专题1.3 直线的方程（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册（原卷版）

27/28专题1.3直线的方程教学目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式和一般式；.3.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示；4.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．教学重难点1.重点(1)几种直线方程的灵活选用；(2)直线方程的应用．2.难点(1)能根据实际情况选择正确的直线方程；(2)理解“截距”与“距离”的区别．知识点01直线方程的点斜式（重点）1.直线的方程一般地,如果一条直线l上的坐标(x,y)都满足一个方程,满足该方程的(x,y)所确定的点都在直线l上,我们就把这个方程称为直线l的方程.2.直线方程的点斜式(1)直线l经过点P(x0,y0),且斜率是k,则直线l的方程是.这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是.【知识剖析】直线方程的点斜式的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.【即学即练】1.求满足下列条件的直线方程的点斜式.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.[3]知识点02直线方程的斜截式（重点）1.直线在x,y轴上的截距(1)直线l与x轴的交点(a,0)的叫作直线l在x轴上的截距,简称横截距.(2)直线l与y轴的交点(0,b)的叫作直线l在y轴上的截距,简称纵截距.2.直线的斜截式方程如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线方程的点斜式,得y-b=k(x-0),即,此方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所以叫作直线方程的斜截式.【知识剖析】(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．【即学即练】1．根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.知识点03直线方程的两点式（重点）1.直线方程的两点式经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为,我们把这个方程称为直线方程的两点式.2.平行于坐标轴的直线方程(1)若x1=x2,y1≠y2,则P1P2与x轴垂直,此时直线l的方程为;(2)若y1=y2,x1≠x2,则P1P2与y轴垂直,此时直线l的方程为.【知识剖析】(1)两点式方程与这两个点的顺序无关．(2)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等(3)把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线．【即学即练】1．求过下列两点的直线的两点式方程：(1)，；(2)，．2.已知直线的两点式为，则（）A．直线经过点 B．直线的斜截式为C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为知识点04直线方程的截距式（重点）1.直线方程的截距式若直线l经过两点(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),则直线l的方程为,此方程称为直线方程的截距式.2.直线方程截距式与两点式间的关系直线方程的截距式是两点式的特例，所取的两点恰好是直线与坐标轴的交点.【知识剖析】(1)截距式中,x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距,故由方程便可直接读出直线在两坐标轴上的截距.(2)当直线的斜率不存在或斜率为0或直线经过原点时，直线方程不能用截距式表示.【即学即练】1．过、两点的直线方程是（）A． B．C． D．2．直线在轴上的截距为（）A． B． C．2 D．4知识点05直线方程的一般式（重点）1.直线方程的一般式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x,y的二元一次方程.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B0)叫作直线方程的一般式.2.直线方程的一般式的书写格式(1)对于直线方程的一般式,有如下约定:一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列;x项的系数一般为正;x项、y项的系数和常数项一般不出现分数.(2)直线方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式.【知识剖析】(1)方程Ax+By+C=0表示直线的条件是：A,B不同时为0,即A2+B2≠0.(2)直线方程的一般式能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都不能表示与x轴垂直的直线.【即学即练】1.直线3x－2y－4＝0在x轴、y轴上的截距分别是()A.eq\f(3,4)，－eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)，－2 D.eq\f(4,3)，－22.直线2x-3y+6=0与x轴的交点是A,与y轴的交点是B,O是坐标原点,则△AOB的面积是()A.6 B.3 C.12 D.23．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（

）A． B． C． D．知识点06直线方程的点法式（拓展点）1.直线的法向量与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量.2.直线方程的点法式已知直线l经过Px0,y0,且它的一个法向量为n=【即学即练】1.（24-25高二下·上海·期中）已知向量为直线的一个法向量，则a的值为．2.写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=.

