二次函数压轴综合（8大考点）原卷版-2022-2024年中考数学试题分类汇编

中考破考/您

二次函数压轴综合(8大考点)(原卷版)

【考点归纳】

二、考点03角度问题-----------------------------------------------------------------------------7

四、考点04特殊三角形问题----------------------------------------------------------------------11

五、考点05特殊四边形问题----------------------------------------------------------------------14

六、考点06相似三角形问题----------------------------------------------------------------------20

07IH)———————————————————————21

考点01线段周长问题

一、考点01线段周长问题

1.(2024・湖南•中考真题)已知二次函数了二一/年你的图像经过点力(-2,5),点P(%i，yD，Q(X2，，2)是此二次

函数的图像上的两个动点.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点8,点P在直线由5的上方,过点尸作PC1X轴于点

C,交48于点。，连接/C,/)0P0.若毛=菁+3,求证如丝■的值为定值；

中考破学/您

(3)如图2,点尸在第二象限，x2=-2xr若点M在直线P0上，且横坐标为玉一1,过点"作皿lx轴于

点M求线段MN长度的最大值.

2.(2024・四川雅安•中考真题)在平面直角坐标系中，二次函数7=0?+及+3的图象与x轴交于力(1,0)，

8(3,0)两点，与y轴交于点C.

图①图②备用图

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图①，若点尸是线段痂C匕的一个动点(不与点以。重合)，过点尸作N轴的平行线交抛物线于点

当线段P。的长度最大时，求点。的坐标；

(3)如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点O,且在y轴上是否存在

点E,使得△3。“为等腰三角形？若存在，直接写出点石的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2024•江苏镇江・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=-2(x—iy+4的

图像与x轴交于/、4两点(点力在点8的左侧)，顶点为C.

(2)一个二次函数的图像经过8、C、/(/,4)三点，其中g彳1该函数图像与x轴交于另一点。，点。在线

段。8上(与点0、笈不重合).

①若D点的坐标为(3,0),则/一,

中考破学/您

②求,的取值范围：

③求的最大值.

4.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=及+c(4W0)的图像

经过原点和点力(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点8(1,3),与歹轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点〃是二次函数图象上的一个动点，当点〃在直线48上方时，过点〃作PK1X轴于点外,与直线交

于点O,设点〃的横坐标为渊.

①加为何值时线段〃。的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点〃，使得与△ZOC相似.若存在，请求出点〃坐标；若不存在，请说明理由.

考点02面积问题

二、考点02面积问题

5.(2023•山西•中考真题)如图，二次函数沪一必I布的图象与X轴的正半轴交于点4,经过点力的直线与

该函数图象交于点8(1,3),与y粕交于点C

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标;

(2)点〃是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点p作直线于点“，与直线交于点。，设

点〃的横坐标为魏

中考教考工题

①当。时，求部的值；

2

②当点尸在直线48上方时，连接0P，过点8作80_Lx轴于点色，8。与。P交于点“，连接/)”.设四边

形/0以)的面积为S,求S关于微的函数表达式，并求出S的最大值.

6.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，已知二次函数y=o?+2x+c•的图象与X轴交于A，B两点.A点

坐标为(-1,0)，与歹轴交于点。(0,3)，点例为抛物线顶点，点也'为中点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在直.线8。上方的抛物线上存在点。，使得/=2/48。，求点g的坐标；

(3)已知/),/,,为抛物线上不与A，8重合的相异两点.

①若点〃与点。重合，D(m-\2\且加＞1，求证：D，E，〃三点共线；

②若直线AD,即交于点P,则无论。，”在抛物线上如何运动，只要。，E，”三点共线，“MP，

△MHP，△力/炉中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中而枳为定值的三角形及其面积，不必说明理

由.

7.(2024・山东济宁・中考真题)已知二次函数y二加+加的图像经过(0「3),(-制)两点，其中a,b,c

为常数,且而＞0.

