河南省周口市项城市2025届高三三模数学试卷（解析版）

河南省周口市项城市2025届高三三模数学试卷

一、单选题

1.已知集合力={X|X2v舒,8={x|lg(x-1)<1},那么集合力nB=()

A.(1,2)B.(2,11)C.(-2,11)D.(1,11)

【答案】A

【解析】囚为A={x\x2<4]=(-2,2),8={x|lg(x-1)<1}=(1,11),所以An8=(1,2),

故选:A.

2.己知±二1-i(i为虚数单位)，则|z|二()

z

A.2B.2x/2C.4D.8

【答案】B

【解析】由复数2=1—i,可得z=2=,：(；[).、=2+2i,所以|z|二我亏丞'=2四.

21-1(l-l)(l+l)

故选：B.

3.已知向量,=(一1,75),闷=2旧,4•0-29)=16,则向量&与前勺夹角为()

A.-B.-C.-D.-

3663

【答案】C

【解析】因为向量4=(一1,N/3),\b\=2V3,a-(a-2b)=16,所以⑷=y[l+3=2,

所以,2—2d-b=16,所以五-b=—6,

设向量d与族的夹角为6,8G[0,n],COS0=2或：G=一日，

所以。=？.

6

故选：c.

4.如图，某圆台形木质零件的上底面圆0]的半径为3,下底面圆。2的半径为6,母线长为

6.现从该零件中挖去了个以圆01为底面、。2为顶点的圆锥。2。1，为增加该材料的利用

率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母

线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是(参考数据：

cos70.53°xcos54.74°若)()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】如图，过点A作/1，18。2,垂足为H,

由题意可知。送=3.AB=02B=6,。1。21O2B,OrA//O2B.

所以四边形力。1。2”为矩形，则。2〃=3,所以BH=3,

所以力。2=4B=BO2,即A4B02为等边三角形，

所以△48。2内切圆的半径为例，=[x6sin60°=V3,

即满足要求的球。3（。4,。5,…，On）的半径为百，

过点。3作。3。1。]。2,垂足为。，

则四边形。。3，。2为矩形，所以。。3=3,。。2=75，

显然。4=3,4,5,…,71）在以。为圆心，半径为3的圆周上运动，作出截面图，如图,

在A00304中，0。3=。。4=3,。3。4=6+8=2百，

由余弦定理得COS乙。3。。4=毁品=p

所以乙。3。。4«70.53%

因为5X70.530=352.65°<360°,6X70.53°=423.18°>360°,

所以满足题意的球至多有5个.

故选：B.

5.过圆O：/+y2=1外的点p(3,2)作O的一条切线，切点为M,则|MP|=()

A.2B.2A/3C.V13D.4

【答案】B

【解析】由题意有|MP『=|OP|2-r2=13-l=12,即|MP|=26.

故选：B.

6.已知直线n和平面。，其中mua,则1心是“n1a”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由mua,7711九，则可能有nua,或者n与a相交,不能推出九1a,

若〃1a,mua,则有n_Lm.

所以1九”是“1a”的必要不充分条件.

故选：C

7.己知4为△48C的一个内角，且tan(A+?=5则COST1=()

.Vio3V10

A.——7

10■10

【答案】D

tan(7l+%tan；

【解析】由题意得tanA=tan[(/+—[lx]—gV0，因此A为钝

l+tan(4+0tan^

角，

2

所以COSA=-Vcosy4=-I：0SA[=—1=—[1=—

yjcos2A+sin^AVl+tan2^f-lV10

故选：D.

8.若数轴上有一个质点位丁x=0处，每次运动它都等可能地向左或向右移动一个单位,

已知它在第10次运动后首次到达％=6处，则它在运动过程中没有重返过原点的概率为

()

【答案】B

【解析】设第i次向右运动赋值为勺=1,第，•次向左运动赋值为期=-1.

则10次运动路径可以表示为有序数组（立物…,可）,其中勺€{-1,1},i=1,2,...,10

记10次运动后首次到达％=6处的路径为（yi，%，…,为0），

i109

MV1<i<9,£yk<5H£”=6,可得=1且2%=5,

k=lk=lAr=1

88［巴次空

而£丸工5故、9=1，£"=4.由<"&1得九，为不可能全为-1，

k=1卜=1Xyk<5,

l/c=1

i

而VlWiW5,£欤35恒成立，

k=l

%中有且仅有两个-1,

因此］，9=乃0=1，共有点一1=27种不同路径.

、乃，、8不同时为一1，

记10次运动后首次到达％=6处且过程中没有重返原点的路径为（Z］,Z2,…，为0）,

z,中有且仅有两个一1,

Zy-Z?=Zg=ZAn=1,c

才J1共有C看-2=13种不同路径•

Z3，Z4不同时为一1，

Z7，Z8不同时为一1,

所以题中所i求概率为3

故选:B.

