高考物理一轮复习 知识点6：弹力（提高解析版）

知识点6：弹力

考点一：平衡状态弹力的计算

题型一：应用力的合成法计算平衡状态的弹力

【知识思维方法技巧】

（1）物体受2个或3个力时，一般采用合成法.

①若两个力尸|、尸2的夹角为仇如图所示，合力的大小可由余弦定理得到:

尸zsin

尸=］产彳+用+2尸1尸2cos0,tana—0

尸|+尸2cos0°

注意：两大小一定的分力，夹角增大时，合力减小；合力大小一定，央角增大时，两等大

分力增大.

②若两个力尸1、尸2等大，夹角为〃，如田所示，合力的大小F=2F1COST,尸与尸1夬角为名。

F.

H=F,

（2）如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力

大小相等，方向相反。

（3）非共面力的计算方法：根据物体受力的对称性，由力的合成法得出NFcos〃=〃阴0

为接触弹力与竖直方向的夹角，N表示接触面弹力的个数，F表示接触面的弹力。

类型一：应用合成法计算轻绳模型的弹力

【知识思维方法技巧】

轻绳活结模型的特点：当绳绕过光滑的滑轮（杆、钉子或挂钩）时，由于滑轮（杆、仃子

或挂钩）对绳无约束，因此绳上的力是相等的，且平衡时两绳与水平方向的夹角相等；两

段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。

【典例la提高题】如图所示，一根细绳跨过定滑轮连接两个小球A、B,其中球A的质量

为1kgo它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计绳与滑轮间的摩擦，当两球平衡时0A绳

与水平方向的夹角为0=37°,OB绳与水平方向的夹角为a=53。，已知sin37。=0.6,sin53。

=0.8,则球B的质量为（）

【典例la提高题】【答案】B

【解析】分别对A、B两球分析，运用合成法，如图，由几何知识得FTsinFjsin

4

-

53°=mBg,解得球B的质量为RIB3kg,故B正确，A、C、D错误。

【典例la提高题对应练习】如图悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;

绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连.甲、乙两物体质量相等.系

统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为a和9.若a=70。，则口等于（）

【典例la提高题对应练习】【答案】B

【解析】取。点为研究对象，因为甲、乙质量相等，故甲、乙两物体对绳子的拉力大小相

等，其合力在其角平分线上。在三力的作用下。点处于平衡状态，对其受力分析如图所示，

根据几何关系可得/?=55）故选B.

类型二：应用合成法计算轻杆模型的弹力

【知识思维方法技巧】

轻杆弹力既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度。自由杆：可以自由转动。杆受力一定沿杆

方向。固定杆：不能自由转动。不一定沿杆方向，由物体所处状态决定

【典例1b提高题】弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球

运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”.弹跳过程是身体肌肉、骨骼关

节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作.如图所示，人屈膝下蹲时，

膝关节弯曲的角度为仇设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，

且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为

FF

D.

2tanf

【典例1b提高题】【答案】D

【解析】设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为Fi,已知它们之间的夹角为F即

n1F

为它们的合力的大小，作出平行四边形，如图所示，FICOST=TF,即尸I=—%,则脚掌对

2cos/

地面竖直向下的压力FN=F|sinf=

由牛顿第三定律可知D正确.

【典例1b提高题对应练习】如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定

滑轮挂住一个质量为mi的物体，ZACB=30°；图乙所示的轻杆HG一端用较链固定在竖

直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30。角，轻杆的G点用细绳GF拉

住一个质量为nu的物体，重力加速度为g,则下列说法正确的是（）

乙

A.图甲中BC对滑轮的作用力为mlg

R.图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g

C.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1：1

D.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为nn：2m2

【典例化提高题对应练习】【答案】D

【解析】题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力相等，两段绳的拉力都是

互成120。角，则合力的大小是机遭，方向与竖直方向成60。角斜向左下方，故对滑轮的

作用力大小也是,川g,方向与竖直方向成60。角斜向右上方，A选项错误；题图乙中“G杆

LFAC

受到绳的作用力为由血小，B选项错误；题图乙中产EGSM30°=〃1次，得广EG=2m绻，则云一

rECi

=就，C选项错误，D选项正确.

类型三：应用合成法计算轻弹簧模型的弹力

【知识思维方法技巧】

轻弹簧（轻橡皮筋）产生的弹力遵循胡克定律F=kx,轻弹黄（轻橡皮筋）两端及中间各

点的弹力大小相等，轻弹簧既能受拉力，也能受压力（沿弹簧轴线），而橡皮筋只能受拉力作

用。

【典例1c提高题】射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力,如

图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100N,对箭产生的作用力为120N,其

弓弦的拉力如图乙中玛和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角a应为

（cos530=0.6）（）

【典例1c提高题】【答案】D

【解析】弓弦拉力的合成如图所示，由于尸1=尸2,由几何关系得2尸屋。$；尸，有＜:。§4余

2X100N=°6所以5=53°,即〃=106°,故D正确.

