高考数学二轮复习专项突破（全国版文）截面交线问题

微重点12截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、

面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形

面积、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

考点一截面问题

考向1多面体中的截面问题

例1（2022•江苏六校联考汝1图，直四棱柱ABCD-A由6人的底面是边长为2的正方形，

侧棱长为3,E,尸分别是A8,8c的中点，过点。”E,尸的平面记为a,则下列结论正确

的个数是（）

①平面a截直四棱柱ABCD—AIQP所得截面的形状为四边形;

②平面a截直四棱柱ABCD-A^GD］所得截面的形状为五边形;

③平面a截直四棱柱ABCD-A^C^所得截面的面积为亭：

④平面«截直四棱柱ABCD-A^CM所得截面的面枳为岁.

A.OB.I

C.2D.3

答案B

解析如图所示，延长£尸分别与QA,0c的延长线交于点P,Q,连接。声,交A4于点M,

连接"Q,交CG于点M

连接“E,NF,则平面a截直四棱柱人4C7）一4181G所得截面为五边形。iMEFM故①错

误，②正确；

由平行线分线段成比例可得，AP=BF=\,故。p=。。=3,则△OAP为等腰直角三角形，

由相似三角形可知A/W=4»=l,故Ai/W=2,贝"QjM=D|N=2p,ME=EF=FN=®连

接MN,易知MN=2、「,

因此五边形DiMEFN可以分成等边三角形2MN和等腰梯形MEFN,设等腰梯形MEFN的

高为小则力=｛（的2-产不挣=乎,

所以五边形GMHW的面积为2小+挈=亭，故③正确，④错误.

考向2球的截面问题

例2已知在三棱锥S-ABC中，S4J•平面48C,SA=AB=BC=«2,AC=2,点E,尸分别

是线段AB,8c的中点，直线A凡CE相交于点G,则过点G的平面a截三棱锥S—ABC的

外接球球。所得截面面积的取值范围是

「囱红一

合荣L9，2

解析因为A82+BC2=AC2,

故A8_LBC,又因为SA_L平面A8C,

42十2+2_#

故三棱锥的外接球球O的半径R=

S—A8C~一2

取AC的中点。，连接8。，8。必过点G,如图所示,

因为AB=BC=巾,故QG=g8D=；,

因为。。=乎,

故。日（势+@2=得

则过点G的平面截球。所得截面圆的最小半径

过点G的平面截球。所得截面圆的最大半径为球半径R=坐,

故截面面积的最小值为胡，最大值为学.

故截面面积的取值范围是愕，y.

规律方法作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面:

(2)利用相交直线找板面.

跟踪演练1(1)已知长方体ABC。-45GA的高为啦，两个底面均为边长为1的正方形,

过B小作平面a分别交棱A4,CG于E,F,则四边形面积的最小值为.

答案也

解析如图所示，过点/作。交Bd于"，设FH=h.

由题意得BO=2.

易知截面BFDiE为平行四边形,

当h取最小值时四边形3FQ1E的面积最小.

易知h的最小值为直线CG与直线BOi间的距离.

易知当尸为CG的中点时，力取得最小值，

故四边形BFD^E面积的最小值为啦.

(2)(2022・芜湖模拟)已知正三棱柱AAC—A/iG的各棱长均为2,。为棱A4的中点，则过点

。的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为.

2「77fl

答案Ln,T

解析正三棱柱ABC-A山iG的外接球的球心。为上、下底面的外接圆圆心的连线OiQ的

中点，连接4。2,AO,OD,如图所示，设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r

人八2小

7

则R2=/+l='

(1)当过点。的平面过球心时，截得的截面圆最大，截面圆的半径即为球的半径，所以截面圆

的面积最大为兀代=与；

74

(2)当过点。的平面垂直0。时，截面圆的面积最小，0。2=042—AZ)2='—1=?

为球心，小为半径的球面与侧面BCG&的交线长为

答案专

解析如图，设3G的中点为£,

球面与棱85，CG的交点分别为P,Q,

连接。8,。由1,DiP,£>£EP,EQ,

由NB4D=60。，AB=AD,知AAB。为等边三角形，

:・DiB产DB=2,

AAD1B1C1为等边三角形，

则DiE=小且OiE_L平面BCGB”

••・E为球面截侧面所得截面圆的圆心，

设截面圆的半径为r,

则r=7RA口旧=小_3=巾.

又由题意可得£P=EQ=g,

・•・球面与侧面BCGBi的交线为以E为圆心的圆弧PQ.

又£>iP=小，

；・BiP=NDiP2-DiB：=],

同理GQ=1,

・・・P,。分别为8刑,CG的中点,

/.NPEQ=?,

知P。的长为m'小=冬，即交线长为早.

规律方法找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截,千面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

跟踪演练2(1)(2022・泸州模拟)己知三棱锥P-A8C的底面△ABC为斜边长为4的等腰直角

三角形，其顶点P到底面AABC的距离为4,若该三棱维的外接球的半径为仃，则满足上

述条件的顶点P的轨迹长度为()

A.67rB.12兀

C.2小冗D.4小兀

答案D

解析AABC为等腰直角三角形，

・•・△ABC的外接圆半径门=2.

•・•外接球球心到底面AABC的距离为

d\=邓2一自=,13—4=3,

又♦・•顶点P到底面△43C的距离为4,

・•・顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周.

当球心在底面△48C和截面圆之间时，

球心到该截面圆的距离为刈=4-3=1,

•・•截面圆的半径为群一出=713-1=2小,

・\顶点P的轨迹长度为2nm=4小兀；

当球心在底面△ABC和截面圆同一侧时，

球心到该截面圆的距离为由=3+4=7>/(=，15,故不成立.

