高三数学一轮复习讲义（基础版）抛物线

§8.8抛物线

【课标要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握效物线的简单几何性质(范围、对称性、顶

点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点歹和一条定直线/(/不经过点用的距离的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做

抛物线的,直线/叫做抛物线的.

注意：定点尸不在定直线/上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点尸且垂直于直线/的一条直线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准)2=2pxy2=-2pxjr=2pyr=-2py

方程e>o)S>0)(P>0)0»0)

等谦

图形’I，Xlz

x'O,后0,yWO,

范围

)£RyGRxGR

焦点

准线

方程

对称

轴

顶点

离心

e=___________

率

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.()

(2)方程y=4f表示焦点在1轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).()

(3)标准方程)2=2px(p>0)中的〃的几何意义是焦点到准线的距离.()

（4）焦点在），轴上的抛物线的标准方程f=±2p）、（p>0）,也可以写成juafSWO）,这与以前学习的二次函数

的解析式是一致的.（）

2.（多选）关于抛物线）2=-2工，下列说法正确的是（）

A.开口向左B.焦点坐标为（一1,0）

C.准线为x=lD.对称轴为％轴

3.（2024.驻马店模拟）已知点P（6,然）在焦点为产的抛物线C：），2=2/>仍>0）上，若俨月=当，则〃等于（）

A.3D.6C.9D.12

4.（2024・宝鸡模拟）抛物线），2=2pMp>0）过点A（2,2）,则点A到抛物线准线的距离为.

抛物线焦点弦的几个常用结论

设是过抛物线V=2px（p>0）的焦点尸的弦，若A3,巾），8（应，"），。为坐标原点，则

（I）X1X2）'1>2=一〃2；

（2）弦长依用=足+.丫2+〃=悬他为弦A8的倾斜角）；

（3）1।1=--

~|凡4|\FB\P*

（4）以弦AB为直径的圆与准线相切；

（5）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p,通径是过焦点最短的弦；

（6）以Ab或8b为直径的圆与），轴相切.

题型一抛物线的定义及应用

例1（1）（2025•东北三省精准教学联考）已知抛物线C：），2=2pM〃>（））的焦点为凡若抛物线上一点M满

足|MF|=2,NOPM=60。，则〃等于（）

A.3B.4C.6D.8

（2）记脑物线及），2=4x的焦点为片点A在E上，B（2,1）,则HQ+|A用的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

延伸探究本例⑵中，点B坐标改为（2,3）,点A到准线的距离为"，求|AB|M的最小值.

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的

求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

跟踪训练1(1)(2024・贵阳模拟)抛物线)，2=以上一点”到焦点的距离是10,则M到x轴的距离是

A.4B.6C.7D.9

(2)已知点P为抛物线)，2=一以上的动点，设点P到直线/：x=l的距离为"，到直线.叶〉，-4=0的距

离为心，则力+必的最小值是()

A.|B.岸C.2D.V2

题型二抛物线的标准方程

例2(1)若抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为.

(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线G：9=一2/尔/»0),C2：)，2=2/»(6>0)构造了一

个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线G,C2的焦点分别为乃，点P在抛物线G上，

过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q,若|PR|=2|PQ=8,则〃等于()

A.4B.6C.8D.12

思维升华求抛物线的标准方程的方法

(1)定义法.

(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练2(1)动点尸到点40,2)的距离比它到直线/：)，二-4的距离小2,则动点尸的轨迹方程为

()

A.y2=4.rB.yB2=8x

C.x2=4yD.xD2=8y

(2)已知抛物线C：)?=2px(p>())的焦点为R准线为/,点A在抛物线。上且位于第一象限，AB_L/于

点、B,若依F|=潜尸|=4,则抛物线C的标准方程为.

题型三抛物线的几何性质

例3⑴若抛物线丁=2/R〃>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是()

A.p<1B.pB>!C.pC<2D.pD>2

(2)(多选)已知点Ag,yi),R@2,")是抛物线)工=8工过焦点的弦的两个端点，焦点为凡贝lj()

答案精析

落实主干知识

1.相等焦点准线

2g。)(/。)(。，9(。，-9T9

y=-l>,=7%轴)'轴

(0,0)1

自主诊断

【.⑴X(2)X⑶4(4)4

2.AD［对于抛物线丁=一21，开口向左，焦点坐标为(一：，0),准线方程为,对称轴为x轴，故AD

正确」

3.A［抛物线C:/=2/?4/?>0),准线方程为x=~^,P(6,)，o),

由抛物线的定义可知

|P用=6样=5，解得"=3.］

5

44-

2

解析由题意22=2〃X2,解得

〃=1,所以抛物线的准线方程为

x=-l

故所求距离为2+：=|.

