专题02 直线与圆中对称问题的十大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

2/37专题02直线与圆中对称问题的十大题型题型一：点关于点对称 3题型二：点关于直线对称 3题型三：直线关于点对称 4题型四：直线关于直线对称 5题型五：圆的自对称性的应用 5题型六：求圆关于点或直线对称的圆 6题型七：光的反射问题 7题型八：利用对称问题求距离之和的最值 8题型九：利用对称问题求距离之差的最值 9题型十：对称问题的实际应用 10【知识点综述】1．点关于点的对称求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解.设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).2．直线关于点的对称求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤：(1)由平行直线系设出直线l'的方程；(2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)；(3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程.3．两点关于某直线对称设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y).(1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则.(2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则.(3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y).则，由此可求出B(x,y).(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)4．直线关于直线对称直线关于直线对称有两种类型：(1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2.(2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2.5.与圆有关的对称问题(1)若两圆关于某点对称，则这两圆的圆心关于该点对称，半径相等；(2)若两圆关于某直线对称，则这两圆的圆心关于该直线对称，半径相等；(3)任意一个圆关于它的任一条直径所在直线对称；(4)任意两个圆关于它们的连心线所在直线对称;(5)任意两个等圆关于它们连心线的垂直平分线对称.题型一：点关于点对称点关于点对称实质是中点坐标公式的应用.一般地，点P(x,y)关于点(a,b)的对称点为Q(2a-x,2b-y).1．（24-25高二上·北京·期中）点A−1,2与点B2,5的对称中心是（

A．32,32 B．12,2．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点A(2,−3)关于点B(−1,0)的对称点A'的坐标是（

A．(5,−6) B．(−4,3) C．(3,−3) D．13．（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知不同的两点Pa,−b与Qb+1,a−1关于点3,4对称，则ab=（A．−5 B．14 C．−14 D．54．已知的顶点的坐标为，为其角平分线，点在边上，关于点的对称点在上，则点的坐标及直线的方程分别为（）A.B.C.D.题型二：点关于直线对称(1)利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则(2)合理利用点关于直线对称求对称点的公式能更快的求解对称点坐标，需记忆公式，强化练习:点x,y关于直线Ax+5．（24-25高二上·广东佛山·期中）点2,1关于直线x−y+1=0对称的点的坐标为（

）A．−2,5 B．0,3 C．0,−1 D．−1,26．（24-25高二上·北京·期中）若点a,b关于直线y=2x的对称点在y轴上，则a,b满足的条件为（

）A．4a−3b=0 B．3a−4b=0C．2a−3b=0 D．3a−2b=07．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线l:2x−y−6=0，则点M1,1关于直线l的对称点N的坐标为（

A．−1,5 B．5,−1 C．−5,1 D．1,−5题型三：直线关于点对称求直线关于点对称的直线方程的主要方法有二：(1)求出直线上两点关于点对称的点的坐标，再由求得的两点确定所求直线的方程；(2)若两直线关于点对称，则这两直线互相平行，利用平行的直线系方程设出所求直线方程，再利用对称中心到这两条直线距离相等求出待定系数，即得所求直线方程.8．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）直线l:y=2x+3关于点P（2，3）对称的直线l'的方程是（

）A．2x−y−5=0 B．2x+y−5=0C．2x−y+5=0 D．2x+y+5=09．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线x+2y−3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则实数b的值为（

）A．2 B．6 C．−2 D．−610．（24-25高二上·江西吉安·期中联考）点P1,2在直线l上，直线l1与l关于点0,1对称，则一定在直线l1A．12,32 B．−1,311．过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程．题型四：直线关于直线对称求直线关于直线对称的直线方程的策略是：(1)当已知直线与对称轴相交时，求出两直线的交点，该交点一定在对称后的直线上；(2)在已知直线上取一点，求出该点关于直线对称的点，两点即可确定所求直线的方程.(3)当已知直线与对称轴平行时，所求直线也与对称轴平行，此时可设直线系方程求解.12．（24-25高二上·山东青岛·期中）直线y=2x+1关于x轴对称的直线方程为（

）A．y=12x−1C．y=−2x+1 D．y=−2x−113．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线l1:x−2y+1=0与直线l2:x−2y+2=0关于直线l:2x−4y+C=0对称，则A．1 B．2 C．3 D．414．已知直线：与关于直线对称，与平行，则（

）A． B． C． D．215．已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为.16．如果直线与直线关于直线对称，那么，．题型五：圆的自对称性的应用任意一个圆都关于直径所在直线对称，也关于原点对称，常利用圆的自对称性列出关于参数的方程来解决相应的含参问题.特别地，若圆关于已知直线对称，则圆心必在这条直线上.17．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（

）A．1 B．2 C．3 D．418．（多选）（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（

）A．若圆C关于直线l对称，则的最大值为20B．若圆C关于直线l对称，则C．存在实数a使得圆C与直线l相离D．无论取a任何实数，圆C都和直线l相交19．（23-24高二上·辽宁·期中）若圆关于直线对称，则圆C的面积为（

）A．π B．2π C．4π D．6π20．（2025安徽合肥·二联）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．内含21．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若圆C：关于直线对称，则由点（a,b）向圆所作的切线长的最小值是A．2 B．3 C．4 D．622．（2025·湖北·模拟预测）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6题型六：求圆关于点或直线对称的圆对于圆的对称问题往往转化为圆心间的对称问题，由对称性可知，两圆半径相等，故求得圆心坐标后即可得对称圆的方程.23．（24-25高二上·吉林·期末）若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（

）A． B．C． D．24．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．25．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线l对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．26．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆C与圆：(x-1)2+y2=1关于直线y=－x+2对称，则圆C的方程为（

）．A．(x-1)2+y2=1 B．(x-2)2+(y-1)2=1C．(x+1)2+(y-2)2=1 D．x2+(y-2)2=1题型七：光的反射问题光的反射问题可转化为关于点或关于直线对称的问题，此时要注意入射光线和反射光线关于法线对称，关于镜面对称.27.(24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点P0,1射出，与x轴相交于点Q2,0，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（

）A．x−2y−1=0 B．x−2y+1=0C．x−2y−2=0 D．x+2y−2=028．（2025高三·全国·专题练习）光线自点2,4射入，经倾斜角为135∘的直线l：y=kxA．14,2 B．14,1 C．13,2 D．13,129．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知光线从点A−2,1射出，经直线x−y+10=0反射，且反射光线所在直线过点B−8,−3，则反射光线所在直线的方程是（A．x+11y+41=0 B．x−11y−25=0C．11x−y+85=0 D．11x+y+91=030．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点A(2,0),B(0,2)，从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（

）A．3 B．10 C．33 D．31．已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为.（1）求圆的方程；（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程.题型八：利用对称问题求距离之和的最值定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短.32.（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．33.已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（

）A． B． C． D．34.（24-25高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C．13 D．35．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为．36．在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为．37．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为．38．已知，．(1)若直线l过点，且点A，B到l的距离相等，求直线l的方程；(2)在y轴上存在一点P，使得的值最小，求出点P的坐标．题型九：利用对称问题求距离之差的最值定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短.39.已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．140．（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为.41.已知实数满足，则的最大值为．42．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知，则的最小值.43.已知直线：．(1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程；(2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标．题型十：对称问题的实际应用对称问题在实际应用中较为广泛，对于这类问题，要注意通过画图，将问题转化为数学问题，再借助点、线对称知识求解.44.（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B−2,0，若将军从山脚下的点A13,0处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3A．1453 B．5 C．15 D．45．（2025·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A−3,0，若将军从山脚下的点B−1,1处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1，