二次函数与幂函数（2大考点+9大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）原卷版

2.5二次函数与幕函数

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、幕函数........................................................................3

二、二次函数......................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................6

题型一：幕函数的图象与性质........................................................6

题型二：二次函数的解析式..........................................................7

题型三：二次函数的图象............................................................7

题型四：一元二次方程根的分布问题.................................................9

题型五：二次函数的单调性与最值...................................................10

题型六：二次函数双重最值问题.....................................................11

题型七：二次函数含参数的最值问题.................................................11

题型八：利用幕函数的性质解不等式与比较大小......................................12

题型九：活用事函数各类性质.......................................................13

04好题赏析（一题多解）..........................................................15

05数学思想方法...................................................................16

①数形结合.......................................................................16

②转化与化归.....................................................................16

③分类讨论.......................................................................17

06课时精练（真题、模拟题）......................................................18

基础过关篇........................................................................18

能力拓展篇........................................................................18

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01课标要求

I、通过具体实例，了解幕函数及其图象的变化规律.

2、掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.

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02落实主干知识

一、海函数

1、定义：函数y=/做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

2、常见的五种暴函数的图象

3、幕函数的性质

①所有的幕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）

②a>0时，暴函数的图象通过原点，并且在［0,+。）上是增函数

特别地，当a〉l时，幕函数变化快，图象下凹：当0<a<l时，基函数变化慢，图象上凸

③。<0时，基出数的图象在（0,+8）上是减函数.在笫一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方

无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④在经过点（1,1）平行于y轴的直线的右侧，图像从下往上寤指数由小到大分布

⑤幕指数的分母为偶数时，图象只在一象限

哥指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y轴对称

哥指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称

m1

幕函数y=x"y=xn.meN,,且〃.〃？互质）可分别化为：），=,,再研究函数性质.

yF

二、二次函数

1、二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：/（x）=ax2+hx+c（a/0）；

（2）顶点式：/支）=〃*-〃。2+〃（々/0）：其中,（％/?）为抛物线顶点坐标，x=机为对称轴方程.

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（3）零点式：/（X）=4（X-X1）（X-X2）（4±0），其中，内,工2是抛物线与X轴交点的横坐标・

2、二次函数的图像和性质

函数y=ox?+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

图象（抛物线）/

1力1

定义域R

/

4ac-b2,14ac-b2

值域

L4a)%4。

b

对称轴x=-----

2a

'h4ac-b2y

顶点坐标I2/4aJ

奇偶性当〃=0时是偶函数，当〃时是非奇非偶函数

，b1b

在1上单调递减：在上单调递增；

8、9、8'2a

单调性

-h,）上单调递增

在一丁，+力在M+c上单调递减

2a_2a

常用二级结论

1、二次方程根的分布

①两根与女的大小比较（以。>0为例）

分布情况两根都小于左,两根都大于A,一根小于左,一根大于

k,BPxt<k<x2

即X）<k,x2<k即Xi>k,x?>k

大致图像

0IV3InBuiJ

得出的结论A>0A>0/W<o

-Lk<-2>k

la2a

/(^)>oJ3>0

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②两根分别在区间（/%〃）外

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03探究核心题型

题型一：幕函数的图象与性质

【例1】(2025・湖北•模拟预测)已知暴函数/口)=(2由+〃?卜时2,则下列结论正确的是()

A./(x)为奇函数B.7(x)在其定义域上单调递减

C.+D./(〃1)</(-2)

【解题总结】

(1)对于兼函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=l,y=l,y=x所

分区域.据■据a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

(2)在比较根值的大小时，必须结合基值的特点，选择适当的函数，借助其单遇性进行比较.

【变式1・1】(2025・湖南•一模)已知暴函数/3=(〃/+2川-2)/2在(0,+8)上单调递增，则〃?的值为

()

A.1B.-3C.-4D.1或・3

【变式1・2］已知函数/(4)=(济-〃Ll)---是嘉函数，且为奇函数，则实数阳=()

A.2或-1B.-1

C.4D.2

【变式1・3】若幕函数了=》，丁=产与歹=x”在第一象限内的图象如图所示，则机与“的取值情况为()

A.-I<wi<0</?<lB.-1</?<0<W<—

2

C.-l<z//<0<//<—D.-1<Z7<0<zzz<1

2

【变式1・4】(2025•江西•一模)若直线y=«0</<l)与暴函数y=d,y=&,»=：的图象从左到右依次

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交于不同的三点A,B,C,则»C|=()

A.\-rC.1.KD.扬"

t

题型二：二次函数的解析式

【例2】(2025•陕西・模拟预测)设函数/(.*)的定义域为R,且/'(r十1)二一/卜十1),/(4十2)=/(r+2),

当时，/(x)=2x2+br+c,/(3)-/(2)=6,则b+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

【解题总结】

求二次函数解析式的三个策咯

(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.