备用图

中考破学/您

(I)求4,C的值；

(2)若该二次函数的最小值是T，且它的图像与x轴交于点48(点力在点3的左侧)，与y地交于点

C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点48的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线，垂足为。，与直线曲:交于点

S3

E,连接PC,CB,BE.是否存在点尸，使*^=Q?若存在，求此时点尸的横坐标；若不存在，请说明

理由.

8.(2024•四川遂宁•中考真题)二次函数y=+取+c(o±0)的图象与X轴分别交于点力(一1,0),8(3,0卜

(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△。〃0是以点〃为直角顶点的直角三角形时，求点"的坐标；

(3)设〃的横坐标为加，套的横坐标为题十I，试探究：ZkOP。的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最

小值，若不存在，请说明理由.

9.(2024・海南・中考真题)如图1,抛物线产一•必，近十4经过点力(—4,0)、8(1,0),交》轴于点C(0,4),

(1)求该抛物线的函数表达式,

中考破学/您

(2)当点P的坐标为(-2⑹时，求四边形“的面积：

⑶当NP胡二45。时，求点P的坐标；

(4)过点力、()、。的圆交抛物线于点£、F,如图2.连接力〃、AKEF,判断△力以,'的形状，并说明理

由.

10.(2024•山东东营中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已如抛物线y二i十小十。与1轴交于4(-1,0),

(2)当点/)在直线下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交就e于点“，设点。的横坐标为/,/用的

长为/,请写出/关于/的函数表达式，并写出自变量，的取值范围；

⑶连接交BC于点、“，求杂丝的最大值.

11.(2024•广东广州•中考真题)已知抛物线G:y=@2_6⑪-d+2a2+l(a>0)过点/(芭,2)和点网.,2%

直线/:六加2%+〃过点。(3,1),交线段居于点/)，记△(1/9的周长为C1,△C'/M的周长为值，且

&二年.

(1)求抛物线G的对称轴；

(2)求加的值；

(3)刍线/绕点(；以每秒警的速度M贝时针旋转［秒后(04/<45)得到直线/\当，〃48时，直线，交抛物线G

于少，”两点.

①求/的值；

②设△力/7的面积为S,若对于任意的q>0,均有32%成立，求力的最大值及此时抛物线G的解析式.

12.(2024•四川南充・中考真题)已知抛物线yEf+&+c与％轴交于点/㈠⑼，8。,。).

中考破学/您

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线与歹轴交于点。，点〃为线段OC上一点（不与端点重合），直线同，颁分别交抛物线于

点以/），设△/<〃）面枳为S，ZXP82面枳为鼠，求杷的值；

（3）如图2,点*•是抛物线对称轴与1轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M，

鬻，过抛物线顶点G作直线/〃x轴，点Q是直线/上一动点.求。M+0N的最小值.

13.（2024•四川成都•中考真题）如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线/,：y=-20¥-3。（。>0）与工

轴交于48两点（点A在点8的左侧），其顶点为C，a是抛物线第四象限上一点.

（2）当微时，若△4C/）的面积与△力肘）的面枳相等，求tan4"/）的值；

⑶延长C7）交x轴于点“，当//）=/）“时.，将4以期沿/%方向平移得到△/〃川・将抛物线/,平移得到抛物

线〃，使得点4,就”都落在抛物线〃上.试判断抛物线〃与/.是否交于某个定点.若是，求出该定点坐标

若不是，请说明理由.

考点03角度问题

三、考点03角度问题

14.（2024•湖北•中考真题）如图I,二次函数歹=-*2+加+3交―轴于4（-L0）和8,交尸轴于C.

中考破学/您

(1)求人的值.

(2)”为函数图象上一点，满足/皿8=4。。，求〃点的横坐标.

(3)如图2,将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为4£与》轴交于点。，记QC=d，记/,顶点横坐标

为〃.

①求次与〃的函数解析式.

②汜/，与x轴围成的图象为“U与V48。重合部分(不计边界)记为循，若d随〃增加而增加，且〃内恰

有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出〃的取值范围.

