点C作CE1ED于点E,求证：△CEBW4BDA.

【模型应用】

(2)如图2,已知直线L：y=3x-3与％轴交于点4与y轴交于点B,将直线，I绕点4顺时针旋转45。至直线

已，求直线%的函数表达式；

【思维拓展】

(3)直线y=-2%+4与、轴交于点。，点P是“轴上的动点，平面内有一点O(a,a-2).试探究△CPD能否

成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点。的坐标，若不能，请说明理由.

八歹

~bx

图2备用图

参考答案

第四章一次函数单元培优测试题2025—2026学年北师大版八年级数学上册

满分：150分时间：120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列函数为一次函数的是：B）

11-

x4.y=-B.y=-x+1C.y=x9+1D.y=>Jx

3.已知变量y与x的关系满足下表，则y与x之间的函数表达式是（C）

X-2-1012

y43210

A.y=-2xB.y=x+4

C.y=-x+2I）.y=2x-2

2.关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（B）

A.点（-1,-2）在这个图象上B.函数值y随自变量x的增大而减小

C.图象关于原点对称D.图象经过一、三象限

3.一次函数V=-8x+3的图象经过的象限是（C）

A.一、二、三B.二、三、四C.一、二、四D.一、三、四

4.在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（kVO）的图象的大致位置只可能是（A）

5.若力（l,a）、8（-2,b）在函数y=—;x+1的图象上，贝卜、b的关系是（C）

A.a=bB.a>bC.a<bD.不能确定

6.一次函数》=-2/3上有两点（-2,p）和（0,"），则勿与”的大小（A）

A.yi>y：B.yi<y：C.yi=y：D.无法比较

7.在同一条道路上，甲车从力地到4地，乙车从8地到力地，两车同时出发，甲车先到达目的地，图中

的折线段表示甲，乙两车之间的距离y（km）与行驶时间x（h）的函数关系，下列说法不正确的是（B）

A.甲乙两车出发2h后相遇B.甲车速度是40<m/h

C.相遇时乙车距离4地120kmD.乙车到4地比甲车到8地迟gh

8.已知关于x的方程mx+3=4的解为x=l,则直线尸⑵nT）x-3一定不经过（B）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.直线:y=-6x+8向右平移3人单位长度，再向上平移5个单位长度平移后的直线解析式是什么？（B）

A.y=—9%+13B.y=—6x4-31C.y=—6x+25D.y=-9x+3

10.如图，已知直线AB：y=Wx+宿分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3,0）,D、E分别为线段

AO和线段AC上一动点，BE交y弱于点H,且AD=CE.当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（C）

(0,5)C.(0,4)D.(0,V55)

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11.使函数y=>有意义的x的取值范围是_乂2-3.

12.两直线必=必+1和为=〃x+3的图象如图所示，则关于x的一元一次方程（〃-〃）》=2的解是一^.

13.已知一次函数^=米-2攵+3（%是常数且〃=0）的图象始终经过点（。,3）,则a的值为2

14.如图，直线1的函数表达式为丫=*,点A的坐标为（一2,0）,力81E于点B,则△「如。的面积为1.

15.一次函数卜=匕+6的图象过点力5（1,2）,与x轴交于点C,在平面内找到点尸，使得以点P,

B,C为顶点的三角形是以8c为腰的等腰直角三角形，则点。的坐标为_（3$（-1$（-14淤3）—•

三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分）

16.已知一次函数的图象过点（一2,0）和点（0,4）,求这个一次函数的解析式.

解:设这个一次函数的解析式为y=k%+b

将点（一2,0）和点（0,4）,代入得,

（-2k+b=0

tb=4，

解得:吊=3

3=4

・•・这个一次函数的解析式为y=2x+4.

17.已知y是』的正比例函数，并且当x=2时，y=~\.

⑴求出y与x之间的函数关系式；

⑵求丁二-1时x的值.

答案

（1）设y=kx2,

•.,当i=2时，y=—1,

.-.-l=Jtx22,

解得k=-4,

4

・•.y与z之间的函数关系式为y-1z2；

（2）当y=—1时，-1=—:/,

解得n=土2,

即y=—1时；r的值为土2.