知识点07过定点的直线系（拓展点）直线过定点P0(x0,y0)时,我们可设直线的方程为，由此方程可知,k取不同的值时,它就表示不同的直线,且每一条直线都经过定点P0(x0,y0),当k取遍所允许的每一个值时,这个方程就表示经过定点P0的许多直线,所以把这个方程叫做过定点P0的直线系方程.由于过点P0(x0,y0)且与x轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线【即学即练】1.方程y=k(x-1)(k表示A.过点(－1,0)的一切直线B.过点(1,0)的一切直线C.过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线2.已知直线l:y=kx+2k+1.求证:直线l过定点.题型01利用点斜式求直线方程【典例】已知直线l经过点P(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.求直线的点斜式方程的步骤及注意点：(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，.(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；(2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.题型02利用斜截式求直线方程【典例】求斜率为34求直线的斜截式方程的方法：(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【变式1】（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【变式2】设直线l的倾斜角是直线y＝eq\r(3)x＋1的倾斜角的eq\f(1,2)，且与y轴的交点到x轴的距离是3，则直线l的方程是____________________．题型03利用两点式求直线方程【典例】已知△ABC的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程．(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足直线方程的两点式的适用条件:两点的连线不平行于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)已知两点坐标时，也可利用这两点先出求其斜率，再利用点斜式得到直线方程.【变式1】（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）经过点，的直线方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．题型04利用截距式求直线方程【典例】（1）求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程;(2)求过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程.求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·山东青岛·阶段测试）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程：(1)的周长为12；(2)的面积为6．【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点.(1)若，求直线的方程；(2)求的面积的最小值.题型05直线一般式方程的应用【典例】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.直线方程的几种形式的转化【变式】根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．(1)斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．题型06直线方程的点向式与点法式【典例】已知ABC的三个顶点分别是A(1,1),B(-2,3),C(3,4)（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）如图，若四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标.（1）直线方程的点向式：已知直线l经过Px0,y0,且它的一个方向向量为n=A，B,则称为直线方程的点向式，特别地，当方向向量为（2）直线方程的点法式：已知直线l经过Px0,y0,且它的一个法向量为n=【变式1】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二上·山西阳泉·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·上海徐汇·三模）直线m过点且法向量，则直线m的点法式方程为.题型07根据直线方程求直线的斜率与倾斜角【典例1】（1）已知直线的方程是，则（）A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为（2）直线的倾斜角是（）A． B． C． D．(1)将直线方程转化为斜截式，便可得到直线的斜率，从而求得倾斜角.(2)对于一般式方程，当时，其斜率为.【变式1】（24-25高二下·浙江·开学考试）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式3】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为．题型08直线图象的辨析【典例】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（）对于直线图象的辨析题，一般将直线方程写成斜截式，从而确定斜率及纵截距，便可结合坐标系确定直线图象.【变式1】（24-25高二·江苏·课后作业）直线可能是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高二·陕西西安·段测）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．题型09利用斜率、截距的几何意义解决问题【典例】已知ab<0,bc<0，则直线ax+by=c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限判断一条直线过象限问题,一般将直线方程化为斜截式,再据此作出直线,由图确定直线所过象限.【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（

）A．且 B．且C．且 D．且题型10利用直线方程求参数的值或取值范围【典例】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（）A．a>1 B．0<a<1C．a＝1 D．0<a<1或a>1（2）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．（3）直线y＝eq\f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．【变式1】（2025浙江杭州高二上联考）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【变式2】（2025河南郑州高二上联考）已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为.题型11中心直线系过定点问题【典例】求证:无论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限.中心直线系过象限问题实质是中心直线系过定点问题，即要证中心直线系过哪个象限，只需证明中心直线系所过的定点在该象限内.【变式1】已知直线l:y=ax-15a+(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线.(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；(2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程.题型12与直线有关的数学文化题【典例】（24-25高二上·湖南长沙·期中）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．与直线有关的数学文化题常以新定义的形式出现，求解的关键是认真审题，读懂新定义，再利用新的信息解决问题.【变式】（24-25高二下·甘肃嘉峪关·开学考试）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．题型13直线方程在实际生活中的应用【典例】如图,某小区内有一块荒地ABCDE,现欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发,问如何设计才能使开发部分的面积最大?最大面积是多少?(已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m)坐标法解决直线方程的实际应用问题的基本步骤(1)认真审题,将实际问题转化为平面几何问题;(2)建立平面直角坐标系,将平面图形中的点用坐标表示、直线用方程表示.(3)借助方程及直线间的位置关系解决问题.【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【变式2】在路边安装路灯,路宽23m,灯杆长2.5m,且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h约为多少时,灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?(精确到0.01m)单选题1．（24-25高二上·湖南怀化·期末）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）直线的斜率为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（

）A．直线的截距式方程为B．直线的截距式方程为C．直线的斜截式方程为D．直线的斜截式方程为4．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知为非零实数，且满足，则一次函数的图象一定经过第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四8．（24-25高二上·山西·阶段练习）直线