15.(2023,江苏无锡•中考真题)已知二次函数y=等12+取+@的图像与歹轴交于点A，且经过点伏4,夜)

和点

(1)请直接写出8，c的值；

(2)直线8c交y轴于点。，点芯是二次函数蚱*任十加+力图像上位于直线下方的动点，过点“作直

线48的垂线，垂足为

①求.巡的最大值；

②若AAEF中有一个内角是/48C的两倍，求点“的横坐标.

16.(2024,湖北•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y-Y十版十3与x轴交于点力和点儿与

y轴交于点C.

备用图

中考教考工题

(1)求人的值；

(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，NMAB=4C(),求点M的横坐标；

(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为心心与J，轴交于点M设A的顶点横坐标为〃，NC

的长为d.

①求d关于〃的函数解析式：

②上与X轴围成的区域记为U,U与△48C内部重合的区域(不含边界)记为当d随〃的增大而增大,

且沙内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出〃的取值范围.

17.(2024•四川资阳•中考真题)已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线)/=-1必+及+。与工轴交

于N,4两点，与y轴的正半轴交于。点，旦8(4,0),鼓E-.婚.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是抛物线在第一象限内的一点，连接过点。作P/)lx轴于点。，交8C于点K.记

△PBC，ABOK的面积分别为E，M，求的最大值；

(3)如图2,连接力C，点E为线段/e的中点，过点E作/〃・'1/C交x轴于点凡抛物线上是否存在点0,

使/0/,力=2/。。4?若存在，求出点。的坐标：若不存在，说明理由.

18.(2024•山东烟台・中考真题)如图，抛物线乂二加+/zr+c,与X轴交于A，B两点,与P轴交于点C，

()C=()A,48=4,对称轴为直线］苒二—1将抛物线必绕点。旋转180。后得到新抛物线外，抛物线为与歹

轴交于点。，顶点为“，对称轴为直线小

中考破学/您

⑴分别求抛物线必和居的表达式:

(2)如图1，点〃的坐标为(-6,0),动点〃在直线4上，过点"作"”〃不轴与直线人交于点麴，连接“加，

DN.求/,'A/+"N+/)N的最小值；

(3)如图2,点〃的坐标为(0,2),动点P在抛物线算J.,试探究是否存在点P,使NPNH=2/DH。?若存

在，请直接写出所有符合条件的点『的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2024•重庆・中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y二加+及+4(。/0)经过点与y

tan/CTM=4.

(2)点p是射线C/上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为*,交AC于点D.点M是线段O"

上一动点，〃％_1_»釉，垂足为.然，点”为线段8(；的中点，连接出V,Nk.当线段期长度取得最大值时,

求力历+皿+*'的最小值;

(3)洛该抛物线沿射线C/方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段〃。长度取得最大值时的点Q,且与直

线,瑟相交于另一点遮•点卷为新抛物线上的一个动点，当/0/)K=//C'B时，直接写出所有符合条件的

点。的坐标.

20.(2024•江苏连云港・中考真题)在平面直角坐标系X。中，已知抛物线》=0?十及-1(如人为常数,

中考破学/您

(1)若抛物线与x轴交于力(-1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式：

(2)如图，当力=1时，过点C(-1,0、0(1,〃卜2加)分别作P轴的平行线，交抛物线于点必、N,连接

MN、Ml).求证：M7)平分NCMV：

(3)当球=].,84一2时，过直线》二X-1(14x43)上一点幅作V轴的平行线，交抛物线于点〃.若G〃的最大

值为4求b的值.

21.(2024•重庆・中考真题)如图，在平面.直角坐标系中，抛物线y=⑪2+及-3与X轴交于力(-1,0),8两

(2)点〃是直线8。卜.方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作P/)〃x轴交抛物线于点物，作I生1丑C于点*,

求PQ+05•的最大值及此时点p的坐标；

2

⑶洛抛物线沿射线方向平移,5个单位，在p/)+@p/取得最大值的条件下，点为点〃平移后的对应

2

点，连接/交y轴于点M，点穿为平移后的抛物线上••点，若NNM卜—NABC=45。，请直接写出所有符

合条件的点算的坐标.

