平行线的性质（同步练习）原卷版-2024华东师大版七年级数学上册

4.2.3平行线的性质

A夯基础

题型一根据平行线的性质求角的度数

1.（22-23七年级下•重庆沙坪坝•期末）如图,4DIIBC,FC1CD,zl=乙2,乙B=60。/B3尸的度数是.

2.（23-24七年级上•四川宜宾•期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起,〃=60。,4=30°,

△B=4E=45。.点E在直线AC的上方，且N4CEV90。，当这两块三角板有一组边互相平行时，心力CE的

度数是,

3.（23-24七年级上•全国•单元测试）如图，ABWCD,3^ABF=2^ABE,3^CDF=2乙CDE,则尸=―

4.（22-23七年级下•广东•期末）如图，已知48||CO,4c平分A4BD,交AD于点E.

（2）若AD18。于点。，Z.CDA=28°,求乙3的度数.

5.（22-23七年级下•浙江杭州•期末）如图,5811c2,直线分别与CD交于点E,F,连结2C,AF.已

知乙EA"=乙ECF.

（1）若/1=40。,求上2的度数;

⑵判断力F与EC的位置关系，并说明理由；

（3）若E4平分乙试说明EC平分乙BEF.

题型二根据平行线的性质探究角的关系

6.（23-24七年级下•湖北孝感・单元测试）如图，ABWDE,BC1CD,设448尸=a,乙CDE=0,则a与夕之

间的数量关系正确的是.

7.123-24七年级下•山东德州•期末）如图，MN||CD,思考解决式列问题：试探究乙1+42+43+Z4+…+

Z.77?=__________

8.（23-24七年级下•安徽安庆•期天）把一块含60。角的直角三角尺E/G（其中4EFG=90。，zFGF=60°）

按如图所示的方式摆放在两条平行线力氏。。之间.

图2

（1）如图1，若三角尺的60。角的顶点G落在。。上，且乙1=2/2,则41的度数为.

（2）如图2,若把三角尺的直角顶点〃落在48匕60。角的顶点G落在。。上，则乙1FG与4EGD的数量关系

9.（23-24七年级下•辽宁铁岭•期口）已知直线川电，直线G与直线%分别相交于。、。两点♦

图a图b

（1）如图a,有一动点尸在线段CO之间运动（不与C、。两点重合），问在点P的运动过程中，zl,△2、匕3又

怎样的数量关系？试说明理由.

（2）如图〃，当动点尸线段CD之外运动（不与C、。两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新

的结论并说明理由.

10.（22-23七年级上•吉林长春・期末）如图，48IICD,点£：、F分别在直线4B、CD上，点、P是AB、CD之

间的一个动点.

图①图②备用图

⑴如图①，当点尸在线段“左侧时，求证：LAEP,LEPF,乙DFC之间的数量关系.

⑵如图②，当点P在线段£尸右侧时，Z.AEP,乙EPF,乙P/C之间的数量关系为.

⑶若4PEB,"FD的平分线交于点Q,且4EPr=70°,则N£QF=.

题型三平行线的性质在实际生活中的应用

11.（23-24七年级下•河南郑州•期末）如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手48与底座C。都平行

于地面，靠背OM与支架0E平行，前支架0E与后支架。产分别与CD交于点G和点。，AB马CD交于点、N,当

“"二90。，乙。。。二30。时，人躺着最舒服，求此时乙10E和匕4NM的度数.请补充求解过程，并在括号

内添上相应的理由.

解：因为扶手与底座CD都平行于地面，即A8IICD,

因为乙ODC=30°（已知）.

所以48。0="DC=30°（）.

因为4AOE+ZEOF+=180。（平角的定义）,

又因为匕EO产=90。（已知）,

所以N/OE=。（等式的基本性质）.

因为DM||OE（已知），

所以44N。=乙4OE=°（）.

所以4ANM=180°-LAND=。（平角的定义）.

12.（23-24七年级下•全国•期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照

明角度.图②是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头A8与支架CO平行时可达到最佳照明角度，

此时支架8C与水平线8E的夹角4CBE=130°,两支架BC和CZ）的夹角48CD=110°.

