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第四部分题型专练题型专练12圆的计算与证明（圆的基本性质）1.（2025·鼓楼）如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB，连接BC，AD，E为AB上一点，BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，交☉O于点G.证明：如答图，连接DE.∵AB是直径，AB⊥CD，∴AB垂直平分线段CD.∴EC＝ED.∴∠CEB＝∠DEB，∠ECD＝∠EDC.∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.∵∠BCE＝∠BAG，∴∠BED＝∠BAG.∴DE∥AG.∴∠G＝∠DEG.∵∠DEG＝∠GCD＋∠EDC，∴∠G＝2∠GCD.（1）求证：∠G＝2∠GCD.（2）若EF＝2，FG＝3，求CE.解：∵∠GAE＝∠BCE，∠BCE＝∠BEC，∠AEG＝∠BEC，∴∠GAE＝∠AEG.∴GA＝GE＝EF＋FG＝2＋3＝5.

解：∵BD是☉O的直径，∴∠DAB＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°.∴∠ABD＝90°－∠ADB＝45°.

（2）如图2，过点O作OE⊥BC于点E，延长EO交AC于点F，连接DF，OC.已知OF＝2OE.求证：四边形OCDF是平行四边形.

∵OF＝2OE，∴CD＝OF＝2OE.又∵CD∥OF，∴四边形OCDF是平行四边形.3.（2025·建平）如图，☉O是△ABC的外接圆，∠ACD的平分线交AB于点E，交☉O于另一点F，FA＝FE.（1）求证：CD⊥AB；证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA.∵∠FAE＝∠BCE，∠FEA＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠ACD的平分线交AB于点E，∴∠DCE＝∠ACE.∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝∠BCD＋∠ACE.∵∠BEC＝∠BAC＋∠ACE，∴∠BCD＋∠ACE＝∠BAC＋∠ACE.∴∠BCD＝∠BAC.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝∠BAC＋∠B＝90°.∴CD⊥AB.（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长.解：∵OM＝OE＝1，∴EM＝OM＋OE＝2.∵FA＝FE，FM⊥AB于点M，∴AM＝EM＝2.∴OB＝OA＝AM＋OM＝3.∴AB＝2OB＝6，BE＝OB－OE＝2.由（1），得∠BCE＝∠BEC，∴BC＝BE＝2.

4.（2025·拱墅）如图，△ABC内接于☉O，连接AO交CB于点D，交☉O于点E，已知∠1＋∠2＝90°.

证明：如图，连接CE，∵AE是☉O的直径，∴∠ACE＝90°.

∵∠1＋∠2＝90°，

∴∠E＝∠2.∴CE＝CD.

（2）若CD＝5，AC＝12，求AB的长；解：如图，作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，∵CE＝CD＝5，AC＝12，

∵∠ABD＝∠E，∠ADB＝∠2，且∠E＝∠2，

若CA＝CB，设☉O的半径为r，求△ABC的面积（用含r的代数式表示）.解：如图，连接CO并延长CO交AB于点L，连接OB，则OB＝OC＝OA＝r，

∴∠ABD＝∠

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