考点04特殊三角形问题

四、考点04特殊三角形问题

中考破考工题

22.(2023•江苏•中考真题)如图，二次函数y=云-4的图像与x轴相交于点/(-2,0)、从其顶点是

(2)。是第三象限抛物线上的一点，连接OQ,tan//(〃)=区将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线

2

经过点。，过点住&)作x轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求4的取值范围；

(3)咯原抛物线平•移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q,且其顶点夕落在原抛物线上，连接

PC、QC、PQ.已知△PC0是直角三角形，求点尸的坐标.

23.(2023•湖南•中考真题)如图，二次函数y=及+c的图象与X轴交于A，8两点,与P轴交于。点,

其中8(1,0),C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得SM“=S八械，若存在，请求出〃点坐标；若不存在，请说明理

由；

(3)点。是对称轴/上一点，且点◎的纵坐标为a,当。是锐角三角形时，求a的取值范围.

24.(2023,四川•中考真题)如图I,在平面直角坐标系中，已知二次函数y二次2+版+4的图象与x轴交于

点4(-2,0),8(4,0),与J轴交于点C.

中考破学/您

(2)已知“为抛物线上一点，”为帼物线对称轴/匕一-点，以B，",“为顶点的三角形是等腰直角三角形,

且硼。二90。,求出点”的坐标；

⑶如图2,〃为第一象限内抛物线上一点，连接/户交y轴于点“，连接8〃并延长交y轴于点承，在点〃

运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2

25.(2024•山东泰安・中考真题)如图，抛物线G：y=ar2+gx-4的图象经过点1),与工轴交于点4

(1)求抛物线G的表达式;

(2)洛抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线G，求抛物线G的表达式，并判断点。

是否在抛物线G上；

(3)在X轴上方的抛物线Cl上，是否存在点，，使△P8。是等腰直角三角形.若存在，请求出点，的坐标：

若不存在，请说明理由.

26.(2024•四川眉山•中考真题)如图，抛物线)=-炉+&+c•与X轴交于点/(-3,0)和点儿与夕轴交于点

C'(O,3),点。在抛物线上.

中考破学/您

(2)当点。在第二象限内，且△/CD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线8。上是否存在点〃，使△0P/)是以更抹为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点〃的坐

标；若不存在，请说明理由.

27.(2024•四川达州•中考真题)如图1,抛物线》=0?+去一3与X轴交于点4(-3,0)和点8(1,0),与y轴交

于点C.点。是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图2,连接力。，DC，直线4C交抛物线的对称轴于点M，若点〃是直线/C上方抛物线上一点，且

SZMC=求点〃的坐标;

(3)若点圈是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点.簿，A,(；为顶点的二角也是等腰二用

形，若存在，请直接写出满足条件的点海的坐标；若不存在，请说明理由.

考点05特殊四边形问题

五、考点05特殊四边形问题

28.(2023•湖南•中考真题)我们约定：若关于x的二次函数乂=4必+力/+4与%+4工+。2同时满足

HW+CMy+H-qkog-ayonwo,则称函数片与函数照互为，美美与共”函数.根据该约定，解

中考破学/您

答下列问题：

⑴若关于X的二次函数乂=2f+h+3与必=加/+X+〃互为“美美与共”函数，求左，小，〃的直；

（2）对于任意非零实数厂,s,点〃（八/）与点虱品川尸胫£）始终在关于x的函数乂=f+2rr+s的图像上运动,

函数必与她互为“美美与共”函数.

①求函数为的图像的对称釉；

②函数%的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数乂=加+笈+c与它的'美美与共”函数性的图像顶点分别

为点、A,点B,函数必的图像与x轴交于不同两点C,D,函数恐的图像与x轴交于不同两点E,F.当（1）=//

时，以j,B,C,。为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理

由.

29.（2024,上海•中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线歹=；，后得到的新抛物线经过彳

和8（5,0）.

OM

（1）求平移后新抛物线的表达式；

（2）刍线X=加（7W>0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点。.

①如果①小于3,求〃?的取值范围;

②汜点。在原抛物线上的对应点为〃，如果四边形P'B/”有一组对边平行，求点尸的坐标.