二、多选题

9.已知双曲线。:/一9=1的左、右焦点分别为&,尸2，左、右顶点分别为4,8,过F2

的直线E与双曲线的右支交于P,Q两点（P在第一象限），PQ中点为M,△PF】F2，AQF］F2的内

切圆圆心分别为/1/2,半珞分别为ND则下列结论正确的是（）

A.h，B,/2三点共线B.直线，斜率存在时，kpQ，koM=3

C.若勺=2万，则直线1的斜率为nD.6+万的取值范围是［2,殍）

【答案】ABD

【解析】依题意，得。2=1,炉=3,得。2=4,

则4（-1,0）,8（1,0）,尸1（-2,0）,F2（2,0）

设点「（如％）,（2（%242），“（跖'0）

对于A项，如图，设△P/1F2的内切圆的切点为R,S,T,

由双曲线的定义得,IPFiI-IPF21=2a,而|PR|=|P5|,

得IRRI-|SF2|=2a,而IRR|=|T&I,ISF2|=|TF2I,

得ITFiI-|TF2|=2a,又因为|BF1I-|BF2|=(c4-a)-(c-a)=2a,

得切点7与点8重合，得点7(1,0),则内心A的横坐标为1,

同理可得，内心的横坐标也为1，得A，SI?三点共线，故A项正确.

z五

2

lX-1

1-3

由<

l2比1

X2--

x3

得上及•空=3,即kpQ-k°M=3,故B项正确；

对于C项，设直线!的倾斜角为仇连接。尸2〃2尸2，

则£l1SF2=pZ./2F25=乙8//2=pIBF21=c-Q=1,n=2,r2=tang,

e

若G=2r?,则tan?=?,tanO=伫%=二=2VL故C项错误：

z

2Gl-tan-1--

对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：y=±V3x,倾斜角分别为为：,日，

因为直线[与双曲线的右支交于P,Q两点，

所以6€（鸿），皿岳）两亭停回，

令归吟=3则te停回，则丫=1+酒停1）单调递减，在（1,禽）单调递增，

故t+何2,方

故,1+丁2=0+langE[2,'J）,故D项正确.

故选：ABD

（x-4）2

10.已知三个正态密度函数力（幻=志6一¥（%€&1=1,2,3）的图象如图所示，则

B・(Tj—0,2>O3

C.若X〜N(l,of),P(X<2)=0.7,则P(X>0)=0.7

D.若Z〜N(41C),X~NQ2,遽),y~N(〃3,6)，则存在实数&,使得P(ZVVo)>

P(X<x0)>P(Y<x0)

【答案】CD

【解析】根据正态曲线关于直线％=〃对称，且〃越大曲线越靠右，则由V42="3,故A

错误；

乂。越小，数据越集中，」二态曲线越瘦高，则e=0<%，故B错误；

X〜N(l,充),P(X<2)=0.7,

则P(X>2)=1-0.7=0.3,P(1<X<2)=0.5-0.3=0.2,

所以P(X>O)=P(O<X<1)+P(X>1)=P(1<X<2)+P(X>1)=0.2+0.5=0.7,

故C正确；

由三个正态密度函数的图象可知，存在实数论>〃3,使得P(z<%)>P(X<q)>

p(y<%o)，故D正确；

故选：CD.

11.己知定义在R上的可导函数/(X)满足：r(x)>2,若单调递增数列满足:

区+1=fSn)，"6N,

A.｛aj的通项公式是“B.函数y=/(%)-2%是增函数

C.｛册｝可能是等比数列D.若。2=2,则由00>1。9

【答案】BCD

【解析】对于A选项：若即=九，则/(即)=册+1=九+1，即/(%)=%+1.

但广(幻=1<2,与题给条件矛盾，故A错误；

求导(=((%)一2>0,单调递增，B正确;

当/(%)=4%，即=4时1时，满足所有条件，故C正确：

由B可知y=fM-2》为增函数，且｛册｝为递增数列，

故f3n+i)-2an+1>/(an)—2Q〃，即口+2-2an+1>册+i-2an>

n_2n2

得斯+2-每+1>2(an+i-an),因此即-an_i>2(a2一%)=2~,

得由oo>%+1+2+2?+…+298=2"=(2]i)9>IO9,D正确.

故选：BCD.

三、填空题

12.已知等差数列｛a〃｝的前n项和为S”，满足sin(a?—：)+3。3+cos(日—01999)+

301999-则$200]=------------

【答案】竽

4

【解析1因为sin(。3-：)+3a3+cos得—由999)+3al999=4所以sin(叼-+

3(。3-：)+sin(%999-；)+3(。1999-；)=0-

令g(x)=sinx+3x,则gtO的定义域为R,且g(-x)=sin(-x)-3x=-g(x),所以g(x)

为奇函数.又因为g'(x)=cosx+3>0,所以g(x)在R上单调递增.

