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第4课矩形的判定1.(2024·深圳联考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是()A.AB＝ACB.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB⊥ACB证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100.∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠B＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形．∴四边形ABCD是矩形．2.如图，在▭ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.求证：四边形ABCD是矩形．3.如图，在菱形ABCD

中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC交CB的延长线于点E，CF∥AE交AD的延长线于点F.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴平行四边形AECF是矩形．(1)求证：四边形AECF

是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，OA＝OC，AC⊥BD.由(1)得∠AEB＝90°.∴BE＝＝＝3,CE＝BE＋BC＝3＋5＝8.(2)若AE＝4，AD＝5，求OB

的长．∴AC＝＝＝.∴OA＝AC＝.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB＝＝＝.证明：(1)∵△ABD，△CBD为等边三角形，且△ABD≌△CBD，∴AD＝AB＝BC＝CD.∴四边形ABCD是菱形．4.如图，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M，N分别是BC，AD的中点．求证：(1)四边形ABCD是菱形；证明：(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BM∥DN.∵M，N分别是BC，AD的中点，∴BM＝BC，DN＝AD.∵AD＝BC，(2)四边形BMDN是矩形．∴BM＝DN.∴四边形BMDN为平行四边形．∵△ABD是等边三角形，N是AD的中点，∴∠BND＝90°.∴四边形BMDN是矩形．5.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F.∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴OE＝CO，OF＝CO.∴OE＝OF.(1)求证：OE＝OF.(1)证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，(2)解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝＝10.∴OC＝EF＝5.(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长．(3)解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO.∵EO＝FO，∴四边形

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