专题2.4 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册原卷版

27/28专题2.4圆与圆的位置关系教学目标1.能根据两圆的方程判断两圆的位置关系.2.能利用两圆的位置关系解决一些相关问题.教学重难点1.重点(1)判断两圆的位置关系；(2)解决两圆的公共弦及两圆的公切线问题2.难点(1)求两圆的公切线长；(2)由两圆位置关系求参．知识点01圆与圆的位置关系（重点）1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其中，外离与内含统称为，外切与内含统称为2.圆与圆的位置关系的判断（1）几何法若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系2.代数法设圆:，圆:联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其=1\*GB2⑴圆与圆；=2\*GB2⑵圆与圆；=3\*GB2⑶圆与圆.【知识剖析】比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法.【即学即练】1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圆与圆的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．外离 D．相交2．（24-25高二上·陕西西安·期末）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．外切 D．内切知识点02两圆的公切线（拓展）两圆的公切线是指与两圆都相切的直线,可分为外公切线和内公切线.两圆的公切线有如图所示的5种情况:(1)外离时,有公切线,分别是外公切线,内公切线;(2)外切时,有公切线,分别是外公切线,内公切线;(3)相交时,有公切线,都是外公切线;(4)内切时,有公切线;(5)内含时,公切线.【即学即练】1．（2025·山东·模拟预测）已知圆与圆有三条公切线，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北孝感·期末）圆与圆的公切线共有条知识点03两圆的公共弦（拓展）1.两圆公共弦所在的直线方程两圆相交时,有一条公共弦,如图所示,设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②①-②,得.③若圆C1与圆C2相交,则③为直线方程,设P(x0,y0)为圆C1与圆C2的交点,则点P(x0,y0)满足x02+y02+D1x0+E1y0+F1=0和x02+y02+D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E即点P(x0,y0)满足直线方程,故P(x0,y0)在③所对应的直线上,③表示过两圆C1与C2交点的直线,即公共弦所在直线的方程.【即学即练】1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B． C． D．2．已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为.知识点04常见的圆系方程（拓展）常见的圆系方程1、同心圆圆系(1)以为圆心的同心圆圆系方程:;(2)与圆同心圆的圆系方程为:;2、过线圆交点的圆系过直线与圆交点的圆系方程为:__________________________;3、过两圆交点的圆系过两圆交点的圆系方程为,此圆系不含).【知识剖析】(1)对于过两圆交点的圆系方程，当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:.【即学即练】1．（2024高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．C． D．题型01圆与圆的位置关系的判断【典例1】（24-25高二下·广西南宁·月考）已知圆.动点在直线上运动，现以点为圆心半径为作圆记为，则圆与圆的位置为（

）A．相离 B．相交 C．内含 D．相交或相切判断圆与圆的位置关系的一般步骤（1）将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要);（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径；（3）求两圆的圆心距d；（4）比较d与的大小关系；（5）根据大小关系确定位置关系.【变式1-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式1-2】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离题型02由圆与圆的位置关系求参数【典例2-1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆与圆外切，则（

）A． B． C．7 D．13【典例2-2】（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（

）A． B．C． D．由圆与圆的位置关系求参数的策略根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.【变式2-1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型03由两圆的位置关系求圆的方程【典例】求与圆C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1),且半径为1的圆C2的方程.由两圆的位置关系求圆的方程的具体策略这类问题主要有两种题型：一是两圆相切时已知其中一个圆的方程求另一个圆的方程，此时要注意两圆是内切还是外切;二是求过两圆交点的圆的方程，这类问题可直接求出两圆交点，再借助圆的几何性质求解，也可借助圆系方程巧解.【变式3-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）写出一个半径为，且与圆：及直线：都相切的圆的方程只需写出符合条件的一个方程即可【变式3-2】（2025高三·全国·专题练习）已知圆的方程为，试写出一个圆心在原点且与圆相切的圆的方程为．（写出一个即可，若写出多个答案，以第一个答案判分）【变式3-3】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的圆的方程：.①与圆相切，②与x轴相切.【变式3-4】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知圆.(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程.题型04两圆的公共弦问题【典例】（24-25高三下·黑龙江·阶段练习）圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．4解决两圆公共弦问题的一般步骤第一步：判断两圆有没有公共弦；第二步：如果存在公共弦，那么只需要将两圆的方程相减，即可求得公共弦所在直线的方程；第三步：求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；第四步：利用勾股定理求出公共弦长.【变式4-1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知圆与圆交于、两点，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式4-4】（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（