令％1=03一：，%2=Q1999一;，则g(%l)=-g(%2)=9(一工2)，故修=一％2，HPa3-；­

的999,则。[999+。3=1

故52001=等(%+«2001)=等(03+«1999)=

故答案为：竽.

4

13.不等式e2“+3。2》工Qe«3+x)对任意xE[1,+8)成立，则实数a的取值范围

是.

【答案】(一8W“。

【解析】由不等式e?'+3a2x>aex(3+x),可得(e*-3a)(e*-ax)>0,

要使得不等式e2*+3a2%>aex(3+幻对任意xe[1,+8)成立，

可得分为两种情况：

(1)不等式c*—3a>0且c*—ax>0对任意工€[1,+8)成立，

由不等式d-3aNO恒成立，即。工三，可得aW%

由不等式e*-ax>0恒成立，即a<?在％W[L+8)恒成立，

令f(x)=e[l,+8),可得/(%)=也沪>。恒成立，

所以/Q)在[1,+8)上单调递增，所以/(x)min=/(l)=e,则QWe,所以QW?;

(2)方程e"-3a=0且e'-ax=0有相同的解，即y=ex—3a且y=ex-ar的零点重

合，

由e“—3a=0,可得％=ln3a,将x=In3a代入e*—ax=0,可得In3a=3,解得a=J

3

综上可得，实数a的取值范围为(-8,§u{?}.

故答案为：(-oo^]U{y}.

14.设直线2v-6=0与抛物线C：y2=2p%(p>0)相交于点A,8,点尸为抛

物线C的焦点.若|四|一|8月=p则点F的坐标为.

【答案】g0)

【解析】已知直线方程2V3%-2y-V5=0,则y=

将y=-当代入抛物线方程y?=2px(p>0)可得：

222

(V3x-y)=2px,展开并化简得:3x-3x4-^=2pxtBP3x-(3+2p)x4-^=0.

设4(%i，yi),8(%2，力)，由韦达定理可得+孙=鸯^，勺%2=:

由抛物线的焦半径公式可知MH=%1+p\BF\=%2+/

已知尸|一|8F|=+则(%+9—(%2+§)=%即与一%2=*

•54/>5«5

2x2

对01-%2)=(%1+2)-4%1%2进行变形可得:

(》2=(竽)2—4乂%即蔡=史誓一1,即(3+2p)2=25,则3+2p=±5.

因为p>0,所以2+2『二K,解得n=1可得隹点尸的坐标为弓,0).

故答案为：(pO).

四、解答题

15.记△48C的内角48,。的对边分别为a,b,c.已知a-bcosC=3csinB,。=2,c=6,D

3

为边AC上的靠近点C的三等分点.

(1)求角B；

(2)求|8D|.

解：(1)由正弦定理有sir/-sin8cosc=曰sinBsinC,

因为sin力=sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC,

代入化简，得sinCcosB=4sinBsinC,

因为C€(0,7i),故sinC/0,所以tanB=®BW(0,n),

故B=?

(2)由题可知而=1瓦?+：近，

故|南|2=Qa+,近7=3(|/『+4而炭+4|正『)

=1X(36+4X6X2X1+4X4)=^

故|西=蜉.

16.已知数列｛册｝与｛10g2%｝都是等差数列，其前几项和分别为为与〃，且。2+%+。6=

24,a5+S5=40,瓦=Qi，T3=a3.

(1)求数列｛%｝与｛bn｝的通项公式;

(2)求数歹1」｛黑细｝的前n项和

解：(1)设等差数列｛斯｝与｛log?%｝的公差分别为由、山,

.(a+/+。6=24-f/日(3(。】+3d〕)=24曰(八=2

由2c2c-A.(\，可得《^5X4,_.，解得「一？

(。5+-40(a1+4dl+5ci]+d1=40n—2

所以斯=2n,

由瓦—Q]—2,7g—Q3—6,即log2bl+log2b2+log2%=310g2匕2=6,

所以Z?2=4,则d?=log2b2-log2bl=2—1=1,又log2bl=1,

n

所以log2bli=n,则g=2；

(2)由(1)可得空%=写？=(-1尸、占，

°n乙/

所以&二一去+,一套+…+(-1尸X品+(T)nX券,

则一衿=击一9+亮+…+(-1尸)系+(-1严1X会,

所以汨=/+＞力…+(-1)“岩+(-1)”£

=书岁+(_1尸4=_*_户*

所以&=Y+(一9n'..