图①图②

⑴求此时支架CO与底座MN的夹角々COM的度数：

⑵求此时灯头与水平线BE的夹角心力口£的度数.

13.（22-23七年级下•湖南常德•期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其

主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知力BIIC。，CGWEF,4BAG=

150°,LAGC=80°,求4DE/的度数.

14.（22-23七年级"河北保定•阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知

/-MAC=120°,乙NBE=60°.

驱逐舰巡洋舰

⑴己知驱逐舰在4C方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判

断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；

⑵已知驱逐舰到达点C后沿C-0继续航行，巡洋舰到达点E后沿E-尸继续航行，且MN||EF,乙ACD=

140°.若驱逐舰在原航向上向左转动以0。＜。V180。）后，才能与巡洋舰航向相同，求a的值.

15.（23-24七年级下•广西南宁•期中）阅读材料，解决问题：

【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点。并垂直于反射面的直线。N叫做法线，入射光

线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且i=r，这就是光的反射定律.

图1图2

（1）在图1中，证明/1=42；

【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，AB,CD是平行

放置的两面平面镜，E尸是射入潜望镜的光线，GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，

光线经过平面镜反射时，有21=42,Z4=Z5.

（2）请问43和乙6有什么关系？步说明理由：

（3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜4B,CO

的位置，并给出建议（合理即可）.

题型四根据平行线的性质与判定求角度

16.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图,己知力8||CD,乙ABE=150°,乙CDE=85°,求的度数.

17.(23-24八年级上•陕西咸阳・期末)如图，在四边形尸EB。中，，为。尸上一点，。为B。上一点，连接8H,

CH,若乙HCO=乙EBC,乙BHC+乙BEF=180°.

(1)求证：EFIIBlh

(2)若8H平分NE8。，EF1OF,Z.HCO=64°,求乙CHO的度数.

18.(23-24七年级下•全国•期末)探究：如图①，AB||DF,试问乙8、NE、々BCE有什么关系.下面给出了

这道题的解题过程，请你完成下列填空：

解：如图①，过点C作CFIIAB,0ZF=Z1(_).又EL4B||DE,AB||CF,0_(_),

团4E=42(_),0ZF+(E=Z1+〃,即」

应用：如图②，直线。II%，ABLllf垂足为O,8c与。相交于点£若=30。，求的度数；

拓展：如图③，AB||EF,BCLCD于点、C,/-ABC=30%^DEF=45°,则4CDE=_.

19.(23・24七年级下•全国•单元测试)如图，已知48||CD,44+41=180。.

AB

C

E

(1)求证:AEWBD；

⑵若4E=80°,匕力8。的角平分线8尸与4COE的角平分线。尸交于点F,BF与CD交于点、M,Z1=116。，求

的度数.

20.(24-25八年级上•湖南长沙•阶段练习)如图，在△ABC中，E,G分别是AB,4C上的点，F,。是BC上

的点，连接EF,AD,DG.ABWDG,zl+Z2=180°.

⑴求证：ADWEF；

(2)若DG是NADC的平分线，42=140。，求乙B的度数.

题型五根据平行线的性质与判定证明

21.(24-25八年级上•广西梧州•期中)如图，已知点。在直线48上，过点。作0E10D,

G是射线。8上一点，连接DG,满足NOOG+4DOG=90。.

(1)求［正：AAOE=Z.ODG-

(2)若400G=乙C,求证：CD||0E.

22.(23-24七年级下•云南曲靖•阶段练习)如图，已知41=48。，Z2=132°,LC=zZ).

(1)求证:BD||CE；

⑵若乙4=40。，求匕尸的度数.

23.(24-25七年级上•全国•课后作业)已知82||04/8=乙4=100后试回答下列问题:

⑴如图①，判断。8,AC是否平行.

（2）如图②，若点E,F在8。上，且满足乙FOC=匕力。。，并且0E平分48。凡求NEOC的度数.

⑶在（2）的条件下，若平行移动4C,如图③，那么4与N0C8的度数之比是否随之发生变化？若变化，

试说明理由；若不变，求出这个比值.

