第三章 空间向量与立体几何（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册（原卷版）

76/76第一章空间向量与立体几何教学目标1.逻辑推理：通过例题讲解让学生掌握用向量解决空间角问题这一方法，能培养学生逻辑推理的核心素养；2.数学运算：通过例题的完成，经历解题运算，能培养学生数学运算的核心素养；3.直观想象：利用图形描述数学问题，建立数与形的联系，培养学生直观想象的核心素养.教学重难点重点：空间向量法解决立体几何空间角与空间距离问题难点：空间向量法解决立体几何中探究性问题及新定义题知识点01空间直角坐标系1．建立空间直角坐标系(1)在平面直角坐标系的基础上，通过原点O，再增加一条与平面垂直的z轴，如图所示，就建立了三个维度的空间直角坐标系，可记为空间直角坐标系O－xyz.(2)在空间直角坐标系O-xyz中，点叫做坐标原点，轴，轴，轴统称为坐标轴.由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x,y轴确定的平面记作xOy平面,y，z轴确定的平面记作yOz平面，z,x轴确定的平面记作zOx平面.2.空间中点的坐标表示在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组来表示，有序实数组叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点P的坐标（即横坐标），叫做点P的坐标（即纵坐标），叫做点P的坐标（即竖坐标）.3..空间两点间的距离公式空间中任意两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)间的距离|M1M2|=(x特别地,空间中任意一点P(x,y,z)到原点O的距离为|OP|=x4.空间直角坐标系中的中点坐标公式已知空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若线段P1P2的中点为P0(x0,y0,z0),则x这个公式称为空间直角坐标系中的中点坐标公式,它是平面直角坐标系中的中点坐标公式的拓展.【深度剖析】空间中点坐标公式可以看作平面内中点坐标公式的升级版,只是比平面内的坐标多了一个竖坐标而已【即学即练】1．（25-26高二上·江苏·期中）已知的三个顶点为，，，则边上的中线长为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（25-26高二上·云南德宏·期中）在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·四川成都·期中）已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（

）A． B． C．1 D．2知识点02空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb【即学即练】1．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（

）A． B．C． D．2．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3知识点03共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有用途共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。2.直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λ.定义：把与平行的非零向量称为直线l的方向向量．【即学即练】1．下列说法中正确的是（

）A．是，共线的充要条件B．若，共线，则C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面2．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（

）A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面知识点04空间向量的数量积1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．空间向量数量积的性质(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．【即学即练】1．在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．如图所示，平行六面体中，，，，．(1)求；(2)求的长度．知识点05空间向量的坐标运算1.空间向量的坐标运算设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积2.空间向量的长度及夹角的坐标计算公式设空间中两个向量满足,则(1)模长公式：；(7)夹角公式:当时，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝x1x2+【即学即练】1．（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（

）A． B． C．4 D．32．（25-26高二上·河北保定·期中）设空间向量，则（

）A．6 B．9 C．-6 D．-9知识点06空间平行、垂直的向量表示1.空间中平行关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则线线平行(线线不重合)l∥m⇔l∥m线面平行(线不在平面内)l∥α⇔l⊥n1面面平行(两个平面不重合)α∥β⇔n1∥n22.空间中垂直关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则线线垂直l⊥m⇔l⊥m线面垂直l⊥α⇔l∥n1面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2【即学即练】1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（

）A． B． C．3 D．2．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，那么下列说法中正确的是（

）A． B．或 C． D．知识点07空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．【即学即练】1.如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（

）A． B． C． D．2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．知识点08空间距离及向量求法分类点到直线的距离点到平面的距离图形语言文字语言设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)·u.），则PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．【即学即练】1．已知，，，，，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．2.已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为.题型01空间向量的线性运算【典例1】四面体中，，且，则等于（

）A． B．C． D．在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．【变式1-1】平行六面体中，，则实数的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【变式1-2】如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，