17.如图1,在菱形4BCD中，Z/X48=60。，点M,N分别是边BC,CD的中点，ACoBD=

O[,ACnMN=G.沿直线MN将ZCMN翻折到APMN的位置，连接PA,PB,PD,得到如图

2所示的五棱锥P—ABMND.

(1)证明：在翻折过程中，总有PD=PB.

(2)若平面PMN1平面MND8,线段PA上是否存在一点Q(可与点P重合)，使得点B到平

面QDN的距离是菱形4BCD边长的富？若存在，试确定点Q的位置，并求此时平面QDN与

平面PMN所成锐二面角的余弦值：若不存在，请说明理由.

(1)证明：因为四边形A8CC是菱形且ACnBD=01，所以AC18D,DOY=BOX.

因为M,N分别是边BC,C。的中点,ACHMN=G,所以MN||80.

因为4C18。，所以MN_1AC,CG1MN.

即在五边形/BMNO中，AG1BD,AG1MN,DOi=BO^在△PMN中，PG1MN.

在折叠过程中，MN1PG,乂因为MNIIBD,所以BDJ.PG.

又AG1BD,AGnPG=G,AG,PGu平面P4G,所以8。_L平面P4G.

连接POi，因为P01u平面PAG,所以8CJ.P01.

又DO】=BO1,所以POi垂直平分线段3。，所以P。=PB.

(2)解：因为平面PMN_L平面MND8,平面PMNn平面MN0B=MN.PGu平面

PMN,PG1MN,

所以PG_L平面MN08.因为4Gu平面MNOB,所以PG1AG.

乂因为GMJ.4G,所以G4GKGP两两垂直，故以G为坐标原点建立如图所示的

空间直角坐标系.

不妨设菱形48CD的边长为4a,贝i」P(0,0,V3a),D(V3a,-2a,0),8(百Q,2a,0),

N(0,-Q,0),4(3岛,0,0),

所以丽=(遍a,2a,-V3a)=a(V3,2,-遮)，

PA=(36a,0,-V3a)=Q(36,0,-\/3).

假设线段P4上存在符合题意的点P，设而=4而(04/1<1),

则的=GP+~PQ=GP+AP3=a(0,0,V3)+a(3^1,0,-V31)=a(3V31,0,V3-V3/l).

易知平面PMN的一个法向量为心=(1,0,0).

设平面QDN的法向量为为=(%2，月，22)，

因为丽=GQ-GD=a(3V3A-V3,2,V3-V3A),DA?=Q(-V5,1,0),

.2•丽=(3V3A一，出卜2+2y2+(国一V3A)Z2=0,

明■以，——»

n2-DN=-V3X2+乃=°，

可取心=("-1,V3A—V3,3A+1).

设平面QON与平面PMN所成锐二面角为0,

赃os。=|^&|=「IIA-H

74(a-i)2+i；3l+T)2

］。-1产+(64-万产+(32+1)2

因为丽=a(0,4,0),所以点8到平面QQN的距离d=器用=-------“辰…-----:

/(A-1)2+(V3A-V3)2+(3A+1)2

喟即两号而嚼即C警

化简得2乃一74+3=0,解得入=*/1=3舍去）.

综上，当点B到平面QDN的距离是菱形48CD边长的票时，

点Q在线段P/1的中点处，比时平面QON与平面PMN所成锐二面角的余弦值为警.

18.已知椭圆C：\+菖=1(。>匕>0)的离心率为苧，C与曲线y=lnx经过x轴上的同

一点.

(1)求。的方程；

(2)作曲线y=Inxffix=%处的切线/.

(1)若与=1,/与C相交于A,8两点，。是C上任意一点，求△力BP面积的最大值；

(ii)当0<.<代时，证明/与C1有两个公共点.

解：⑴由题意，C经过点(1,0),则b=1,又e=:=9，a2-b2=c2,

可得a=V2,c=1,

所以9+/=i；

(2)(i)由y=In%求导得/=当&=1时，切线/：y=x-1,联立，"+2_1消

去y,

得3%2-2%-1=0,则有％=1或一%所以/一小I二竽，

设PCq,%)，则点P到/的距离d=以蔑T,

因为学+*=1，令£=与一、1-1，则一£一1,

从而3瓷-2(t+I)/+°+1)2-2=0,

令/=4(t+I)2-12[(t+l)2-2]>0,得一百-1<t<V3-1,故|t|<>/3+1,d<

V3+1

~7T-

所以△48P面积的最大值为答2当且仅当"一百一1,即;q=力=乎时取最

大.

(ii)切线/：y—In%。=—(%—%)即y=+In%。-1,

X。工。

22

带入2/+y2=2中有(2+2)x4-^-(lnx0-l)x+(lnr0—I)-2=0,(2+土)工0

由题意只需证明4>0,即奈(1展0—1)2—4(2+奈)——>0,

即证：上-0nx-I)2+2>0,