24.（24-25八年级上•江西吉安•开学考试）两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行

转化.例如：如图1,MN||PQ,点C、3分别在直线MN、PQ上,点A在直线MN、PQ之间.

（1）求证：Z-CAB=/.MCA+Z.PBA；

⑵如图2,已知直线48IICD,P为平面内一点，连接P4,PD.若44=50。，ZD=150°,求N4PD的度数.

题型六利用绝对值的几何意义求最值

25.（22-23七年级下•广西来宾•期中）点P,Q分别在直线48,CD上,且AB||CD,点P到CD的距离为7cm,

则点Q到的距离（）

A―*----------------B

C

Q~D

A.大于7cmB.小于7cmC.等于7cmD.不能确定

26.（23-24八年级下•福建厦门•期末）如图，直线打口，点力，B在，1上，点C,D,E在，2上，若乙。4E==

90%则下列线段的长度是匕到％的距离的是（）

C.ADD.BE

27.（23-24八年级下•山东济宁・期末）已知直线a,b,c在同一平面内，且a||b||c,a与b之间的距离是5cm,

b与c之间的距离是2cm,贝必与c之间的距离是（)

A.3cmB.7cmC.3cm或7cmD.无法确定

28.（21-22七年级下•贵州遵义•阶段练习）如图,直线allb,力B与a,b分别交于点4B,RAC1AB,AC交

⑴若41=60。,求42的度数：

⑵若AC=6,4?=8,BC=10,求直线a与b的距离.

题型七利用平行线之间的距离解决问题

29.（24-25七年级上•古林•开学考试）如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（）

A.无法比较B.①与②相等

C.①是②的2倍D.①是②的3倍

30.（24-25七年级上•河南南阳•开学考试）在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（）.

A.平行四边形的面积最大B.三角形的面积最大

C.梯形的面积最大D.三个图形的面积都相等

31.（23-24七年级下•贵州铜仁•期中）如图，在梯形A8C。中,AB||CD,若S”sc=9cm2,那么等于

)

DC

B.9cm2C.10cm2D.11cm

32.（23-24七年级下•河北沧州♦期天）如图，点尸在直线，〃上移动,A,B是直线〃上的两个定点，且直线mim.对

于卜.列各值，不会随点P的移动而变化的是（）

A.4力PB的大〃、B.APAB的周长

C.AP48的面积D.以上答案都不对

33.（23-24八年级下•全国•课后作业）如图，在四边形力BCD中，4）IIBC,对角线4C,BD交于点0,若△AOB

的面积为8,求△C。。的面积.

B提能力

题型八利用绝对值的几何意义求最值

34.（23-24七年级下•安徽芜湖•期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平

行线进行转化.

已知直线48IICD,P为平面内一点，连接PD.

（2）如图2,设=猜想a,夕，2P之间的数量关系，并证明;

(3)如图3,AP1PD,Z.ODN=-Z-PDC,AN交DP于点O,Z.PAN+-Z.PAB=^P,求4N的度数.

35.（23-24七年级下•山西晋中•期中）综合与实践

【阅读理解工两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化.例如：（1）如图1,

AB\CD,APAB=131°,Z-PCD=100°,求41PC的度数.

小明的思路是：过点P作PEII/18,通过平行线性质来求N/1PC.

按小明的思路，易求得41PC.的度数为一度；（直接写出答案）

【类比应用】:

（2）如图2,ABWCD,点E在直线48、CD之间.则48,乙BED,乙。存在一定的数量关系，请认真思考

后得出结论，并进行证明.

【解决问题】

（3）小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用.他发现家中的护眼灯是一款长臂折叠LED型的（如

图3所示），£尸与桌面MN垂直.当发光的灯管4B恰好与桌面MN平行时，若上。£尸=126°,乙BCD=104°,

则/CDE的度数为

图1图2

36.（23-24七年级下•山西运城・期中）综合与实践

【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的"拐点"问题.归纳模型：若ABIICD,如图①"M〃型和如图

②铅笔型.试猜想NB4E,乙DCE,4AEC