(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，直选用顶点式.

(3)已知图象与X轴的两交点的坐标，宜选用零点式.

【变式2-1】图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数/(x)的解析式为()

A./(x)=-3.r2+6xB./(.r)=-2x2+4x

C./(x)=3?-6xD./(x)=2f-4x

【变式2-2］已知二次函数/(x)满足〃2)=-lJ(l—x)=/(x),且/(x)的最大值是8,则此二次函数的解

析式为/(x)=()

A.-4x2+4x+7B.4/+4x+7

C.-4X2-4X+7D.-4X2+4X-7

【变式2・3］若函数y=〃i+2过定点P,以P为顶点且过原点的二次函数/(x)的解析式为()

A./(x)=-3x2+6xB./(X)=-2X2+4X

C./(x)=3d6xD./(x)=2/4x

题型三：二次函数的图象

【例3】如图是二次函数)，=〃.，+几+c图象的一部分，图象过点力(-3,0),对称轴为直线x=-l.下面四个

结论中正确的是()

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B.2a—b=\

C.a—b+c=OD.5a<b

【解题总结】

数形结合

【变式3-1】二次函数y=/（x）的图象如图所示，那么此函数为（）

C.J-1（4-x2）D.歹争一丁）

【变式3・2】（2025•陕西汉中•三模）在特定条件卜二篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向

下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦械即为“盖帽”，而防

守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升

阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下

述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为篮框中心点为。，他可以选择让篮球在运行途中经过

A,8,C,。四个点中的某一点并命中。，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是

）

4■

3

A>豆.....

2P

O\24x

A.0f力―。B.PTBTQC.PTCTQD.PTDTQ

【变式3-3】已知函数y=ad+6x+c,如果且a+6+c=0,则它的图象可能是（）

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题型四：一元二次方程根的分布问题

【例4】若关于X的一元二次方程+2("+l)x-〃7=0分别满足下列条件时，求〃?的取值范围.

(1)两根都大于0;

(2)一根大于-1,另一根小于-1；

(3)一根在(1,2)内，另一根在(-1,0)内；

(4)一根在内，另一根不在(-1,1)内；

(5)一根小于1,另一根大于2：

(6)两根都在区间卜1,3)内；

(7)在(1,2)内有解.

【解题总结】

解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从鼠下三个方面

建立关于系数的不等式(组)进行求解.

(1)判别式/的符号.

(2)对称轴x=--与所给区间的位置关系.

2a

(3)区间端点处函数值的符号.

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【变式4・1】已知4、6、ceR,关于X不等式ad+云+c<2x的解集为(1,3).

⑴若方程办2+6+。=()一根小于T,另一根大于T,求a的取值范围；

⑵在(1)条件在证明以下三个方程：产+4纱_痴/+3=0，x2+(a-l)x+a2=O,x?+2ar-2”=0中至少

有一个方程有实数解.

【变式4-2]关于x的方程/+(q-2)X+5-。=0有两根，其中一根小于2,另一根大于3,则实数。的取

值范围是()

A.{〃|〃<一5或”一4}B.{45<"-4}

C.{。[。<-5}D.{a\a>-4}

【变式4・3】已知关于》的方程/-2X+〃L1=0两个实数根一个小于0,另一个大于0,则实数制的取值

范围是()

A.(-<»,2)B.

C.(1,+8)D.(1,2)

【变式4-4]若关于x的方程〃田2_必+4=0恰有一根在[-草]上，则〃，的取值范围是().

A.m<-2B.m>-2C.-2</??<16D.或机=16

题型五；二次函数的单调性与最值

【例5】已知二次函数/。)=-2寸+(6-l)x+加+3的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为()

A.(-<»,!]B.(-co,-l]C.[1,+<»)D.[-!,+<»)

【解题总结】

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型.

解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置.关系进行分类讨论.