【典例化提高题对应练习】一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的

两点上，弹性绳的原长也为80cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为

100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的

伸长始终处于弹性限度内）（）

A.86cmB.92cmC.98cmD.104cm

【典例1c提高题对应练习】【答案】B

'G

乙

【解析】设弹性绳的劲度系数为k.挂钩码后，弹性绳两端点移动前，绳的伸长量AL=1（）0cm

—80cm=20cm,两段绳妁弹力F=kAL,对钩码受力分析，如图甲所示.由题意可知sina

W，cosa=|.根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为G=2kALcosa.将弹性绳的两端缓

慢移至天花板上的同一点时，受力如图乙所示.设弹性绳伸长量为AL\弹力为P=kAL\

钩鸡的重力为G=2kAL\联立解得AL-为L=12cm.弹性绳的总长度变为L0+AL=92

cm,故B正确，A、C、D错误.

类型四：应用合成法计算三维空间接触面模型的弹力

【典例Id提高题】四个半径为r的匀质球在光滑的水平面上堆成锥形，如图所示.下面的

三个球A、B、C用绳缚住，绳与三个球的球心在同一水平面内，D球放在三球上方处于静

止状态.如果四个球的质量均为m,重力加速度为g,则D球对A、B、C三球的压力均为

【典例Id提高题】【答案】D

D

【解析】如图所示，A、B、C、D分别为四个球的球心，G为BD连线与竖直方向间的夹角,

根据几何关系有sin0=坐，则cos0=乎.分析D球受力，得3FcosO=mg,其中F为A、

_______―必……

B、C三球对D球的支持力大小，可得F=Vmg,选项D正确.