探究核心题型

例1(1)A［如图，过点M分别向x轴和准线作垂线，垂足分别为A,N,

根据抛物线定义，

有|Mf|=|MN|=2,

所以p=|MM+|MFbcos60。=3.]

(2)B［过点A作准线x=-l的垂线，垂足为D,则|AF1=HD|,则HF1+|A8|=HO|+H8|23,如图所示，所

以HQ+H8I的最小值为3.

延伸探究解令x=2,«=8<9,

故点B在抛物线外部.

由抛物线定义，

d=\AF\,

：.\AB\+d

-\AB\+\AF\

》画i=au,如图所示，

当且仅当8,A,尸三点共线时等号成立，

・・・依剧+1的最小值为g.

跟踪训练1(l)B［抛物线)，2=以的准线方程为X=一|,由抛物线定义可得皿+1=10,故.=10—|=

9,则=yj4xM=y/4x9=6,即M到x轴的距离为6.］

(2)B［直线/：x=l为抛物线尸=-4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点尸的距离，过焦点厂作

直线"丁一4=0的垂线，

如图所示，当点尸为所作直线与抛物线的交点时，4+刈的值最小，为点/到直线x+厂4=0的距离.

VF(-1,0),

••(d|+d2)min

例2(l)/=y.r或。=—3,

解析•・•点(3,-4)在第四象限，

・••抛物线开口向右或向下，

设抛物线的标准方程为)?=2pMp>0)或r=-2p,y(Pi>0).

把点(3,—4)的坐标分别代入

y2=2px和$=—2/力)，中，

得(-4)2=2p-3,

32=-2pr(-4),

则2p=",2pi=[.

・•・所求抛物线的标准方程为

9或f=一》.

⑵D[方法一如图，过点P作PMJ_RB干点M,

V|PFi|

=2「。|=8,

：.\OM\=2,

则xp=-2,

又点P在抛物线Ci:

)2=-2〃.伞>0)上,

，嵋=4〃,

5W|PM=2而，

在RtAPMFi中，|"/||=:一2,

,222

\\PM\+\MF1\=\PF1\,

2

.•・(2g)2+0-2)=82.

・・・〃=12(〃=一20舍去).

方法二设P(向，加),

则x()<0,

V|PFi|=2|P2|=8,

工一即+々=2(—2xo)=8,

***Xo=—2,p—12.]

跟踪训练2(1)D[因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线/：)，二-4的距离小2,所以动点P到点

40,2)的距离与它到直线)，=-2的距离相等，根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以40,2)为焦点，以

直线？=-2为准线的抛物线，其标准方程为f=8)，.]

⑵)?=4x

解析・・・HF|=H4|且

\AF\=\BF\=4,

•••△AB/为等边三角形，

:・ZXBF=60°,

设抛物线的准线与大轴交于点E,・・・/五8£：=3()。，

A|EA]=|Z?F|-sin30°=4xi=2,即〃=2,

・•・抛物线c的标准方程为)a=4.工

例3(1)D[设P为抛物线上任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：X=一拼的距离，显然当P为抛物

线的顶点时，P到准线的距离取得最小值*・・・畀1,即p>2.]

(2)BD[由抛物线)?=8x,可得焦点为/(2,0),故A错误；

由抛物线的性质可得|A6|=|A日十|6F|=小十2+也十2=由+人2+4,故B正确；

方法一设直线AB的方程为x=wy+2,与抛物线的方程联立，可得yr—Smy-16=0,J>0,

贝ljyi+)，2=8"7,yiy2=-16,

iii=—^―+—^―

\FA\\FB\Xi+2X2+2

0+2"^

88

川+16凫+16

_8y；+8xl6+8资+8X16

一川卜+16y；+16*+162

_8(如+乃)2-16yly2+162

(yiJ2)2+16(yi+丫2)2-32yly2+162

_8x(8m)2+162+162

162-H6X(877l)2+32X16+162

=T，故c错误，D正确.

方法二因为〃=4,