..[x2+(4a-3)x-f-3a,x>0

【变式5・1】已知函数/工=〈1/"(。>0且"I)在R上单调递增，则。的取值范围

logfl(l-x),x<0

是()

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【变式5・2】（2025•贵州黔南三模）设函数/（x）=2/-x|x+4,当x＞4时，/（x）＜0,则。的取值范围

为（）

A.[-4,2]B.[—2,1]C.D.[-2,4]

【变式5・3]若函数/（力=工卜-训在区间[2,5]上的最小值、最大值分别为0,/（5）,则实数。的取值范

围为（）

A.[1,272]B.[2,572-5]C.12,2万|D.[1,5夜-51

题型六：二次函数双重最值问题

【例6】（2025・高三•上海•期中）己知函数/（x）=,-词,xw[0J,其中常数aeR,若/（x）的最大值记为

g（4）,则gS）的最小值为一,

【解题总结】

解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.

【变式6・1】已知函数/（"=卜2+4+2N，当xw[-2,2]时，记函数/（X）的最大值为“（。），则加（。）的最

小值为

【变式6・2】己知函数/（幻二,+&1+〃|在区间[0,4]上的最大值为M，当实数°,6变化时，M最小值

为•

【变式6・3】（2025•高三・浙江宁波•开学考试）已知”?£我,加＜〃，函数/（x）=max（x+/）2（xcH）（其

中嗯2表示对于xeR，当/日也可时表达式（x+/）2的最大值），则/（X）的最小值为—.

【变式6~4]当工€[-11]时，函数/。）=卜2+小卜+4（5/£〃）的最大值记为尸（.。，则P（sj）的最小值

为.

题型七：二次函数含参数的最值问题

【例7】已知函数83="-芯+1+”。＞0）在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

⑴求〃，6的值；

（2）若存在x«3,4],使g（x）＜2mL的+7对任意的fe[0,5]都成立,求实数m的取值范围.

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【解题总结】

根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值

进行分析

【变式7-1】已知函数/(幻=/+3-2人是否存在实数%使得式7在区间［7,1］上的最小值为2?若存

在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

【变式7-2】已知函数在区间［〃?，〃］上的最小值是3〃?，最大值是3”，求〃?，〃的值.

【变式7・3】已知函数〃x)=--2ov-3.

⑴已知/(x)在［3,钟)上单调递增，求。的取值范围;

⑵求“X)在［-1,2］上的最大值.

【变式74］已知函数/。)=/_20.3.

(1)已知fM在［3,+oo)上单调递增，求。的取值范围;

(2)求/⑸在卜1,2］上的最小值.

题型八：利用幕函数的性质解不等式与比较大小

【例8】(2025•辽宁•模拟预测)已知函数/(x)=(〃Ll)xf为寻函数，若。=k)g030.4,b=k)g©4,则()

A.f(ab)<f(a+b)<f(\)B.f(a+b)<f(ab)<f(\)

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C./⑴v/（a+b）v/（ab）D.f（a+b）<f（\）<f（ab）

【解题总结】

在比较辕值大小时，需根据某值的具体形式（如底数、指数的正负及取值范围）选择合适的函数工具,

并利用其单调性进行系统分析。

【变式8・1】（2025•黑龙江齐齐哈尔•三模）已知点（叽9）在呆函数/（力=（〃-2）/的图象上，设

“=/（喘）'方=»2）,c=/（3&）,则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【变式8・2】（多选题）若¥-4"<5-〃-5,则下列关系正确的是（）

3nm

A.tn<nB.tj->C.Vw<</nD.3-<y

【变式8・3］若（相+咪<（3-2力，则实数〃，的取值范围是—.

【变式8Y】己知函数/（x）=/（xw（-l,0）U（0,l））.若不等式/"）>国成立，则在

212

a£一2，一L—,的条件下，a可以取的值为.

【变式8-5］已知基函数/（x）过点（9,3）,若/（2〃-1）</（3-24），则实数。的取值范围是.

题型九：活用幕函数各类性质

【例9】（多选题）下列说法正确的是（）

A.若寻函数的图象经过点（，,2）,则解析式为…一3

B.寻函数尸d（a>0）始终经过点（0,0）和（1,1）

C.当0<］<1时，函数y=xT的图象始终在函数y=xl的图象下方

D.若函数/（x）=4,则对于任意的和々«0,+8）有“"；/（"―号L）

【解题总结】

事函数的性质

①所有的辕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都过点（1,1）

②a>0时，幕函数的图象通过原点，并且在［（）,+/）上是增函数

特别地，当a〉l时，转函数变化央，图象下凹：当0<a<l时，曷函数变化慢，图象上凸

③a<0时，基函数的图象在（0,+8）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方

无限地逼近V轴正半轴，当x趋于+8时，图象在工轴上方无限地逼近x轴正半轴.