）A． B． C． D．题型05公切线的条数问题【典例5-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆与圆的公切线条数是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（

）A． B． C． D．由位置关系确定两圆公切线的条数先判断两圆的位置关系，再由位置关系确定两圆公切线的条数,当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，它们的公切线条数分别为：4条，3条，2条，1条，0条.【变式5-1】（24-25高二上·山东·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【变式5-3】（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【变式5-4】（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（

）A． B．C． D．题型06求公切线方程及长度【典例】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（

）A．3 B．5 C． D．4两圆的公切线方程及公切线长求解策略(1)求两圆公切线方程的方法：设出两圆公切线方程，再利用两圆圆心到公切线的距离各等于相应圆的半径.(2)外公切线长公式：外公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.(3)内公切线长公式：内公切线长（d为圆心距，分别为两圆的半径.【变式6-1】（24-25高二上·广西南宁·期中）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为.【变式6-2】（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为．【变式6-3】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程.题型07圆系方程的应用【典例】（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：．(1)求过点且与圆C相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．圆系方程的应用策略求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简捷.【变式7-1】（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为．【变式7-2】已知圆C1:x2+y2-x+y-2=0和圆C2:x2+y2=5.(1)求两圆公共弦所在直线的方程,并求出公共弦长;(2)求过圆C1和圆C2的交点,且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程.题型08动圆圆心的轨迹问题【典例】（2024·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．求动圆圆心的轨迹方程求动圆圆心轨迹方程的方法,即设圆心坐标为(x,y),利用两圆相切的几何性质,及两点间距离公式得到x,y之间的关系.在化简时,要注意结合图形确定方程中自变量x的取值范围.【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A．B．或C．D．或【变式8-2】（2025·江苏·高二开学考试）若圆C1:x2+y2A．aB．aC．AB中点的轨迹方程为xD．AB中点的轨迹方程为x题型09圆与圆的位置关系与其他知识的交汇【典例】（23-24高二上·浙江·期中）已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件两圆位置关系与其他知识的交汇两圆的位置关系常与集合、充分性与必要性交汇，考查集合运算或充分性、必要性的判断，对于这类题型，要注意各个击破的策略，即分别利用圆的知识和集合、逻辑知识进行作答.【变式9-1】（2025·浙江台州·高二期中联考）设m∈R，已知圆和圆：，则“”是“圆C1和圆C2相交”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式9-2】（23-24高三上·全国·阶段练习）“或”是“圆与圆存在公切线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型10两圆位置关系的新定义题【典例】（多选）（24-25高二上·福建厦门·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（

）A．圆的方程是B．的取值范围为C．圆与圆有四条公切线D．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，该直线斜率为与两圆位置关系有关的新定义题破解策略求解两圆位置关系新定义题，需精读定义，转化为数学式；对比传统关系，借助图形辅助，分类讨论、代入验证，留意隐含条件.【变式10-1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）“晚旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图阴影部分）．已知圆，，其中．为圆与圆的交点，若弦将圆分为长度之比为1:2的两段弧，则组成“晚旁”的两段弧长之比为．（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1．）

【变式10-2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图是用个圆构成“卡通鼠”的形象，点是圆的圆心，圆过坐标原点；点、均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．

(1)求圆心与圆心的坐标；(2)已知直线过点若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，求出的值.一、单选题1．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交于、，则所在直线方程是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，则这两个圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．2或-1 D．3或5．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（

）A．1 B． C． D．26．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（

）．A．5 B． C． D．107．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为（

）A．0 B． C． D．二、多选题9．（2025·广西河池·二模）已知圆方程为，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围为B．若已知在圆内，则C．若，则直线与圆相离D．若，圆关于直线对称的圆方程为10．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（

）A．若，则两圆外切B．若，则直线为两圆的一条公切线C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为D．若，则两圆公共弦的长度为11．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知