高考数学一轮复习（新高考版）双曲线

§8.6双曲线

【考试要求】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程2掌握双曲线的几何性质（范围、对

称性、顶点、渐近线、离心率）.3.了解双曲线的简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点R,B的距离的差的绝对值等于非零常数（小于尸耐力的点的轨迹叫做双

曲线.这两个定点叫做双曲线的焦电，两焦点间的距离叫做双曲线的焦垣.

2.双曲线的标准方程和简单儿何性质

y2

\-*=13>0，/»0)

标准方程夕一方=13>0，b>0)

图形

隹八占J、、、A(—gO),&(c,0)&(0,一。)，&(0,

焦距叽&|=2c

范围xW-a或yGR)W—4或)，2a,x£R

对称性对称轴：坐标轴:对称中心：原点

顶点4(—4,0),，2(〃0)4(0,—a),4(0，a)

性质

实轴：线段&&，长：丝；虚轴：线段囱&，长：2b,实半

轴

轴长：a,虚半轴长：b

产令=x

渐近线y4

离心率e=~^(l,+0°)

a,b,c的关系c2=672+Z?2(c>a>0,c>b>0)

【常用结论】

1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2.若P是双曲线右支上一点，Fl，&分别为双曲线的左、右焦点，则|PQ|min=a+c,|P「2|min

=c-a.

3.同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为岑.

4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，人，B分别为双曲线的左、右焦点，则

SC其中，为NQPB.

2

5.与双曲线$一$=13>0,">0）有共同渐近线的方程可表示为a一方=«//（））.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴平面内到点Q（0,4）,F2（0,一4）的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（X）

32

（2）方程今一表示焦点在x轴上的双曲线.（X）

产2位2YV

（3）双曲线命一手=1（加>0,〃>0）的渐近线方程是而±^=0.（V）

（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于6.（V）

【教材改编题】

1.已知曲线。的方程为击+£=1伏ER）,若曲线C是焦点在），轴上的双曲线，则实数

K\1D/C

女的取值范围是（）

A.—I<k<5B.k>5

C.k<~\D.k^~\或5

答案C

解析若曲线c是焦点在），轴上的双曲线，

Z+1V0,

则解得k<—I.

5—Q0,

2.双曲线2产一/=1的渐近线方程是（）

A.y=±^xB.y=±2x

C.D.y=±\[2x

答案C

解析依题意知，双曲线¥一『=1的焦点在），轴上，实半轴长。=鲜，虚半轴长/>=1,

4

所以双曲线2），2-?=1的渐近线方程是），=串.

3.设P是双曲线京一崇1上一点，Fi，B分别是双曲线的左、右焦点，若|尸臼=9,则上外|

答案17

解析根据双曲线的定义得IIPBI—|PBII=8,

因为|Pri|=9,

所以|P”2|=1或17.

又I尸/司2。一。=2,故|PF¥=17.

■探究核心题型

题型一双曲线的定义及应用

例1(1)(2022•洛阳模拟)在平面直角坐标系中,已知△A3C的顶点A(—3,0),8(3,0),其内切

圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为()

A.U=l(x>2)

:

B.95=1(A>3)

77

C.3+[=l(0<xv2)

7?

D.^-+,J=l(0<,r<3)

答案A

解析如图，设3c与圆的切点分别为。，E,F,

则有|AD|=|A£|=5,|BF1=|BE|=1,\CD\=\CF]t

所以|04|一|。用=5—1=4.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A,B为焦点，实轴长龙4的双曲线的右支(右顶点除外)，

即C=3,4=2,又。2=/+匕2,所以62=5,

所以顶点C的轨迹方程为：一/=1(心>2).

(2)已知Fi,后为双曲线C.x2一炉=2的左、右隹点，点尸在。上，NRPB=60。，则△FiPB

的面积为.

答案2小

解析不妨设点P在双曲炭的右支上，

贝力PE|一|P『2|=2a=2吸，

在△RPB中，由余弦定理，得

“|PR」+IPBF一尸十2|2!

cos/FiDPRB_2IPF1IIPF2I

所以|MO|=R。尸1=4.