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【变式9・1](多选题)已知累函数/")的图象经过点则()

A.函数/(4)为奇函数B./(4)=1

O

C.函数/(力的值域为RD.当与>演>。时，/叫

【变式9・2](多选题)当0<"6<1时，下列不等式中不正确的是()

A.(]_〃)/>>(]_〃)〃B.(1+0)">(1+61

b.

C(j-D.—广

【变式9-3](多选题)已知函数J，=/(x)与y=g(x)的图象如图所示，则()

A.歹二/(x)g(x)为奇函数B.V=/(x)g(x)在(O,*c)上单调递增

C.y=/(g(4))在(T,0)上单调递减D.歹=/(x)g(x)的值域为R

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041好题赏析（一题多解）

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1.已知函数/*)=/+妙+3,若Txw[l,2],恒有/(X)刑，则实数。的取值范围为()

A.[-2,+Q0)B.[-273,+x)C.[2行,+8)D.(2,+8)

2.方程/+(2k-l)x+公=0的两根均大于1的充要条件是.

①数形结合

1.设方程2、+x+3=()和方程3^+》+3=0的根分别为，国，设函数/("=('+〃)('+夕)，则()

A，/(2)=/(0)</(3)B./(0)=/(3)>/(2)

C./⑶</(2)=/(0)D./(0)</(3)</(2)

2.已知方程/+(阳-2)x+5-加=0的两根都大于2,则实数〃，的取值范围是()

A.卜〃卜5<〃？•一4或〃?阴}B.{/H|-5<m•-4}

C,{w|-5<m<-4}D.卜〃|一5<“<一4或m>4}

3.已知方程x2+(6-2)x+5-加=0的两根都大于2,则实数m的取值范围是()

A.{〃“一5v•一4或切用}B.{w|-5<w•-4}

C.{w|-5<m<-4}r).{/〃|一5<〃？<-4或加>4}

②转化与化归

4.若对任意。£(0,+8),都至少存在三个互不相等的整数X,使得。+，7V-2x+m,则用的取值范围

a

是()

A.(-1,2]B.[-1,2)C.(—8,2]D.(-«),2)

5.若关于x的方程--办+4=0有两相异实根毛，/，且则实数。的取值范围是()

A.(-co,-4)U(4,+00)B.(0,5)

C.(4,5)D.(4,8)

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6.已知暴函数/(幻的图象经过点(二注)，P(M，M),0(x,J,)(O＜天＜x,)是函数图象上的任意两点，给出

84

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以下结论：

&xif(xl)>x2f(x2)；

@xif(xi)<x2f(x2)；

③33.

七飞

④43

其中正确结论的序号是()

A.①②B.①③C.②④D.②③

③分类讨论

7.己知幕函数/(》)=(〃/—3〃?+3卜m是R上的偶函数，且函数g(x)=/(x)-2or在区间[1,3]上单调递减,

则实数〃的取值范围是()

A.[3,-K0)B.(fl]

C.(-8,1)D.(-oo,l]u[3,+x)

8.已知二次函数)，=(火一1小一,7).甲同学：y>0的解集为(-oo,a)u(},+8)；乙同学：y<0的解集为

(ro,a)u《,+8),丙同学：》=(冰-1)(4-。)的对称轴在y轴右侧.在这三个同学的论述中，只有一个

假命题，则实数。的取值范围为()

A.a<-\B.-1<a<0C.0<a*1D.a>1

2sin—x,0・x•I

9.已知定义在火上的函数y=/'(x)是偶函数，当xH)时，/(x)=2,若关于x的方程

-+-,x>l

\\2)2

+af(x)+b=O(chbeR)t有且仅有6个不同实数根，则实数”的取值范围是()

/.(*1)B.

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[06口课时精练（真题,模拟即）I

基础过关篇

1.（2025・重庆•三模）已知函数仆）=卜F-21+a，x>°在R上单调递减，则〃的取值范围是（）

e,x<0

A.[0,+8）B.[0,1]

C.S,（）JD.[0,1）

2.设集合力=卜£凶4%<2026</},则集合A的非空真子集的个数为（）

A.25OO-1B.25O°-2C.2499D.2499-l

3.（2025•天津•二模）已知函数y