【典例Id提高题对应练习】如图所示，水平台面上放置一个带有底座的倒三脚支架，每根

支架与竖直方向均成30。角且任意两支架之间夹角相等。一个质量均匀的光滑球体工艺品放

在三脚架里，光滑球体工艺品质量为m,重力加速度为g,则每根支架受工艺品的压力大小

是（）

B.^mg

C.^mg

【典例Id提高题对应练习】【答案】D

【解析】光滑球体受重力和三个支持力，三个支持力与竖直方向的夹角均为60。，根据平衡

2

条件，有：3Nsin30°=mg,解得：N=zmg,选项D正确。

类型五：应用合成法计算三维空间轻绳模型的弹力

【典例le提高题】如图所示，在卸货场，挂钩连接四根长度均为L的轻绳，四根轻绳的另

一端与一质量为m、直径为L2L的水平圆环相连，连接点将圆环四等分.圆环正缓慢地匀

速上升，已知重力加速度为g,则每根轻绳上的拉力大小为（）

5c7

A.五mgB.适mgC.mmgD.^mg

【典例le提高题】【答案】C

【解析】水平圆环匀速上升，受力平衡，则4根绳子的合力F=mg,则每一根绳在竖直方

向上的分量等于|mg,设绳子与竖直方向的夹角为9,根据几何关系有：sin0=喂=0.6,

cos0=0.8;则Teos0=：mg,解得：1=卷11噜，故选C

【典例k提高题对应练习】在港珠澳大桥建设中，将一根直径22m、高40.5m的钢筒，

打入海底围成人工岛，创造了快速筑岛的世界记录。若钢筒重量为G,用起重机同时由10

条对称分布的、每条长为22m的钢索将其竖直吊起处于静止状态如图，则每根钢索受到的

拉力大小为（）

【典例le提高翘对应练习】【答案】C

【解析】由于钢筒的直径为22m,钢索的长为22m,贬每个两根对称钢索与直径构成等边

三角形，所以每根钢索与竖直方向的失角为30。；设每根钢索受到的拉力大小为F,竖直方

向根据平衡条件可得10Fcos3（r=G,所以F=+U，故C正确，A、B、D错误。

类型六：应用合成法计算三维空间轻杆模型的弹力

【典例If提高题】如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚

架的三根轻质支架等长,与竖直方向均成30°角,则每根支架中承受的压力大小为（）

iMr

12G2百

A.-mgB.-mgC.—m8D・

【典例If提高题】【答案】D

【解析】题中每根支架对照相机的作用力尸沿每根支架向上，这三个力的合力等于照相机

的重力，所以有3Fcos30°=mg,得产个〃江。=W?g，故选项D正确

题型二：应用力的分解法计算平衡状态的弹力

【知识思维方法技巧】

力的分解法计算平衡状态的弹力，有二种分解方法：

（1）力作用效果分解法：根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向，再根据两个实

际分力方向画出平行四边舫，最后由三角形知识求出两分力的大小。

注意：斜面上物体、支架挂物、刀劈物体、千斤顶等问题常常根据被分解的力在作用对象

上产生的效果进行分解。

（2）力的正交分解法：凡合=0,a合=0,适用条件是物体受三个或三个以上的力作用而平

衡。选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合。物体受四个以上的力作用时，一般要采用

正交分解法。

类型一：应用力的分解法计算接触面模型的弹力

【典例2a提高题】生活中经常用刀来劈开物体。如图所示是刀刃的横截面，尸是竖直向下

作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形,刀刃两侧面的夹角为仇刀的重力为Go

则刀劈物体时对物体侧向推力尸N的大小为（）

一+G-+G、尸+GF+G

A,2sin0B,2COS0C\.0D\~~0

2sin22cos$

【典例2a提高题】【答案】C

G+F

【解析】将力F和重力根据平行四边形定则分解，由几何知识得，侧向推力的大小为FN=

G+F

2c+F

―5=------故选项C正确。

sin22sin5

【典例2a提高题对应练习】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质

量为m的小滑块（视为质点）在水平力F的作用下静止于P点，设小滑块所受支持力为FN,

OP与水平方向的夹角为0,重力加速度为犀下列关系式正确的是（）

meme

A.FN=mgtan0B.F=mgtan0C.F=D.F=

NIdllvtallv

【典例2a提高题对应练习】【答案】D

【解析】效果分解法：将重力按产生的效果分解，如图乙所示，尸=。2=焉，产N=GI=^%

iciiiusinu

NCOS

正交分解法：将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，/wg=/*Nsin0tF=F

°，联立解得：尸=债，FN号

类型二：应用力的分解法计算轻绳模型的弹力

【典例2b提高题】将体积相同、质量mA=5w的灯笼A和质量mB=3m的灯笼B用轻质

细绳2连接，灯笼A又用轻质细绳1悬挂在天花板上的。点，两灯笼在相同的水平恒定风

力作用下，处于如图所示的静止状态.其中，轻质细绳1与竖直方向的夹角a=45“，重力

加速度为g，01153。=0.8,8§53。=0.6.下列说法正确的是（）

A.细绳I中的张力大小为5加g

B.细绳2中的张力大小为8、/2妖

C.作用在每一个灯笼上的水平风力的大小为8〃吆

D.细绳2与竖直方向的夹角为53°

【典例2b提高题】【答案】D

【解析】把两个灯笼A、B整体作为研究对象分析受力，受到竖直向下的重力8〃吆、作用在

两个灯笼上水平方向的风力户和沿轻质细绳1方向的张力网作用，由平衡条件可得cos45。

=苛，tan45。=丽，解得Fi=8巾mg,F=8mg,作用在每一个灯笼上水平方向的风力

为9=与=4〃吆，选项A、C错误；隔离灯笼8分析受力，设沿轻质细绳2方向的张力大小

为尸2,轻质细绳2与竖直方向的夹角为从由平衡条件可得costan“=丁;，联

*23mg

立解得:"=53。，F2=5mgf选项B错误，D正确.

【典例2b提高题对应练习】如图所示，用轻绳系住一质量为2m的匀质大球，大球和墙壁

之间放置一质量为in的匀质小球，各接触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹

角为a,两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为口，则。、0应满足()

A.tana=3cot/?B.2tana=3cot/?

C.3tana=tan(a4-/?)D.3tana=2tan(a+/?)

【典例2b提高题对应练习】【答案】C

【解析】以大球和小球为整体受力分析如图甲，有FTCosa=3mg,FTsina=F、i,解得F、i

=3mgtana;再以小球为研究对象，进行受力分析如国乙所示FN2sin(“+/?)=FNi,F」vicos(a

+A)=mg,解得：FNi=mgtan(a4-/?),联立得：3tan(z=tan(a+/?),选项C正确。

类型三：应用力的分解法计算轻杆模型的弹力

【典例2c提高题】(多选)如图⑶所示，将一右端固定有光滑定滑轮的轻杆固定在竖直挡

板上，轻绳ABC跨过光滑的定滑轮悬吊质量为叫=1kg的物块；如图(b)所示，将一轻杆

用转轴固定在竖直挡板上，两段轻绳DE、EF系在杆的右端并悬吊质量为m2=L5kg的物

块。已知两杆均水平,且绳子的倾斜部分与水平方向的夹角均为30。,重力加速度g=10m/s2o

下列说法正确的是()