题型二双曲线的标准方程

2，

例2（1）（2021.北京）双曲线C：也一方比＞0）过点（隹小），且离心率为2,则该双

曲线的标准方程为（）

2

Vx2

A.A2-J=1B.y->^=1

C./_年=]n巾f21

D.31

答案A

解析由°=。=2,

22

得c=2a,h=y1c—a=y[3at

则双曲线的方程为$一刍=1,

将点枢小）的坐标代入双曲线的方程可得解得。=1,故b=小,因此双

曲线的标准方程为F-m=1.

（2）（2023・连云港模拟）在平面直角坐标系中，已知双曲线，一]=1（»0,，》0）的右焦点为广，

点A在双曲线的渐近线上，△04”是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为（）

，2

入4121B1241

时一广|

答案D

解析由方程，一a=1,

得双曲线的渐近线方程为），=备，

不妨设A在直线），=%上，

由△OA〃是边长为2的等边三角形，

可得。=2,直线y=~x的倾斜角为60°,

哈

b=y[3a〃=小,

联立《t可得

U2+Z>2=C2=4,4=1,

故双曲线的标准方程为1.

思维升华求双曲线的标准方程的方法

（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2〃或2c,从而求出片,h2

⑵待定系数法：”先定型.再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为无一］

=M#0）,再根据条件求I的值.

跟踪训练2⑴已知双曲线宗一卓=1（4＞0,。＞0）的典心率为2,左焦点到渐近线的距肉为人⑶

则双曲线的方程为（

A=E=1IB1

A.412124

,2

DL一上=1

u931

答案A

解析易知双曲线力一卓=1（。＞0,力＞0）的渐近线方程为"=±hx,由C的左焦点（一c,0）到其

渐近线的距离是2小，可辔〃=2小，则。2=12,

由双曲线，一5=1（4＞0,/）＞0）的离心率为2,得6=5=2,又/=/+/,

解得。=2,c=4,

则双曲线的方程为，一：=1•

⑵（2023・廊坊模拟）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然

成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一

部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4,瓶口和底面

的直径都是8,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是（）

A显16-£9—-11

D・*=1

答案D

解析由题意可知该双曲发的焦点在x轴上，实轴长为4,点（4,3）在该双曲线上.

22

设该双曲线的方程为^一方=1（〃>0，b>0）,

3=4,

224=2,

则《43解得

汉一尸，力=小,

故该双曲线的标准方程是4—[=1.

45

题型三双曲线的几何性质

命题点1渐近线

例3（1）（2022•北京）已知双曲线>2+5=1的渐近线方程为>=笔:，则加=.

答案一3

解析方法一依题意得加<（）,双曲线的方程化为标准方程为V此时双曲线的渐

—m

近线的斜率为±~廿==白§,解得用=-3.

yj—m-

萼，解得加=-3

方法二依题意得/〃<0,令），=0,得y=±~jJ=x,则土—

—m7-"iyj-m

⑵（2022・连云港模拟）若双曲线经过点（1,小），其渐近线方程为），=±法，则双曲线的方程是

答案4AT—r=1

2

解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设5F一方V=1（*0,比>0）,则今1

一a=1且《=2,联立解得b=I,则双曲线的方程为4«—）,2=1；

2231〃

②若双曲线的焦点在），轴上，则可设力v一r.=1（〃>0,则于一.=1,且不=2,此时无解，

综上，双曲线的方程为41一炉=1.

方法二由题可设双曲线方程为41一尸=2（2会0）,

•・•双曲线经过点（1,小），

•••7=4X12一（小）2=],

；・双曲线方程为4X2—/=1.

9292

思维升华⑴渐近线的求去：求双曲线，一$=1（〃>0,力>0）的渐近线的方法是令方一方=0,

印得两渐近线方程也若=O（y=44

（2）在双曲线的几何性质中,重点是渐近线方程和离心率,在双曲线V—白=1（。>0,8>0）中，

离心率e与双曲线的渐近线的斜率攵=*,满足关系式点=1+标.

