拓展专题05 求圆锥曲线离心率的十五种技法15大考点66题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题05求圆锥曲线离心率的十五种技法考点01利用公式求离心率（共4小题） 4考点02利用勾股定理求离心率（共3小题） 5考点03构造齐次方程求离心率（共8小题） 5考点04利用“公式2”求离心率(共3小题) 6考点05利用“公式3”求离心率(共4小题) 7考点06利用“公式5”求离心率（共4小题） 7考点07利用斜率乘积求离心率(共3小题) 8考点08利用余弦定理求离心率(共5小题) 8考点09构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题) 9考点10以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题） 10考点11以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题) 10考点12以内切圆为载体的离心率计算(共5小题) 11考点13以外接圆为载体的离心率计算(共2小题) 12考点14以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题） 13考点15以几何体的截面为载体的离心率计算(共4小题) 13【重要方法与结论】一、求椭圆或双曲线的离心率的三种基本方法（1）公式法：即利用相应的离心率计算公式（如定义式）直接求得离心率；（2）方程法：先得到关于的齐次方程，再通过作除法转化为关于e的方程求解.（3）不等式法：对于求离心率取值范围的问题，常寻找不等关系，从而构造关于的齐次不等式，再通过作除法进一步转化为关于e的不等式求解.二、求解椭圆离心率的5个公式公式1:公式2:变形证明:公式3:已知椭圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率证明:,由正弦定理得:由等比定理得:,即.公式4:以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则证明:由正弦定理有.公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则;当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或三、求解双曲线离心率的5个公式公式1:公式证明:公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则证明:,由正弦定理得:由等比定理得:即。公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率，证明:由正弦定理,有即又公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,.四、求离心率的一个神奇公式——e次元公式已知焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线C于两点，直线的倾斜角为，则曲线C的离心率e满足等式：．为方便计算，一般让.推广一：当AB直线的斜率为k，则推广二：抛物线中，，推广三：当焦点在y轴时，.考点01利用公式求离心率（共4小题）1．（2025高二上·河南郑州·期中）若双曲线的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（

）A． B． C． D．考点02利用勾股定理求离心率（共3小题）5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的右半支于两点，满足，且面积是面积的两倍，则双曲线的离心率为．考点03构造齐次方程求离心率（共8小题）8．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．9．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．10．（25-26高三上·云南·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为．则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．12．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为为的左支上一点，与的一条渐近线平行.若，则的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．13．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（

）A． B． C． D．14．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为．15．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为.考点04利用“公式2”求离心率(共3小题)16．（24-25高二上·重庆·期末）已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（

）A． B． C． D．17．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的双曲线的其中一条渐近线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．18．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为.考点05利用“公式3”求离心率(共4小题)19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．20．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．21．（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是（

）A． B． C． D．22．设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点06利用“公式5”求离心率（共4小题）23．已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．24．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为(

)A． B． C．2 D．25．已知椭圆C：的离心率为，过左焦点F作一条斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，满足，则实数k的值为（

）A．1 B． C． D．226．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线倾斜角为，则椭圆的离心率.考点07利用斜率乘积求离心率(共3小题)27．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．28．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（

）A． B． C． D．29．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积，则此椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．考点08利用余弦定理求离心率(共5小题)30．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．31．（2025高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（25-26高三上·天津·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．33．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为.34．（24-25高二上·江苏淮安·期中）设双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P是双曲线E上的一点，若，，则双曲线E的离心率为．考点09构造不等式求离心率的范围或最值(共6小题)35．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．36．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆（）的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线AM的斜率为则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．37．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．38．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．40．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是．考点10以特殊三角形为载体的离心率计算（共4小题）41．（25-26高三上·安徽蚌埠·阶段练习）已知是原点，是双曲线的右焦点，过双曲线的右顶点且垂直于轴的直线与双曲线一条渐近线交于点，以点为圆心的圆经过点，则双曲线的离心率为（

）．A． B． C． D．42．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．43．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．44．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（

）A． B．C． D．考点11以特殊四边形为载体的离心率计算(共6小题)45．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（

）A． B． C． D．46．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．47．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．348．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0，b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．+149．如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．50．已知双曲线左、右焦点分别为、，、为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．考点12以内切圆为载体的离心率计算(共5小题)51．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．52．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．53．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（

）A． B． C． D．54．（24-25高二上·湖北·期中）如图，焦点在x轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．55．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知为坐标原点，，为椭圆的左、右焦点，，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过作，垂足为，，则椭圆的离心率为考点13以外接圆为载体的离心率计算(共2小题)56．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知椭圆：的左焦点为，焦距为，圆：与椭圆有四个交点，其中点，分别在第一、四象限，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．57．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点14以三角形四心为载体的离心率计算（共5小题）58．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．59．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点和下顶点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．60．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为G，I是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率.61．（25