18.如图，直线y=kx-6经过点A：4,0),直线y=-3x+3与x轴交于点B,且两直线交于点C.

(1)求k的值；

(2)求AABC的面积.

答案

(1)•.■直线Ukx-6经过

点a(4,0),

/.6=0,晒=1.5

(2卜.•直线y——3工+3与工

轴交于点根据在

工轴上的点纵坐标y=0,在

威上的点横坐标c=0.

/.3/卜3=0,解得工=1.点B坐标为(1,0%

由于两直线交于点C,所以有

(y=1.5z-6

\y=—3x+3

解得厂=2

\y=-3

.二点C坐标为(2,3).

.・.△4"。面积为：|x\AB\X|-3|4.5.

答：ATIBO的面积为4.5.

19.某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元;

(1)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若

购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元，请你求出歹与x的函数关系；

(2)在(1)的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购

进哪种玩具省钱.

答案

(1)当OVnW20时，y=30z,

当了>20时，y=30x20+30x0.7(z-20)=

21z+180,

/30N,(Ov工<20)

即"=121x4-180,(x>20)?

(2)根据题意，购买1件甲玩具需(21]1180)元，购

买工件乙玩具需27工元，

若211+180V27工，即I>30时，选甲玩具；

若211+18027工，即工30时，甲、乙玩具花

钱一样多；

若211+180>27x,即I<30B寸，选乙玩具；

综上，购买数量为30件时，甲乙玩具花钱一样多；

购买数量在20到30件时，选乙种玩具；购买数量超

过30件时，选甲种玩具.

20.已知两条直线%=2x-4和及=5-%.

⑴在同一坐标系内作出它们的图象；

⑵求出它们的交点力坐标；

⑶求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积.

解：(l)yi=2x-4中，令y=0,则2%-4=0,解得：x=2,令％=0,则=一4,

所以力=2%-4与x轴交于点(2,0),与)，轴交于点(2,-4),

令则解得：令％=则为=

y2=5-x+,y=0,5-％=0,x=5,0,5,

所以以=5-%与x轴交于点(5,0),与y轴交于点(0,5),

图象如图所示：

解得鼠

4(3,2)

(3)S=1x(5-2)x2=3

答：这两条直线与％轴围成的三角形的面积为3个平方单位

21.如图，已知直线、=gx-2与x轴、y轴分别交于点A、B,直线y=gx-2与直线y=ax+b(、b为常

数，且awO)关于x轴对称，直线y=ax+b与y轴交于点C.

(1)求a,b的值；

(2)点P是直线AC上的动点，当AABP的面积为6时，求点P的坐标.

解:(1)令x=0,则y=-2,

•1•B(0,-2),

令y=gx-2=0,解得x=4,

:.A(4,0),

♦.♦直线y=-2与直线y=ax+b关于x轴对称,

.•.由题可得点C(0,2),

把点A(4,0),C(0,2)代入y=ax+b得，

严”；0解得「=/

b=2b=2

(2)直线y=ax+b的解析式为y=-+2,

设点P的横坐标为m,则P(m,—卜2),

由题可得BC=4,0A=4,

・'S&ABC=QBCxOA=8,SABCP=5x4x?n—2m,

①当点P在x轴上方时，

SAABP=SAABC-SABCP=8-2m=6,

•••此时点P(1,\);

②当点P在x轴下方时，

SAABP=SABCP-SAABC=2m-8=6,

.'.m=7,

二此时点P(7,-p；

综上，点P的坐标为a,或a,.

22.如图,在平面直角坐标系中,4(3,4),3(-L0),C(3,0),点P(〃,0)为x轴上一动点，点P与点Q关于直线

4c对称.

⑴如图1,直接写出点。的坐标；(用含〃的式子表示)

(2)如图2,当〃<—1时，连接力P,过点Q作。。，力。于点D,交力8于点E.

①若NP4C=a,求/E的度数(用含M的式子表示)；

②求点E的坐标(用含〃的式子表示).