命题点2离心率

例4（1）（2021.全国甲卷）已知Q,乃是双曲线C的两个焦点，P为C上一点、,且NQP?2=

60°,|PFI|=3|PF2|,则。的离心率为（）

A乎B.C币D.53

答案A

解析设1PBi=机，则|PQ|=3加，

在中，

|FiBl=yjrrr+9/rr—2X3mXmXcos60°

=巾，〃，

所以C的离心率注=务肃赛j

币〃iS

=2m=2,

（2）（2022•全国甲卷）记双曲线C：，一m=1（。>0,Q0）的离心率为e,写出满足条件“直线y

=2丫与。无公共点”的e的一个值.

答案2（（1,小］内的任意值均可）

解析双曲线。的渐近线方程为了=4，若直线y=2x与双曲线C无公共点，

则2洛•笔W4,・・・/=3=」+幺5,

又e>l,・・・eE（l,小］,

，填写（1,小］内的任意值均可.

思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量4,6

c的方程或不等式，利用才=/+/和转化为关于8的方程（或不等式），通过解方程（或

不等式）求得离心率的值（或范围）.

跟踪训练3（1）（多选）（2023・聊城模拟）已知双曲线C舌：+占=1（04<1），则下列结论正

确的是（）

A.双曲线C的焦点在x轴上

B.双曲线C的焦距等于叭R

C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于

D.双曲线。的离心率的取值范围为（l,乎）

答案ACD

解析对于A,因为04＜1,所以9-Q0,

92

所以双曲线C：R—7r7=1（0＜上1）表示焦点在％轴上的双曲线，故选项A正确；

9—kI~k

对于B,由A知/=9一%,h2=\-k,所以。2=。2+从=]0-2攵，所以c=110-2&,

所以双曲线。的焦距等于2c^（O〈kl）,故选项B错误；

对于C,设焦点在x轴上的双曲线。的方程为宏一m=1（»0,/»0）,焦点坐标为（土c,O）,贝4渐

近线方程为）=备，即Zu士qy=O,

所以焦点到渐近线的距离气）!

所以双曲线C舌一£=l（（Xkl）的焦点到其渐近线的距离等于市口，故选项C正确；

29

（2）（2022・怀化模拟）已知产是双曲线C，一方=1（»0,/，＞0）的右焦点，过点F的直线；与双

曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,且直线/与双曲线C的左支交于点8,若3|布|=依用,

则双曲线。的渐近线方程为.

答案y=±1x

解析设C的左焦点为Q,连接HB,过Q作F|Q_LF8于点。，如图所示，易知F】Q//OA,

在双曲线C中，易知|以尸仇

又3|金=|A用，

则|OB|=2b,

则。为线段尸8的中点，

所以△尸山尸为等腰三角形，

又尸身=4〃，\FxB\=^b-2a=\FxF\=2c.

即c~^a=2b,

又lr=(r—cr=(c+d)(c—a),

将8=三代入得"£=(c+a)(c—a),

得C+G=4（C—a）,

则c=|«,

又。2=4+序，

44

所以,则渐近线方程为3,=±y.

课时精练

q基础保分练

22

1.（2022・宜昌模拟）双曲%一;=”4>0）的离心率为（）

A啤B.小C.小或哗D.y[2

乙乙

答案B

解析因为2>0,所以当一石=1,所以双曲线焦点在x轴上，所以/=2L〃=42,c2=a2

+〃=6九所以离心率为楙=\^=、^=小.

2.nm<0"是“方程ntx2+=]表示双曲线”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析因为方程g,+〃）2=1表示双曲线，所以〃〃?<0,

又当〃?〃<（）时，方程/沼/+〃）2=I表示双曲线，

因此“〃皿〈0”是“方程〃?『+〃）,2=1表示双曲线”的充要条件.

3.已知双曲线的渐近线方程为），=岑、，实轴长为4,则该双曲线的标准方程为（）

Ar_f=1

入421

Dqd=i或u=i

答案D

解析设双曲线方程为/y-tnK"?#。），

V2^=4,a2=4,

当〃?>0时，2〃?=4,，〃=2；

当〃?<0时，一加=4,阳=—4.