A.图(a)中AB绳的拉力大小为10N

B.图(b)中DE绳的拉力大小为15N

C.图(a)中轻杆对滑轮的支持力大小为10N

D.图(b)中轻杆对结点的支持力大小为15N

【典例2c提高题】【答案】AC

【解析】对（a）、（b）两图中的B、E点分别进行受力分析，如图甲、乙所示，图甲中轻绳4月C

跨过定滑轮拉住质量为初的物块，物块处于平衡状态，轻绳AB的拉力大小为FAB=FBC

=7川g=10N,A正确；由于图甲中的杆为固定的杆，因此杆对滑轮的作用力不一定沿杆的

方向,因为A5绳与3c绳的夹角为120。，故分析可得轻杆对滑轮的支持力大小为FW=FAB

=FB（=10N,C正确：困乙中由于杆可自由转动，因此杆对结点的作用力方向一定沿杆的

方向，则由平衡条件可知尸in30。=尸林，尸〃庆os30°=尸匕，又尸林=mg,代入数据解得

轻绳OE的拉力为尸川r=30N,轻杆对结点的支持力大小为尸乙=15巾N,B、D错误。

【典例2c提高题对应练习】某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定较链，若在A

较链处作用一垂直于壁的力明则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D,设C与D光滑

接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a=0.5m,b=0.05m,则物体D所受压力的大

小与力F的比值为（）

A.4B.5C.10D.1

【典例2c提高题对应练习】【答案】B

甲乙

【解析】按力户的作用效果沿AC.AB杆方向分解为图甲所示的尸卜尸2,则尸产尸2=五£,

由几何知识得tan0=£=10,再按Fi的作用效果将Fi沿水平向左和竖直向下分解为图乙所

示的尸3、尸4,则用=Bsin/联立得尸4=5尸，即物体D所受压力大小与力产的比值为5,

故选B.

【典例2。提高题对应练习2】如图所示为剪式千斤顶的截面图。四根等长的支持臂用光滑

较链连接，转动手柄，通过水平螺纹轴减小MN间的距离，以抬高重物。保持重物不变，

MP和PN夹角为120。时N点受到螺纹轴的作用力为Fi；MP和PN夹角为60。时N点受到

螺纹轴的作用力为F2。不计支持臂和螺纹轴的重力，则玛与F2大小之比为（）

重物

A.1：1B.1：3C.小：1D.3：1

【典例2c提高题对应练习2］【答案】D

【解析】当两臂间的夹角为120。时，两臂受到的压力为FNI=,=G

对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为FI=2FNICOS30O=小G

当两臂间的夹角为60。时，两臂受到的压力为FN2=^^；=^G

对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为F2=2FN2cos6。。=乎G

则有兴=3：1故A、B、C错误，D正确。

ri

类型四：应用力的分解法计算轻弹簧模型的弹力

【典例2d提高题】（多选）如图所示，在倾角为30。的光滑斜面上，A、8两个质量均为山

的滑块用轻质弹簧相连，弹簧的劲度系数为匕水平力尸作用在滑块〃上，A、8静止，此

时弹簧长度为，，且在弹性限度内，则下列说法正确的是（）

A.弹簧原长为1+翳

4K

B.弹簧原长为/+管

C.力产的大小为

D.力产的大小为平，阳

【典例2d提高题】【答案】AD

【解析】对滑块A,据平衡条件得mgsin3（T=Ax,其中x=A）—/,解得/（＞=/+翳，选项A

2万

正确，B错误；对A、B构成的整体，据平衡条件得Feos30o=2/ngsin30°,解得F=~^~"ig,

选项C错误，D正确。

【典例2d提高题对应练习】如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、b连接，

在水平外力产作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧4、3的劲度系数分

别为心、心，且原长相等。弹簧A、〃与竖直方向的夹角分别为。与45。。设4、B中的拉

力分别为以、尸"。小球直径相比弹簧长度可以忽略。则（）

A.tan0=2B.AA=ABC.EA=小叫D.Fn=2mg

【典例2d提高题对应练习】【答案】A

【解析】对下面的小球进行受力分析，如图甲所示：根据平衡条件得:

