专题3.2 空间向量的坐标运算及应用（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册（原卷版）

12/14专题3.2空间向量的坐标运算及应用教学目标理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.教学重难点1.重点利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合.2.难点利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具知识点01空间向量的坐标表示标准正交基在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴作向量这三个向量就构成空间向量的一组基，这组基叫作标准正交基.正交分解把一个空间向量分解为三个的向量，叫做把空间向量进行正交分解.3.向量在标准正交基下的坐标(1)根据空间向量基本定理，对于任意一个向量都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z)，使得.反之，任意给出一个三元有序实数组（x,y,z），也可找到唯一的一个向量与之对应.这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量在标准正交基下的坐标，记作，单位向量都叫作，实际上分别是向量在方向上的.(2)在空间直角坐标系中,若点P的坐标为(x，y，z)，则向量eq\o(OP,\s\up12(→))的坐标也是(x，y，z).4.向量的坐标若点A的坐标为，点B的坐标为，则也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.【知识拓展】向量坐标有关的重要结论1.向量的坐标实质是向量的正交分解的系数.2.两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即：设,则.3.与平面向量一样，空间向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标.【即学即练】1.如图,在直角坐标系中,有长方体OABC-,且OA=6,OC=8,(1)写出点的坐标,给出关于的分解式;(2)求的坐标.知识点02空间向量的坐标运算1．空间向量加减法、数乘的坐标运算若，则=1\*GB3①；②;③.2．空间向量数量积的坐标运算若，则,即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。3．空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式设,则(1)空间向量的模：；(2)空间向量的夹角公式：.【即学即练】1.已知向量，，则（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·天津滨海新·阶段练习）已知向量，，则等于（

）A．7 B． C．3 D．3．（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为（

）A． B． C． D．知识点03空间向量平行和垂直的条件设,则(1)若(2)当都不为0时,

（3）【即学即练】1.（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）下列向量中，与共线的是（

）A． B． C． D．2.已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为．3．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为题型01空间向量的坐标表示【典例1】在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（

）A． B．C． D．空间向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点的坐标.【变式1-1】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知点，若向量，则点的坐标是（

）A． B． C． D．题型02空间向量的运算【典例2-1】若，，则（

）A． B． C． D．【典例2-2】（24-25高二上·河北·阶段练习）若，则（

）A．-29 B．-22 C．22 D．29空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有类似的运算法则，因此可以类比进行推导和记忆.【变式2-1】已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】在空间直角坐标系中，若，且，则（

）A． B． C．3 D．题型03空间向量的模长【典例3-1】已知，向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【典例3-2】已知空间向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．14若，则.【变式3-1】在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（

）A． B．2 C． D．【变式3-2】已知，，且，则．题型04空间向量夹角大小【典例4-1】已知向量，，且．(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值．【典例4-2】知向量，(1)若，求实数；(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．两个向量夹角的坐标计算公式设，则【变式4-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段练习）已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则【变式4-3】已知向量，，(1)求的值；(2)求；题型05空间向量平行与垂直【典例5】（25-26高二上·天津·阶段练习）已知空间向量，，.(1)若，求x；(2)设，，求；(3)若向量与向量共面，求实数x的值.两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）【变式5-1】设，向量，，，且，，则（

）A．5 B．1 C． D．【变式5-2】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）已知，且，则（）A．2 B．6 C．1 D．题型06空间向量的共面问题【典例6】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（

）A． B．C． D．在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。【变式6-1】（多选）已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（

）A．若，则B．若，则C．若，则不论取何值，四点都共面D．若，则点到平面的距离为【变式6-2】已知向量．(1)若共面，求的值；(2)若，求的值．题型07最值与范围问题【典例7】已知空间四点．(1)求以为邻边的平行四边形面积；(2)若四点共面，求的值；(3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．涉及最值问题常用函数思想求解，即通过空间向量的坐标运算建立函数解析式，再利用函数思想求其最值.【变式7-1】在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为，此时.【变式7-3】（25-26高二上·北京·阶段练习）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，．(1)写出，写出（用含x的式子表示）；(2)当，写出的最小值及此时x的值．单选题1．（25-26高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，则（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（

）A． B．C． D．3．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间向量，若，则（

）A．4 B．8 C．12 D．164．（25-26高二上·河北沧州·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，若四点共面，则的值为（

）A． B． C．1 D．25．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知空间向量，，，则的最小值为（）A． B． C． D．6．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．7．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，等腰梯形的三个顶点分别为，，且分别为等腰梯形的腰，则点的坐标为（

）A．B．C．D．8．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．多选题9．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，则下列计算正确的是（

）A． B．C．与的夹角满足 D．10．（25-26高二上·广西河池·阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．（25-26高二上·湖南·阶段练习）对于两个向量，，定义为，的“向量积”，该运算的结果是一个向量：，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，是非零向量，且为零向量，则一定有C．若，是平面内的两个不共线的向量，则平面的法向量可以是D．若，是非零向量，且，则，的夹角为填空题12．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）若空间三点，则的面积为.13．（25-26高二上·广东·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，动点满足，其中，且，则点轨迹的面积为．14.如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为．解答题15．（25-26高二上·天津东丽·阶段练习）已知，，，，.(1)求，，；(2)求与所成角的余弦值.16．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知向量，，.(1)若，求；(2)若不构成空间的一组基，求x的值.17．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）正方体的棱长为2，且分别为线段与线段的中点．(1)求线段的长；(2)证明：；(3)用空间向量法证明：直线与直线为一组异面直线．18．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知空间三点，，．(1)求线段中点的坐标，和线段的