30.（2024,江苏无锡•中考真题）已知二次函数歹二⑪2+x+c的图象经过点力（一］,一目和点以2,1b

（I）求这个二次函数的表达式；

（2）若点。（附+1,乂），。（加+2,必）都在该二次函数的图象上，试比较.用和居的大小，并说明理由：

中考破考工题

（3）点p,0在直线上，点〃在该二次函数图象上.问在y轴上是否存在点前，使得以〃，。，M，般

为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点卸的坐标；若不存在，请说明理由.

31.（2024•山东济南・中考真题）在平面直角坐标系xQy中，抛物线Q：y二f+及十6经过点力（0,2）1（2,2）,

顶点为/）；抛物线。2）='2-2第X+渥一加+2（加W1）,顶点为以

（1）求抛物线G的表达式及顶点。的坐标：

（2）如图1,连接/。，点〃是抛物线C；对称轴右侧图象上一点，点〃是抛物线&上一点，若匹边形4）/•力

是面积为12的平行四边形，求盛的值；

（3）如图2,连接肘）,/）。，点M是抛物线G对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点、嬲作MN〃DQ

交工轴于点密，连接BN,DN,求△5/）N面积的最小值.

32.（2024・河北•中考真题）如图，抛物线C；：y=©2_2X过点（4,0）,顶点为0.抛物线

。20=」。7）2+匕2-2（其中，为常数，且r»2），顶点为P.

22

中考破学/您

(2)嘉嘉说：无论/为何值，将G的顶点。向左平移2个单位长度后一定落在G上.

淇淇说：无论/为何值，£总经过一个定点.

请选择其中一人的说法进行说理.

(3)当$二4时，

①求直线PQ的解析式；

②作直线/〃P0,当/与r的交点到x轴的距离恰为6时，求i与x轴交点的横坐标.

(4)设G与装的交点4,8的横坐标分别为％且乙＜/•点M在G上，横坐标为加点N

在C2上，横坐标为可孙^为匿。.若点M是到直线P。的距离最大的点，最大距离为4点N到直线尸。的

距离恰好也为力直接用含/和，〃的式子表示〃.

33.(2024,甘肃•中考真题)如图I,抛物线歹=a(x-力丫+4交x轴于O,4(4,0)两点，顶点为

8(2,2百).点C为08的中点.

中考破学/您

⑴求抛物线y一通-拜-谆的表达式；

(2)过点。作垂足为〃，交抛物线于点£.求线段S的长.

(3)点。为线段。区上一动点(O点除外)，在0。右侧作平行四边形0C/切.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点口的坐标；

②如图3,连接3。，BF，求+的最小值.

34.(2024,四川泸州•中考真题)如图，在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线y=及+3经过点

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当一1居方窗和寸，)，的取值范围是04y«2/7,求/的值；

(3)点。是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线48于点。，在》轴上是否存在

点E，使得以&C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长：若不存在，说明理由.

35.(2024•四川广元•中考真题)在平面直角坐标系中，己知抛物线By=-3+6x+c经过点

4(-与y轴交于点8(0,2}

中考破学/您

(2)在直线上方抛物线上有一动点C,连接0。交A8于点。，求而的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线b关于直线丁=-1上一点的对称图象/,”，抛物线F与/,”只有一个公共点E(点E在y轴右侧),

G为直线上一点，〃为抛物线”，对称轴上一点，若以从E,G,〃为顶点的四边形是平行四边形，求G

点坐标.

36.(2024•黑龙江绥化•中考真题)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=+反+c与直线相交于A，a两点,其中点力(3,4),

8(0,1).

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)过点8作BC〃X轴交抛物线于点C，连接ZC，在抛物线上是否存在点P使tan4C〃=ltan4aL若

6

存在，请求出满足条件的所有点尸的坐标：若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)

⑶洛该抛物线向左平移2个单位长度得到乂70)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点都

点少为原抛物线对称轴上的一点，”是平面直角坐标系内的一点，当以点8、/)、卜:、”为顶点的四边形

是菱形时，请直接写出点尸的坐标.