（1）；（2）；（3）；（4）存在实数，，使得．则其中正确的结论是．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．题型02四点共面问题【典例2】已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为．对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【变式2-1】是三棱锥底面所在平面内的一点，满足的一组数对是（

）A． B． C． D．【变式2-2】已知为空间任意一点，四点中任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（）A． B． C． D．2题型03空间共线向量定理的应用【典例3-1】在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3-2】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A． B．1 C．2 D．3利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．【变式3-1】设向量不共面，已知，，，若三点共线，则．【变式3-2】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当时，．题型04空间向量的数量积的应用【典例4-1】设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【典例4-2】在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（

）A． B．C． D．向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．1.利用空间向量的数量积求两向量的夹角：本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。2.利用空间向量的数量积求线段的长度：空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。3.利用空间向量的数量积证垂直：立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零【变式4-1】在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．【变式4-2】、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．【变式4-3】在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为．题型05用空间向量解决平行问题【典例5-1】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.【典例5-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；(2)若点D满足，，试确定点D的坐标．1、用向量法证明线线平行的思路要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.2、利用空间向量证明线面平行(1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.(2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.3、用向量法证明面面平行的三种思路(1)证明两个平面的法向量共线.(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.【变式5-1】（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明：(1)平面；(2)平面平面．【变式5-2】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为底面和侧面的中心．求证：(1)平面；(2)平面平面．题型06用空间向量解决垂直问题【典例6-1】（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面.【典例6-2】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，.(1)请以、为基底表示，并证明.(2)求证平面.1、用向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种.(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0.2、用向量法证明线面垂直的两种方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.3、用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明两个平面的法向量垂直.(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.【变式6-1】（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点.(1)在平面内确定一点，使平面；(2)证明：棱上不存在点，使平面平面.【变式6-2】（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点.(1)求证：；(2)若平面，证明：平面.题型07用空间向量解决空间角问题【典例7-1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方体的棱长为2，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为.【典例7-2】（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．异面直线所成的角：已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．线面角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．二面角：如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式7-2】（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．题型08用空间向量解决空间距离问题【典例8-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【典例8-2】如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.(1)求直线与直线所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离.1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【变式8-1】如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．

(1)证明，并求直线到直线的距离；(2)求点到平面的距离．【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．(1)求证：平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．题型09空间向量与立体几何的综合问题【典例9】如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（

）A．异面直线与所成角的最小值为B．异面直线与所成角的最大值为C．对于任意给定的，存在点，使得D．对于任意给定的，存在点，使得利用空间向量解决立体几何的综合问题时，一般采用各个击破的策略，即针对位置关系、空间角、空间距离分别采用相应的策略求解.【变式9-1】如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．

(1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标．(2)求点到平面的距离．(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．【变式9-2】（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．题型10夹角、距离中的最值（范围问题）【典例10-1】（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为.【典例10-2】（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．

(1)若，证明：面面；(2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．对于夹角、距离中的最值（范围）问题，往往利用相应的夹角、距离公式建立函数关系式，利用函数思想求最值或范围.【变式10-1】（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点.(1)证明：平面平面.(2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由.(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值.【变式10-2】如图，在直四棱柱中，，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．题型11空间向量中的新文化、新定义问题【典例11-1】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【典例11-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．

(1)求的长；(2)若为的中点，求二面角的正弦值；(3)若为线段上一点，且满足，求．数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点.【变式11-1】（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．2 D．3【变式11-2】（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得.(1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置；(2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由.(3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积.一、单选题1．（25-26高二上·福建·期中）在空间直角坐标系中，设点是点关于平面的对称点，点是点关于轴的对称点，则线段的长度等于（

）A． B． C． D．2．在三棱锥中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．3．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·广东东莞·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．（25-26高二上·浙江·期中）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，梯形的高分别为3，7，且，，，则A． B． C． D．7．（河北省名校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）如图，把边长为4的正方形纸片沿