F=mgtnn45°=wg,1，、8=v二-Vo[：f0«=/砥；

对两个小球整体受力分析，如图乙所示：根据平衡条件得：tan。=堵又F=mg,

22

解得tan〃=：,FA=y/（2/ng）4-F=y[5mg,由题可知两弹簧的形变量相等，则有：丫=卷=

容解得：评禽=强故A正确，B、C、D错误。

类型五：应用正交分解法计算匀质粗绳的弹力

【知识思维方法技巧】

选取匀质粗绳为研究对象和匀质粗绳的一部分为研究对象，分别应用正交分解法列方程进

行计算。

【典例2e提高题】如图所示，山坡上两相邻高压塔A、B之间架有匀质粗铜线，平衡时铜

线呈弧形下垂，最低点在C,已知弧线8C的长度是AC的3倍，而左塔B处铜线切线与竖

直方向的夹角夕=30。.则右塔A处铜线切线与竖直方向的夹角a为（）

A.30C.60°

【典例2e提高题】【答案】C

【解析】设A、5两端铜堤上的拉力分别为心、尸"，铜线的质量为在水平方向，对铜

线整体由平衡条件得F.4sina=B,sin/?,在竖直方向，对BC段,由平衡条件得F«cos

对AC段，由平衡条件得Reosa=：〃ig,联立解得tana=3tan。，则a=60。，A、B、D错

误，C正确.

【典例2e提高题对应练习】2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有

飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况.若飘带可视为粗

细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变.当飘带稳定

时，飘带实际形态最接近的是（）

【典例2e提高题对应练习】【答案】A

【解析】设飘带的单位长度质量为m（）,单位长度所受风力为Fo,从底端取飘带上任意长度

为x,G=mogx,F=Fox,则重力与风力的的合力与竖直方向的夹角为tan。=巳='》，可

知所选飘带与竖直方向夹角与所选长度无关，二力合力方向恒定，飘带各处张力方向相同，

则飘带为一条倾斜的直线，故选A.

【典例2e提高题对应练习2］如图一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的

两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体。系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向

的夹角为。，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为/?,贝!1（）

钉子钉子/

tanam-\-Mtanam-\rM

tanpm,tanpM

cosaMcosam

•cos。-D.cos。-加+Af

【典例2e提高题对应练习2］【答案】B

【解析】以M为研究对象，2Fiicosa=Mg®

以M和6整体为研究对象，则2Fr2COs//=（m+M）@

以m/2为研究对象，FTISIIIa=FT2Sinfi®

由①②③得：舞=誓，B正确。

题型三：应用力的三角形相似法计算平衡状态的弹力

【知识思维方法技巧】

三角形相似法：一般研究对象受绳（杆）、圆弧或其它物体的约束，且物体受到三个力的作用，

其中的一个力是恒力，另外两个力的方向分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三

力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，确定对应边，利用三角

形相似知识列出比例式求出力。

类型一：应用力的三角形相似法计算接触面模型的弹力

【典例3a提高题】如图所示，两个大小不等的光滑球置于半球状的凹槽内，。为凹槽的球

心，Oi是质量为矶的大球的球心，。2是质量为m2的小球的球心，两球静止时切点正好位

于。点正下方.则下列说法正确的是（）

A.mi>m2B.m\<mz

C.凹槽对大球的弹力等于对小球的弹力D.凹槽对大球的弹力大于对小球的弹力

【典例3a提高题】【答案】B

【解析】对两个球进行受力分析如图所示，设大球半径为R,小球半径为「，则根据力的矢

量三角形和几何三角形相似有器=*=三纭,篝=，=若去，则机吆=，。尸，

由牛顿第三定律可知，FI=F2,又因为心r,所以，川<加2,故A错误，B正确；尸附=笫尸1,

1\

尸N2=乎尸2,因为R>r,00x<00it所以尸NI〈FN2,故c、D错误.

类型二：应用力的三角形相似法计算轻绳模型的弹力

【典例3h提高题】如图所示，竖直放置的光滑圆环O,顶端I）点固定一光滑滑轮（大小忽

略），圆环两侧套着mi、叫两小球，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，已

知两小球连线过圆心O点，且与右侧绳的夹角为。.则mi、m2两小球的质量之比为（）

Timig】

LiR'

miL

nil：T2mig2,故选B.

mzLitan0

TI=T2.

【典例3b提高题对应练习】如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B,A球的质量是B

球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B,一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比

C.1：3D.1：4

【典例3b提高题对应练习】【答案】C

【解析】设绳上拉力为FT,OA长LI,OB长L2,过0点做竖直向下的辅助线交AB于C

点，如图所示，由三角形相似有念=余，悬=关，得自=:，故A、B、D错误，C

正确.