答案

(1)点。(3,0),点P(n,0),

•・•点P与点Q关于直线AC对称.

则由中点公式得，点Q(6n,0)；

⑵①■・•BC=3-(-1)=4=AC,故N4BC=

ABAC=45',

则/APB=£PAC-NBAC=a-450=ZEA

D

则/E=90°Z.EAD=90(a-45°)=135c

—a；

②如图2中，过点£作£4/1_0(^于点连接4Q.

P,Q关于AC对称，

,\AP=AQ./P4C=/QAC=2a,

/.Z.EAQ=Z.DAQ+LEAD=180°-2a+n

45°=135°-a,

­.ZAEQ=135r-a,

QA=QE,

EQ=APt

•:P"EQ,AC上PQ,

ZAPC+ZPAC=90°,Z.APC+乙EQM=

90°,

/.Z.PAC=NEQM,

­.•ZACP=Z.EMQ=90°,

△PC4=AEAfQ(AAS).

.・.PC=EM=3-n,MQ==3,

/.OAf=2—n,

故点E的坐标为(2—43-n)；

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-gx+4与x釉、y轴分别交于点A、点B,点D在y轴的

负半轴上，若将4DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半釉上的点C处.

(1)求点C和点D的坐标;

(2)y轴上是否存在一点P,使得S®AB=；SMCD?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

.-.0B=4,

令V=0得：0=-：％+4,

«5

解得：x=3,

.1.A(3,0).

•••OA=3.

在RtAOAB中，AB=\/0A2+0Bi=5,

vAC=AB=5,

.•.OC=OA+AC=3+5=8,

AC(8,0).

设OD=x，则CD=DB=x+4.

在RSOCD中,DC2=OD2+OC2,即(x+4)2=x2+82,

解得：x=6»

.-.D(0,-6).

故C(8,0),D(0,-6)；

(2)存在，理由如下：

,:S&PAB=QS^OCD，

・,SAPAB=5X]X6X8=12.

点P在y轴上，SAPAB=12,

.-.1BP*0A=12,B[j1x3BP=12,

解得：BP=8,

••.P点的坐标为(0,12)或(0,4).

24.如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，0为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，(

0A=10,0C=6..在AB上取一点M,使得△C8M沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作点B.

⑴点8’的坐标是

(2)求折痕CM所在直线的函数表达式.

(3)在坐标轴上是否存在一点P,使△8CP的面积为12?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

答案

xAf(10,£)代入得：

(1),.长方形O/1BC,

BC=OA

t，解得人=-，，

[8in.26=6

・.•OA=10,IQ=10k+bJ

J

BC=10,

.・.CM所在直线的解析式为y=|x+6；

­.•△CBM沿CM翻折，J

・•.be=BC=10,(3)△RCP的面积为12,

在AtAZTOC中，ffc=10,OC=6,

B'O=y/BfC2-OC2=8,

.・・J"Px612,

・•・P(8,0),

故答案为：(8,0)；DT=4.

⑵设4M=z,RIJBM=AB-AM=6—z・・・9(8,0),

•.・OA=10,=8,.・.P(12,0)或P(4,0).

・•・B'A=2,

•.­△OBM沿CM翻折，

.・.=BAf=6-

在中，ffA1+AM2=3fM2,

224-x2=(6—x)2,解得i=

Af(10,打

J

设。A/所在直线的解析式为g=Ac+瓦将。(0.6)

25.【模型建立】

(1)如图1,等腰直角△ABC中，^ABC=90°,BC=BA,直线ED经过点B,过点力作力D1ED于点D,过

点。作1F0于点/?‘求证：△”?/?竺△/?/)儿

【模型应用】

(2)如图2,已知直线A：y=3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线。绕点4顺时针旋转45。至直线

%，求直线，2的函数表达式；

【思维拓展】

(3)直线y=—2%+4与y轴交于点C,点P是不轴上的动点，平面内有一点D(a,a-2).试探究△CPU能否

成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点。的坐标，若不能，请说明理由.

~OX

备用图

Z.CEB=Z.BDA=90°,

•••N4BC=90。，

A/.ABD+Z.C