综上，顶点P的轨迹长度为4小兀

(2)(2022•广安模拟)如图,王方体ABC。-的棱长是2,S是4囱的中点，尸是4G

的中点，点Q在正方形。CG。及其内部运动，若PQ〃平面S8G，则点。的轨迹的长度是

答案小

解析如图所示,

要使PQ〃平面SBG,作PE//CR交GDi于E,

SGU平面SBC\,

PEQ平面SBCi,

则PE〃平面SBG,

因为正方体ABC。-481Goi的棱长是2,

所以DI£=|CIDI=|,

连接尸S,BD,取BO的中点。，连接尸。，

则PSBO为平行四边形，则PO//SB,S8U平面SBC],平面S8G,

则P0〃平面SBG,

又POCPE=P,PO,尸EU平面POE,

所以平面POE〃平面S8G,

设平面POEA平面DCGD尸EF,

33

贝DF=~^DC=y

连接OF,EF,则PEFO为平行四边形，Q的轨迹为线段EF,EF=7（DF-D】Ef+Di＞=

y/l2+22=y[5.

专题强化练

1.（2022•厦门模拟）在棱长为3的正方体中，E为棱B片上靠近办的三等

分点，则平面AE。截正方体ABCD—AIBIG。的截面面积为（）

A.2/B.4VnC.2^22D.4^22

答案C

解析延长AE,AiS交于点凡连接。声交8G于点G,如图，

在正方体A4CO—A用iGQ中，平面AOOMi〃平面BCCB,

•・•平面A/nn平面4。及由=4。|,平面A/nn平面BCCiB\=EG,

：.AD\//GE,又・・,3=3隹GE=®

・•・四边形AEGDi是梯形，且为平面AED\载正方体A股》一4出]CQ的截面.

又•••Z）IG=AE=，T5,在等腰梯形AEGA中，过G作GH_L4Oi,

,GH=^DxG1-D\H1=VH,

:.S=T（EG+Q）.G"=JXW+3MXVTT=2^22.

2.（2022・重庆模拟）如图，一个平面a斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆

£.若圆柱底面圆半径为，，平面a与圆柱底面所成的锐二.面角大小为｛0＜。＜9,则下列对椭

圆E的描述中，错误的是（）

A.短轴为2八且与夕大小无关

B.离心率为COS0,且与r大小无关

C.焦距为2rtan。

D.面积>熹

答案B

解析由题意，椭圆短轴长2人=2r,而长轴长随夕变大而变长且2〃=总，

iz

所以c=yla2—b2=nan<9,故e=\=sin8,

焦距为2c=2rtan0,

由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos。等于圆的面积与椭圆面积的比值，

所以椭圆面积为s=3S.

LUAtz

综上，A,C,D正确，B错误.

3.（2022・资阳模拟）如图，在棱长为1的正方体ABC。一A出中，点E,凡G分别是棱CG，

C/3,C。的中点,P为线段A。上的一个动点，平面a〃平面律G,则下列命题中错误的是（）

A.不存在点P,使得CP_L平面EPG

B.三楂锥P-EFG的体积为定值

C.平面a截该正方体所得截面面积的最大值为坐

D.平面a截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

答案C

解析如图，连接4C,可得4CJ_平面EFG,由4c与AG异面可知，不存在点P,使得

CPL平面EFG,故A正确；

因为AOi〃平面EPG,所以动点P到平面EFG的距离为定值，故三棱锥。一E/G的体积为

定值，故B正确；

如图，当截面为正六边形UKLMM其中1,J,K,L,M,N都是中点）时，易得该正六边形的

边长为坐，所以其面积为6乂坐乂（堂）2=乎，故c错误；

截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确.

4.在三棱锥。一A4c中，以_L平面A4C,以=4,AB=AC=2®BC=3,PB,PC与以外

为直径的球。的球面分别交于点M,M则下列结论错误的是（）

A.PN=¥

B.MN〃平面A8C

C.MN=2

D.球。的球面上点M,〃所在大圆劣弧的长为空

答案D

解析对于A选项,

因为%_L平面48C,ABU平面ABC,

所以PALAB,

因为%=4,A4=4C=2\D,

则PB=7*+AB?=2限

所以cos/AP8="^=乎，

rn5

在△OPM中，0M=0P=；%=2,

由余弦定理可得

OM2=OP2+PM2-2OPPMcosZAPR,

所以PM=2OPCOS/APM=¥^,

同理可知0N=半，A正确；

对于B选项，在△P8C中,PB=PC=2#,

PM=PN=坐,

PMPN

所以~PB~PCf

所以MN//BC,

因为MMI平面ABC,BCU平面ABC.

所以MN〃平面ABC,B正确；

对于C选项，因为MN//BC,

则△PMNS/^PBC,

低.MNPM2

~BC=~PB=3,

2

因此MN=Q8C=2,C正确；

对于D选项，因为MN=0M=0N=2,

则△OMN为等边三角形，

则NMON=1,

所以球O的球面点N所在大圆劣钿的长为也2=?.D错误.

JJ

5.已知三棱锥P一/WC的四个顶点都在球。的表面上，以，平面A8C,以=6,ABLAC,

4B=2,AC=2小，点。为AB的中点，过点。作球0的截面，则截面面积的取值范围是

答案［兀，13兀］

解析三棱锥P-ABC的外接球即为以A&AC,/IP为邻边的长方体的外接球,

A2/?=^62+22+(2^3)2=2^13,：.R=g,

取BC的中点Q