类型三：应用力的三角形相似法计算轻杆模型的弹力

【典例3c提高题】如图所示，AO为不可伸长的轻绳，BO为可绕B点自由转动的轻质细

杆，杆长为L,A、B两点的高度差也为L.在O点悬挂质量为m的重物，杆与绳子的夹角

a1=30。，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

□

A.绳AO对O点的拉力大小为mg

B.绳AO对O点的拉力大小为而mg

C.杆BO对O点的力沿杆由O指向B

D.杆BO对B点的力大小为小mg

【典例3c提高题】【答案】B

【解析】对悬点。受力分析，受重物拉力，30支持力和轻绳AO拉力，处于平衡状态，如

图所示，由平衡条件可知，Fr与网的合力大小等于重物的拉力mg,由相似三角形关系可

得手号=器，绳A0对。点的拉力大小为F1、=^^mg="mg=^mg,A误，B正

确；杆BO对0点的力沿杆由B指向O,C错误；由相似三角形关系有益=翳，可得杆

RC

30对O点的力大小为FN=-75■〃吆=〃琢，杆30对3点的力大小为〃琢，D错误.

类型四：应用力的三角形相似法计算轻弹簧模型的弹力

【典例3d提高翘】（多选）如图所示，将一劲度系数为上的轻弹簧一端固定在内壁光滑的

半球形容器底部。处（O为球心），弹簧另一端与质量为小的小球相连，小球静止于P点。

已知容器半径为K、与水平地面之间的动摩擦因数为〃，0P与水平方向的夹角为夕=30。。

下列说法正确的是（）

A.轻弹簧对小球的作用力大小为当mg

B.容器相对于水平面有向左的运动趋势

C.容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上

D.弹簧原长为A+管

【典例3d提高题】【答案】CD

【解析】对小球受力分析，如图所示，因为。=30。，所以三角形007为等边三角形，由

相似三角形法得FN=F=wg,所以A项错误。由整体法知，容器与地面没有相对运动趋势，

B项错误。小球处于平衡状态，容器和弹簧对小球的作用力的合力与重力平衡，故C项正

确。由胡克定律有尸=，〃g=A（〃一R）,解得弹簧原长〃）=R+竿，D项正确。

题型四：应用力的三角形正弦法计算平衡状态的弹力

【知识思维方法技巧】

力的三角形正弦定理法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力是恒力，另外两个力的

夹角已知。确定对应边与角，利用正弦定理与）列式求出力。

S1I11S1I1乙^乙SillJ

【典例4a提高题】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗

的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为⑸和，小的小

球，当它们处于平衡状态时，质量为/小的小球与。点的连线与水平面的夹角”=60，，则

A.卓B.孚C.乎D.平

JJ//

【典例4a提高题】【答案】A

FN

【解析】由小球小2受力平衡知细线的拉力Fr=m2g.对小球〃力受力分析，知小球如受到的

支持力尸N和细线的拉力FT的合力与小球重力ithg的大小相等，方向相反，故尸N、FT、

如g构成矢量三角形，如图所示・由正弦定理得六=缶，即舟=舟，得鬻

=坐.故选A.OM中拉力先增大后减小，故A、D正确，B、C错误.

考点二：动态平衡弹力变化的分析

【知识思维方法技巧】

（1）动态平衡：通过控制某些物理量，使平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，使物

体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题的

描述中常用“缓慢”等语言叙述。

（2）基本思路：化“动”为“静”，“皤”中求“动”.

确定平衡状态（缓慢），巧选研究对象（整体法或隔离法），进行受力分析，最后选择方法建立

平衡方程（或画三角形矢量图），讨论力的大小变化情况。

（3）分析动出平衡问题的方法：

①图解法：根据已知量的变化情况，画出三角形边、角的变化，使用三角形矢量图解法、

三角形动态圆法确定未知量大小、方向的变化情况

②解析法：对物体对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件利用正交分

解法列方程或者利用相似三角形法、正弦定理法列方程，得出未知量与已知量的函数关系

表达式，最后根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。

题型一：应用图解法分析动态平衡弹力的变化

【知识思维方法技巧】

应用图解法分析动态平衡弹力变化的方法有：

（1）三角形矢量图解法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力是恒力，另一个力的方

向不变，第三个力大小、方向均变化，此时可用图解法，画出不同状态下力的三角形矢量

图，判断各个力的变化情况。

（2）三角形动态圆法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力是恒力，另外两个力的方

向都发生变化，但两力的夹角不变。可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，利用两力夹角

不变，根据不同位置判断各力的大小变化.