故所求双曲线的标准方程为3—¥=1或9一[=1-

4.（2022・南通模拟）方程f+（cos〃））2=l,。£（0,兀）表示的曲线不可能为（）

A.两条直线B.圆

C.椭圆D.双曲线

答案B

解析因为8£（0,冗），所以cos8£（—l,l）,

所以当cos夕£（—1,0）时，方程/+（cos60,，=1表示双曲线；

当cos0=0时，方程;i2+（cos。））2=1表示两条直线x=±l；

当cos（0,1）时，方程A2+（cosf））2=1可化为^+三一=1,

cos0

因为焉>1,所以方程表示焦点在），轴上的椭圆.

2

5.（多选）（2023・唐山模拟）已知Q,F?为双曲线C：^-？=1的两个焦点，P为双曲线。上

任意一点，则（）

A.IPQLIP同=2小

B.双曲线C的渐近线方程为y=Q3

C.双曲线C的离心率为岁

D.而+丽22小

答案CD

解析双曲线C：：―/=1焦点在丁轴上，〃=小，〃=1,c=y[a^-H?=2.

对于A选项，||PFi|一俨匕||=2〃=2小，而P点在哪支上并不确定，故A错误；

对于B选项，焦点在），轴上的双曲线。的渐近饯方程为故B错误：

对于C选项，€=冷泉=手,故C正确;

对于D选项，设P（x,），）（x三R）,则|P0|+段=+（3』+3）=^3+4f2小（当且仅当X

=0时取等号），

因为。为尸尸2的中点，所以|而+而|=|2向|=2|劭|22小，故D正确.

6.（多选）（2023・湖南长郡中学模拟）Fi，B分别为双曲线C：^-^=K«X）.〃:＞0）的左、右焦

点，P是。右支上的一点，PR与C的左支交于点Q.已知而=27，且|PQ|=|PBI，贝i」（）

A.△PQB为直角三角形

B.△PQF?为等边三角形

C.C的渐近线方程为｝，=6同不

D.C的渐近线方程为），=动工

答案BC

解析因为|PQ=|P&|,

所以由双曲线定义知，|PBL|PBI=IQFil=2a,\QF^-\QFi\=2a,

所以@砌=4小

又丽=2函,

所以伊。1=|尸产2|=4〃,

故巳是等边三角形.在△PPF2中,

22

/厂nr|PQ」+|PBF—IF尸2|?366T+I6fl—4c1

由余弦定理得,cosFlPFz-2|尸aII尸Bl487=T

a2~\~b2

则］=■^-=7,

cr

即£=迎

故。的渐近线方程为y=±^6x.

7.（2021.新高考全国H）已知双曲线C：也一方=1（〃＞（），比＞0）的离心率e=2,则该双曲线C

的渐近线方程为.

答案y=±^3x

?2

解析因为双曲线a一/=1（。＞0,方＞0）的离心率为2,

所以e=、yg=平沪=y+7=2,所以「=3,

所以该双曲线的渐近线方程为y=4i=、/ii.

79

8.(2022・晋中模拟)已知双曲线5—3=13>0,沅>0)的左、右焦点分别为R,B，尸在双曲线

的右支上，|PH|=4|PBI，则双曲线离心率的取值范围是.

答案(】，f

|PFI|=4|PF2|,

解析设

由1llPKIT尸产2|=方,

W2

,：\PF^c-a,

a,

即沁c,

J

r5

啊向

・•・双曲线离心率的取值范围是l<eW?

J

2

9.已知双曲线C：。一，=130).

(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线C的左、右焦点分别为Q,B，点P在双曲线。上，若PFJPF2,且△PQB

的面积为9,求〃的值.

解⑴因为双曲线C：X2—1=1(/»0)的渐近线方程为y=±bx,而它的一条渐近线方程为y

=2x,

所以〃=2,

所以双曲线。的标准方程为f-9=L

⑵因为PFiIPF?,

所以s△叫外="人"危|,

因为的面积为9,

所以IPQHP尸21=18,

又因为IIPRLIP尸叫=2。=2,

所以|PRF—2|PFI|・|PF2|+『F2F=4,

所以IPBF+IP尸2『=40,

又因为|尸川2+|尸产2|2=内尸2|2=4落

所以?=10,

由02+/=^2,得I+〃=］（）,

所以b=3.