考点06相似三角形问题

六、考点06相似三角形问题

37.(2024•内蒙古包头•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2，+加+，与X轴相交于

(2)如图1,若。是歹轴正半轴上一点，连接当点C的坐标为0,1时，求证：4cM=NBAM；

(3)如图2,连接ZM/,将△////沿工轴折叠，折叠后点破落在第四象限的点A/'处，过点〃的直线与线段4A/'

相交于点O,与，轴负半轴相交于点当.二号时，3s八/初与2初是否相等？请说明理由.

DE7

38.(2024・四川巴中・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线)二加+岳:+3("0)经过4(-1,0),8(3,0)

且在直线彩C的上方.

(2)如图1,过点P作/轴，交直线弱C于点若PE=2ED，求点P的坐标.

(3)如图2,连接4。、PC、AP，也承与BC交于点、G，过点〃作"‘〃〃'交8。于点记"CG、△/((■

△PG/；的面积分别为』、£、当券+券取得最大值时，求sin4CP的值.

>2>1

考点07交点问题

中考破学/您

七、考点07交点问题

39.（2024,辽宁•中考真题）己知乂是自变量X的函数，当巴=孙时，称函数度为函数必的“升累函数在

平面直角坐标系中，对于函数X图象上任意•点/（/»,〃）,称点8（闭,加〃）为点A”关于乂的升幕点”，点外在

函数乂的“升用函数”：翘的图象上.例如:函数禺=为,当必=矶=%办=2/时,则函数H=2必是函数

弘二2%附升事函数”.在平面直角坐标系中，函数必=2x的图象上任意一点/（见2m），点外加,2加为点A

3

（2）如图1,点A在函数乂=一（工>0）的图象上，点A”关于必的升美点”5在点A上方，当/B=2时，求点A

x

的坐标；

（3）点A在函数期二的图象上，点A”关于乂的升累点”为点8,设点A的横坐标为梅.

①若点B与点A重合，求敏的值；

②若点8在点A的上方，过点8作％轴的平行线，与函数M的'升累函数'了2的图象相交于点C，以48，BC

为邻边构造矩形/8C7），设矩形18c7）的周长为八求夕关于躁的函数表达式；

③在②的条件下，当直线了二专与函数歹的图象的交点有3个时，从左到右依次记为“，G，当直线

与函数歹的图象的交点有2个时，从左到右依次记为〃，姆,若EF=MN，请直接写出，2一6的值.

40.（2024,山东•中考真题）在平面直角坐标系XQF中，点P（Z-3）在二次函数歹二"2+取一3（。>0）的图像

上，记该二次函数图像的对称轴为直线1=加.

（I）求趟的值；

（2）若点0（见-4）在丁二公2+反—3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函

数的图像.当0<x<4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和:

中考破学/您

⑶设7=/+反-3的图像与x轴交点为（小0）,（x2,O）（x,＜x2）.若4＜z-玉＜6,求a的取值范围.

41.（2024・湖南长沙•中考真题）已知四个不同的点4（玉,乂），8（%,%），°（巧，必），。（乙，居）都在关于x的

函数+c（a，b,c是常数，4/0）的图象上.

（1）当44两点的坐标分别为（-L7Q,（3,4）时，求代数式2024a+1012b+5的值；

（2）当43两点的坐标满足"+2（乂+必）。+4乂月=0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并

说明理由；

⑶当。〉0时，该函数图象与x轴交于，F两点,且4B,C,。四点的坐标满足：

2

2a+2（yx+y2）a+yf=°»2"-2（必+乂）。+*+y：=0.请问是否存在实数加（加＞1）,使得力8,CD,

加•//这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为肘04？若存在，求出”的值和此

时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：加表示一条长度等于村的〃?倍的线段）.

42.（2024•四川•中考真题）【定义与性质】

如图，记二次函数y=Q（X-8）2+c和y=-a（x-〃了+q（q/0）的图象分别为抛物线。和弓.

定义：若抛物线G的顶点0（亿夕）在抛物线。上，则称G是。的伴随抛物线.