类型一：应用三角形矢量图解法分析接触面模型的弹力变化

【典例la提高题】（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱

状物体A,A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B,已知A的圆半径为球B

的半径的3倍，球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态.设墙壁对B的支持力为用,

A对B的支持力为F2,若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则好、F2的变化情

AE减小B.M增大C.F2增大D.Fz减小

【解析】图解法先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图所示的矢量三角形，

在0角减小的过程中，从图中可直观地看出，Fi、F2都减小，故A、D正确.

【典例la提高题对应练习】（多选）如图所示，在倾角为。的斜面上，放一质量为旭的小

球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕0点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

【典例la提高题对应练习】【答案】BC

【解析】对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FNI和档版的弹力FN:,如

图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡

条件得知，FNI和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力

的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FNI逐渐减小，挡板对小球的弹力Fw先减

小后增大，当FNI和FN2垂直时，弹力FNZ最小，故选项B、C正确，A、D错误.

类型二：应用三角形矢量图解法分析轻绳模型的弹力变化

【典例1b提高题】甲、乙两人用绳的和M通过装在P楼和Q楼楼顶的定滑轮，将质量为

m的物块由O点沿Oa直线缓慢地向上提升，如图所示.则在物块由O点沿直线Oa缓慢

上升过程中，以下判断正确的是（）

A.近）绳和M绳中的弹力都逐渐减小

B.。。绳和如绳中的弹力都逐渐增大

C.3绳中的弹力一直在增大，加绳中的弹力先减小后增大

D.3绳中的弹力先减小后增大，M绳中的弹力一直在增大

【典例1b提高题】【答案】C

伊

/小

O

【解析】对结点O进行受力分析，如图所示，根据三力平衡的特点可知绳和即绳中的

弹力的合力与重力是一对平衡力，从图中可以看出：°〃绳中的弹力一直在增大，如绳中的

弹力先减小后增大，即C选项正确.

【典例1b提高题对应练习】如图所示，用与竖直方向成。角（。＜45。）的倾斜轻绳a和水平轻

绳b共同固定一个小球，这时绳b的拉力为T”现保持小球在原位置不动，使绳b在原竖

直平面内逆时针转过。角固定，绳b的拉力变为T2；再转过。角固定，绳b的拉力为T3,

则（）

'//〃/一

3

b

A.绳a的拉力逐渐减小B.TI=T3>T2C.TI=T3<T2D.T,<T2<T3

【典例lb提高题对应练习】【答案】AB

【解析】分析小球在三种情况下的受力，作出力的矢量三角形如图所示，

由平衡条件可知：绳。的拉力尸逐渐减小，选项A项正确；绳力逆时针转过角度〃时与绳

〃垂直，拉力最小，TI=T5>T2,选项R正确，C、D错误c

类型三：应用三角形矢■图解法分析轻杆模型的弹力变化

【典例1c提高题】如图所示，有一质量不计的杆A0,长为R,可绕4自由转动，用轻绳

在。点悬挂一个重力为G的物体，另一根轻绳一端系在。点，。点为圆弧的圆心，另一端

系在圆弧形墙壁上的C点，当该轻绳端点由点C逐渐沿圆弧CB向上移动的过程中（保持

0A与地面夹角。不变），杆A0弹力的大小变化情况是（）

A.逐渐减小B.逐渐增大C.先减小后增大D.先增大后减小

【典例k提高题】【答案】A

【解析】对物体受力分析，物体受力平衡，则竖直绳的拉力等于物体的重力G,故竖直绳

的拉力不变；再对。点分析，。点总受竖直绳的拉力、04的支持力尸及0C绳的拉力而处

于平衡状态，受力分析如图所示，尸和OC绳的拉力的合力与G大小相等，方向相反，则

在OC绳端点上移的过程中，由图可知杆A0弹力逐渐减小，故A正确.

类型四：应用三角形动态圆法分析接触面模型的弹力变化

【典例Id提高题】（多选）如图所示，某工厂将圆柱形工件。放在倾角为。的斜面上，为

防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体bo若逐渐减小斜面倾角，。、b

始终处于静止状态，不计。与接触面的摩擦，力的质量很小.则（

A.斜面对。的弹力变大

B.斜面对。的弹力先变大后变小

C.力对。的弹力逐渐变小

D.办对"的弹力不变

【典例Id提高题】【答案】AC

【解析】对。进行受力分析，如图甲所示根据平衡，斜面对。的弹力户|、力对。弹力B的

合力与。的重力等大反向，则在斜面倾角逐渐减小过程中，斜面对〃的弹力Fi和力对。的

弹力尸2的变化过程如乙图所示分析可得，斜面对。的弹力尸।变大，力对a的弹力尸2逐渐

变小.故选A、C.