10.如图，已知双曲线的中心在原点，Fi，Fz为左、右焦点，焦距是实轴长的5倍，双曲线

过点（4,一，T6）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若点M（3,在双曲线上，求证：点M在以月入为直径的圆上；

（3）在（2）的条件下，若点M在第一象限，且直线“反交双曲线于另一点N,求△BMN•的面

积.

⑴解设双曲线的标准方程为a一方=1（。＞0,比＞0）,

双曲线焦距为2c,实轴长为2m

则2c=2也小即。=啦小

:.b1=c2—a1=a2,

・•・双曲线方程为『一），2=优

将（4,一行）代入得，^2=16-10=6,

,2

・•・双曲线的标准方程为蓑弋=1.

（2）证明由（1）知，R（—24，0）,「2（25，0）,

•；M（3,m）在双曲线上,

・・・9一m2=6,即加2=3,

以为直径的圆为/+产=12,

将M(3,代入得9+3=12,

・・.M在以为直径的圆上.

（3）解由（2）知，点M坐标为（3,小）或（3,一®

•・•点M在第一象限，

2y[^-^X~3)=-(2+小)(x-3),

・・・M的坐标为（3,小），直线MB的方程为）一小=

即），=（一2一5）x+（6+4\回），

代入双曲线方程整理可得（6—4J5）/—4\/5（2―J5）y+6=O,

的纵坐标为

••・N的纵坐标为（6—4机）>小二号=一（小+2）,

•••△F1MN的面枳为小+小+2）=25X（2+25）=12+4小.

R综合提升练

11.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭嘴充耳=1有相同的焦距，一条渐近线

方程为x—小y=0,则C的方程为（）

A.y-/=1或y2-y=1

B.f-*=1或）2一手=]

J/3

答案A

99_____

解析在椭圆片+尢=1中，c=710-6=2,

・•・焦距2c=4.

・・・C的一条渐近线方程为l小y=0,

・••设C的方程为牛一9=到工0）,化为标准方程为药一亍=1.

当A>0时，c=W+3%=2,解得2=1,则C的方程为亍一）2=1；

当/kO时，c=yj-A-V=2,解得4=-1,则C的方程为尸一号=1.

综上，。的方程为土尸=1或）2—

T=1.

12.（2022・徐州模拟）已知Fi，B分别是双曲线C：£一/=lQ>0,/?>0,e>坐）的左、右焦

点，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，8两点，若A,B

两点的横坐标之比是小：应，则该双曲线的离心率为（）

A.小C.y[2D.坐

答案C

解析过点A作A"_Lx轴，垂足为F,过点8作BE_Lx轴，垂足为£,如图所示.

设4为，力）,8（X2,”）,则|0用=|0尸2l=c,

由渐近线的方程y=gx可知＞'2=~^2,

在中，京解得必=。（舍负）,

由已知得K1：12=小：、E，即为=孝々，即|4F|2=/一

因为离心率e＞幸

化简得2〃=°2,即

D拓展冲刺练

13.（2022•枣庄摸拟）已如双曲线55=1（叱。，历O）的右顶点为A,右焦点为凡〃为双曲线

在第二象限上的一点，B关于坐标原点0的对称点为C,直线CA与直线BF的交点M恰好

为线段B/的中点，则双曲线的离心率为（）

A.2B.3C.正D.小

答案B

解析如图,设35,，1）,

则C(­/n,一〃)，

易知4aO),F(c,O),

由M为线段RF的中点得联萨，勺,

又M在直线CA上,

故以，融/共线，

又3=（〃+机，〃），病=（"，一,乡，

故3+加）卷=〃.，^—,,

整理得c=3〃，

故离心率6=^=3.

v2

14.（多选）（2022・湖南联考）已知双曲线后：/一），2=1（公>0）的左、右焦点分别为*（—C,O），B（GO）,

过点B作直线与双曲线E