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线：

②若C；是。的伴随抛物线，则。也是G的伴随抛物线，即C的顶点P（b,c）在G上.

【理解与运用】

（1）若二次函数y=—1（x-2）2+加和y=-〃丫+1的图象都是抛物线y二!犬的伴随抛物线，则施之

2222

,n-.

【思考与探究】

（2）设函数旷=/一2去+必+5的图象为抛物线。2.

①若函数y=-f+^+e的图象为抛物线白夕且C；始终是匾的伴随抛物线，求"，e的值；

②若抛物线G与x轴有两个不同的交点（外,0），（%,0）（玉＜£），请直接写出怎的取值范围.

中考破学/您

备用图

43.(2024•四川凉山•中考真题)如图，抛物线^=-/+反+,与直线¥=等+釉1交于/(-2,0),8(3,加)两点,

与工轴相交于另一点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点〃是直线48上方抛物线上的一个动点(不与48重合)，过点〃作直线尸Olx轴于点。，交直线48

于点"，当P"=2A7)时，求〃点坐标；

(3)抛物线上是否存在点〃使的面积等于V48c面积的一半？若存在，请直接写出点"的坐标；若

不存在，请说明理由.

44.(2024•云南•中考真题)已知抛物线p=一+版-1的对称轴是直线黑右之.设冽是抛物线y=/+反_］与％

隽

轴交点的横坐标，记”=比二史.

109

(1)求人的值：

(2)比较股与曲的大小.

2.

45.(2023,湖南•中考真题)已知二次函数7二帆2+加+4。＞0).

(1)若建二L心口―L且该二次函数的图像过点(2,0),求人的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系。孙中，该二次函数的图像与X轴交于点/(玉⑼，8伍,0),且不＜0＜%，

点D在O。上且在第二象限内，点后在X轴正半轴上，连接。E,且线段OE交y轴正半轴于点〃，

中考破学/您

3

NDOF=/DEO,()F=-DF.

2

②当点“在线段上，且BE=l.OO的半径长为线段3的长度的2倍，若4讹=-/-人求为+力的

值.

46.（2023•云南•中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，

具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式,

也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑同题，充分利用代数、几何各自的优势，数

形互化，共同解决问题.

同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数

y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数。为常数）的图象为图象7:

（1）求证：无论。取什么实数，图象7'与x轴总有公共点；

（2）是否存在整数a,使图象r与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明埋

由.

47.（2024,黑龙江大庆•模拟预测）抛物线＞=加+及+c与X轴交于力（-1,0）,8（3,0）两点，交N轴于点C

(0,-3).

中考破学/您

(1)求抛物线7=4»；2+方X+C的解析式；

(2)如图，点〃在线段8C上，过点〃作〃0〃4C交抛物线于点Q，连接〃4彳01。，记△/“。与aPB。的

面积分别为鸟,$2,设S=，+$2,求S的最大值及此时点〃的坐标；

(3)洛线段8。先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y=：(or2+以+c)

的图象只有•个交点，其中/为常数，请直接写出/的取值范围.

48.(2024•湖北武汉•中考真题)抛物线y=交x轴于A,8两点(A在8的右边)，交，轴于点

22

(1)直接写出点A，B，。的坐标；

(2)如图(1),连接及已番匕过第三象限的抛物线上的点〃作直线P0〃/。，交y轴于点爵.若8。平分

线段P0,求点〃的坐标；

(3)如图(2),点/)与原点O关于点。对称，过原点的直线封交抛物线于”两点(点〃在X轴下方)，

线段。“交抛物线于另一点G，连接点渥.若/〃G/•'二90。，求直线的解析式.

考点08定值定点问题

八、考点08定值定点问题

49.(2023•湖南•中考真题)如图，己知抛物线^二加-2以+3与x轴交于点4(-1,0)和点8,与y轴交于点

中考破学/您

C,连接/仃，过8、C两点作直线.

(2)洛直线皿向下平移加(m>0)个单位长度，交抛物线于抑、C”两点.在直线8'。'上方的抛物线上是否存

在定点。，无论，〃取何值时，都是点。