类型五：应用三角形动态圆法分析轻绳模型的弹力变化

【典例le提高题】如图所示，半径为R的圆环竖直放置，长度为R的不可伸长的轻细绳

OA、OB,一端固定在圆环上，另一端在圆心O处连接并悬挂一质量为m的重物，初始时

OA绳处于水平状态.把圆环沿地面向右缓慢转动，直到OA绳处于竖直状态，在这个过程

中（）

，，〃，，^^77），，，^^，，〃〃〃〃〃〃万乃）八〃,，〃〃〃

A.OA绳的拉力逐渐增大

B.OA绳的拉力先增大后减小

C.OB绳的拉力先增大后减小

D.OB绳的拉力先减小后增大

【典例卜提高题】【答案】B

【解析】以重物为研究对象，重物受到重力加心0人绳的拉力尸1、05绳的拉力户2三个力

而平衡，构成矢量三角形，置于几何圆中如图：在转动的过程中，绳的拉力人先增大，

转过直径后开始减小，08绳的拉力22开始处于直径上，转动后一直减小，B正确，A、C、

D错误.

【典例卜提高题对应练习】（多选）如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的

夹角。=120。不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90。，则在转动过程中，CA绳的拉力用、

CB绳的拉力F2的大小变化情况是（）

A.Fi先变小后变大

B.Fi先变大后变小

C.F2一直变小

D.Fz最终变为零

【典例le提高题对应练习】【答案】BCD

【解析】如田所示，画出小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，由于这个三角形中重

力不变，另两个力间的夹角（180。一夕）保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，作初

始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上

按入、尸2的方向变化规律滑动，力的矢量三角脑的外接圆正好是以初态时的尸2为直径的圆

周，知网先变大后变小，6一直变小，最终CA沿竖直方向，此时用=机/尸2变为零，

故选B、C、D.

题型二：应用解析法分析动态平衡弹力的变化

【知识思维方法技巧】

应用解析法分析动态平衡弹力变化的方法有：

（1）分解解析法：受力分析后，如果把物体受到的多个力正交分解后，能够找到力的边角

关系，则应选择正文分解解析法，列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式（一般都要

用到三角函数），再根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。

（2）三角形相似解析法：一般研究对象受绳（杆）、圆弧或其它物体的约束，且物体受到三

个力的作用，其中的一个力是恒力，另外两个力的方向都发生变化，但二力分别与绳子、

两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三

角形相似，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式，讨论力的大小变化情况。另外

需要注意的是构建三角形时可能需要画辅助线。

（3）三角形正弦解析法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力是恒力，另外两个力的

方向都发生变化，但两力的夹角不变。作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，

结合正弦定理列式求解，讨论力的大小变化情况。

类型一：应用分解解析法分析接触面模型的弹力变化

【典例2a提高题】如图甲所示，在两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏.该

景观可简化成如图乙所示的模型,右壁竖直,左壁稍微倾斜.设左壁与竖直方向的夹角为（h

由于长期的风化，9将会减小.岩石与山峰间的摩擦很小，可以忽略不计.若岩石质量一定，

〃减小，岩石始终保持静止，下列说法正确的是（）

左计

乙

A.山峰左壁对岩石的作用力将增大

B.山峰右壁对岩石的作用力不变

C.山峰对岩石的作用力减小

D.岩石受到的合力将增大

【典例2a提高题】【答案】A

【解析】对岩石受力分析如图所示：根据平衡条件可知：FNZCOS0=F\\tFsisinO=mgf解

得:尸、1=；^，尸'2=第，随着〃减小，Fz、尸N2都在增大，故A正确，B错误：根据

IdllUMilU

共点力平衡可知，山峰对岩石的作用力始终不变，大小等于岩石的重力，故C错误；由于

岩石处于静止状态，所以岩石受到的合力一直为零，故D错误.

【典例2a提高题对应练习】（多选）明朝谢肇浦的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，

议欲正之，非万缗不可.一游僧见之曰：无烦也，我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜

一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为0,

现在木楔背上加一力F,方向如图所示，木楔两侧产生推力FN,贝!1（）

A.若F一定,8大时FN大

B.若F一定,。小时F、大

C.若。一定,F大时F、大

D.若0一定,F小时F、大

【典例2a提高题对应练习】【答案】BC

【解析】根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力FN,如图所示

2AF

则丁=sin不故FN=-----n,所以当F一定时，8越小，FN越大；当。一定时，F越大，FN

2sin2

越大，故选项B、C正确，A、D错误.

类型二：应用分解解析法分析轻绳活结模型（晾衣绳模型）的弹力变化

【知识思维方法技巧】

如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，尸sin仇=尸0!1仇，故仇

=优