专题3.1 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册（原卷版）

13/14专题3.1空间向量基本定理教学目标1.理解并记住空间向量基本定理的内容及含义..2.理解基与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量.3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题.教学重难点1.重点通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.难点结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01空间向量基本定理如果向量是空间三个的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得.2．基与基向量（1）由上述定理可知，如果向量是空间三个向量，那么所有的空间向量组成的集合就是，这个集合可以看成是由向量生成的，这时叫作空间向量的一组基，其中都叫作．(2)空间中任意三个的向量都可以构成空间的一个基.【知识剖析】(1)基中的三个向量不共面就隐含了它们都不是零向量.(2)一个基指的是一个向量组，而一个基向量指的是基底中某一向量，两者是相关联的不同概念.【即学即练】1．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是锐角C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面2.（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（

）A．若，则，，共面B．若，，共面，则C．若，，不共面，则，，D．若，，共面，则知识点02用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【即学即练】1．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（

）A．6 B．12 C． D．2．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（

）A．若，则，，共面B．若，，共面，则C．若，，不共面，则，，D．若，，共面，则题型01基底的判断【典例1】若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（

）A． B． C． D．判断基底的方法(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【变式1-1】（2025高二上·广东·专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B．1 C．0 D．【变式1-2】（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【变式1-3】若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（

）A． B． C． D．题型02用基向量表示其它向量【典例2】（25-26高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点满足，为的中点，若，则（

）A．3 B． C．4 D．1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（）A． B．C． D．【变式2-2】（25-26高二上·广西河池·阶段练习）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（

）A． B．C． D．【变式2-3】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．题型03用空间向量基本定理解决相关的几何问题【典例3-1】（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．（注：正三棱柱的侧棱垂直于底面，底面为正三角形）(1)以为基底表示向量、；(2)若，求证：；(3)若，求．【典例3-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.(1)求的长；(2)求与所成角的余弦值.应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).【变式3-1】平行六面体，其中，，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（25-26高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，，.(1)证明：；(2)求的长度.一、单选题1．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（

）A． B．C． D．2．（25-26高二上·云南丽江·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（

）A． B．C． D．4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（

）A． B．C． D．5．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（

）A． B． C．2 D．46.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．7.如图，在平行六面体中，已知，，则直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．8．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（25-26高二上·福建·阶段练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则；B．若非零向量满足，，则有；C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面；D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底.10．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知是空间向量的一个基底，，则下列选项中不能作为空间向量的一个基底的是（

）A． B．C． D．11．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（

）A．长为B．异面直线与所成角的余弦值为C．D．三、填空题12．正方体中，．（用、、表示）13（25-26高二上·天津·阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为.（1）设，则(用表示)（2）若，，则与所成角的余弦值为.14．（25-26高二上·河南·阶段练习）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为．四、解答题15．（25-26高二上·北京昌平·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点.(1)求；(2)求16．（25-26高二上·贵州·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，，，E是棱的中点，点F在棱上，且.设，，.(1)用向量，，表示向量与；(2)求向量与夹角的余弦值.17．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，.设．

(1)试用表示向量，，(2)求；(3)求证：18．（25-26高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱柱中，