高中三年级数学《计数原理II-加法原理》

计数原理II---加法原理主讲人：1.通过实例,学习和掌握计数原理II----分类加法原理，2.区分分步与分类的差别,理解乘法与加法原理的异同点,掌握解决计数问题的最基本方法:“枚举法”或“树型图”在乘法和加法原理中的区别3.利用加法原理解决简单的实际问题教学目标:一.引入问题1.在长江上游的某城市,连接两岸有4座桥、3条公路隧道、2条地铁隧道和1条观光隧道.,有多少种不同的过江走法?长江桥4条隧道3条地铁2条观光隧道1条岸北岸南有4+3+2+1=10种不同的走法二.分类加法原理:③“类与类”之间是“或”的关系;而“步与步”之间是“且”的关关系;“分类加法”原理:如果完成一件事需要n类办法,在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m2种不同方法,

…,在第n类办法中有mn种不同方法,那么完成这件事共有:N=m1+m2+…+mn种不同办法.“分类”理解:①类与类之间不能重复也不能遗漏;②“分类”与“分步”的不同点:“分类”中的每一类方法都能独立完成一件事;“分步”中的每一部的方法都无法独立完成一件事;④“分类”与“分步”的图示区别:完成“从A到B”事件第1类第2类第n类AB……分类分步AB第1步第2步第n步……三.计数原理II—分类加法原理的简单应用例1.从甲地到乙地可以乘火车,也可以乘汽车或轮船.如果一天中火车有6班、汽车有5班轮船有3班,那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?解:由题意知:独立坐火车(或汽车或轮船)可以完成从甲到乙事件,故分三类:共有6+5+3=14种走法.火车6汽车5轮船3甲乙分类例2.用红黄蓝的小旗各一面挂在旗杆上表示信号,每次可以挂一面或二面或3三面,并且不同的顺序表示不同的信号,共可表示多少种不同的信号?解:N=P3+P3+P3=15种不同的信号123析:题意中出现的数字是一个四位数,其限制条件是首位是3~7之间的整数,末位是奇数的各位数上数字均不同.完成四位奇数必须分二类:①首位是3~7的奇数;②首位是3~7的偶数例3.在3000到8000之间,有多少个没有重复数字的奇数?解:第①类首位选取的数是3,5,7之一的数有P3种,此时末位只能在余下4个奇数中选1个放末位有P4种,在余下8个数中选2个排放在十、百位上有P8种,∴有P3P4P8种;112112

第②类首位选取的数是4,6之一的数有P2种,此时末位是5个奇数中选1个放末位有P5种,在余下8个数中选2个排放在十、百位上有P8种,∴有P2P5P8种;112112∴P3P4P8+P2P5P8=1232个112112P82P31P41P82P21P51例4.如果从7名运动员中选4名运动员组成接力队,参加4×100接力赛,那么甲、乙两人不跑中间两棒的安排方法有多少种?析:按照4名运动员中,①含甲、乙两人;②含甲、乙两人之一;③不含甲、乙两人进行分类解:①含甲、乙两人,但甲、乙两人不跑中间两棒有:P2P5种22②含甲、乙之一,但该人不跑中间两棒有:P2P2P5种113③不含甲、乙,有:P5种4由加法原理得到:共有P2P5+P2P2P5+P5=400种121234中间两棒有:P52中间两棒有:P53③不含甲、乙的有P54①甲、乙跑1、4棒有P22②甲、乙之一跑1、4棒有P2P211例5.用数字0、1、2、3、4、5可组成多少个无重复数字且比240135大的整数析:按首位数字:比2大且小于等于5和等于2(再按次首位数字比4大或等于4分类;…)进行大分类;解:1.首位

3的六位数有:P3P5

15

2.首位=2的六位数分:2

(1)次首位

5的六位数有:P1P4

14

(2)次首位=4的六位数分:4

此时千位数字若

1的六位数有:P3P3

13若=0的六位数分:021百位数字若

2的六位数有:P2P2

1百位数字若=1的六位数有:P113由加法原理:P3P5+P1P4+P3P3+P2P2+P1=40714111152析:采用排除法使解决问题的过程简化∴符合题意的数有:P3P5+P2P4-1

=4071514◎善于观察,在24××××中,注意到0135是符合条件的四位数中最小数,换作其它的数,还是要按前面解法.②首位是2,则第二位是4,5的数有P2P4=48;142其中要排除240135一个数,4解:①首位是3,4,5的六位数都符合题意P31P5515P3P5=360;例5.用数字0、1、2、3、4、5可组成多少个无重复数字且比240135大的整数例6.将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列,其中a不排在首位,b不排在末位,有几种排法?分析:该问题有2个特殊元素,同时有2个特殊位置,应符合优先原则,先排.

注意:a不排在首位,a可排在末位,b同理解:①a不在首位,a在末位,有:P55a②a不在首位且a不在末位,则a排放方法有:P4,11再考虑元素b不在末位,有:P4,其余元素的排放方法有:P4

4∴符合题意排法有:P5+P4P4P