人教版九年级数学下册 第二十七章 相似（单元测试）解析版

第二十七章相似（单元测试）

一、单选题（每题3分，共30分）

1.若线段a,b,c,d是成比例线段，且a=lcm,b=2cm,c=4cm,则〃=（）

A.8cmB.0.5cmC.2cmD.3cm

【答案】A

【分析】根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如b,c,d是成比例线段，那么只能写成

a:8=c:〃或?=不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可.

ba

【详解】解：二线段a,b,c,d是成比例线段，」La=lcm,b=2cm,c=4cm,

a.b-c\d,即1:2=4:d,

解得：d=8cm.

故选：A.

【点睛】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键.

2.下列说法错误的是（）

A.任意两个矩形都相似B.任意两个正六边形都相似

C.任意两个正方形都相似D.有一个角对应相等的菱形相似

【答案】A

【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断.

【详解】解：A、任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定成比例，所以不一定相似，故本选项符

合题意；

B.任意两个正六边形的对应角都是60。，对应边的比成比例，所以一定相似，故本选项不符合题意；

C.任意两个正方形的对应角都是90。，时应边的比成比例，所以一定相似，故本选项不符合题意；

D.一个角对应相等的两个菱形满足四个角分别对应相等，四条边对应成比例，所以一定相似，故本选项不

符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键.

3.如图是老师画出的△4AC,已标出三边的长度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的不•一•定•

相似的是（）

A

6

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.

【详解】解：A、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意;

B.因为14=：=：,且，=7,则可得画出来的三角形和△ABC相似，故选项不符合题意；

0.02o

C.知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和A/WC相似，故选项符合题意；

D.因为［=；=则可得画出来的三角形和448c相似，故选项不符合题意；

648

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

4.如图，中，。是边上一点,DE〃BC交AC于点、E,连接比，交AC于点凡则下

列结论错误的是（）.

AEAFDEAF

C.D.

~EC~~FE~BC~~FE

【答案】D

【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：:。后〃以？，DF〃BE，

,ADAE…八4尸40

••――=――,A△AQE^/\ABC,AADFSSBE,——-——,

BDECFEBD

.DEADAFDFAQ

'~BC~~AB'~AE~~BE~~AB'

.AEAFDEAF

'~EC~~FE'~BC~~AE'

・•・选项A、B、C正确，选项D错误;

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例

定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

5.如图，在“AC中，D、E分别是边A8、4c的中点，若又醒=2,则与边形伙加=()

【答案】D

【分析】根据中位线定理得出。氏8c=1：2,根据面积比等于相似比的平方得出“AC的面积即可得出四

边形4CED的面积.

【详解】解：•.•点。、£分别是线段A8、4C的中点，

.•.QE是“IBC的中位线，

..DE//BC,DE：BC=\：2,

:NADE：VABC、

3ADE=2,

・'•S&ABC=2+^=8，

••・四边形BCED的面积是8-2=6,

故选：D.

【点睛】本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等「相似比的平方得出三角形ABC的

面积是解题的关键.

6.如图，AAOBsCOD,OA:OC=9:7fZA=x°,NC=y°,△｛可与△COD的面积分别是、和$,^AOB

与的周长分别是G和则下列等式一定成立的是()

A.83=93B.7x=9y

邑

C.7sI=9D.7C,=9C2

【答案】D

【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比

解答.

【详解】解：X、TAAOBS&OD、

：.OB\OD=OA.OC=9.1,

:.7OB=9OD,本选项错误：

、♦:AAOBS/OD、

.•.ZA=NC,

「•x=y,本选项错误；

、,:MOBSEOD,

咤吗］

..495=8电,本选项错误:

、，：AAOBSSOD、

-6=2

・G7'

本选项正确：

.•.7C,=9C2,

故选：D.

【点睛】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比

解答.

7.如图，在菱形ABC。中，E为8上一点，AE,8。交于点。，若：S△皿=4：9,则等于

()

【答案】B

【分析】根据菱形的性质得到A8〃C。，AB=AD,再证明必因-血必，利用相似三角形的面积比等于

相似比的平方得到嗓DF=29即可求解.

AB3

【详解】解：•・•四边形48C。是菱形,

AAB//CD,AB=AD.

/EDO=AABO,力EO=ZBAO,

JX）ESHOA,

.DE2

..----=—,

AB3

则DE:AO=2:3,

故选:B.

【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质求解是

解答的关键.

8.AABCAOEA是两个全等的等腰直角三角形，Z^C=ZD=90°,现将两条直角边A8,AO重合，把AO绕

点A逆时针旋转a角（0。＜。＜90。）到如图所示的位置时，8c分别与相交于点尸、G,则图中相

似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

【答案】D

【分析】根据题可得△AACS.OEKNB=NC=NE=NDAE=45。,再由三角形外角的性质可得

ZAFC=ZGAB,从而得到△4AGs△/CAs^EAG,即可.

【详解】解：•••△ABC,△。丛是两个全等的等腰直角三角形，

"ABCSGEA,N8=NC=NE=/ZME=45。，

•••/AR^NB+Na,ZGAB=ZDAE+Za,

・•・ZAFC=ZGAB,

:小BGs*CA,

，LABGs^FCA4G.

综上所述：图中相似的三角形共有4对.

故选D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

9.如图，AABC中，八、△两个顶点在k轴的上方，点C的坐标是（-1，0）.以点C为位似中心，在x轴的下

方作的位似图形夕C,并把△A8C的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点"的横坐标是a,

则点B的横坐标是（）

【答案】D

【分析】过点8作皿_Lx轴于。，过点8'作轴于o,根据相似三角形的性质求出C0的长，得到

点B的横坐标.

【详解】解：如图所示，过点8作A7）_Lx轴于。，过点4'作方O_Lx轴于o，

・・・8'=。+1,

由题怠得，△他'SAA'SC,相似比为1:2,

.CD1

••=9

CDf2

ACD=1(«+1),

：.0D=-(a+\)+\=-(a+3),

22

・••点4的横坐标是-g(o+3).

故选：D.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

10.电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点8处反射后，恰好经过木板的边缘点F,落在墙上

的点七处.点E到地面的高度ED=3.5m,点尸到地面的高度R?=1.5m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,

墙到木板的水平距离为CO=4m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点4、B、C、。在同一

水平面上，则灯泡到地面的高度G4为()

E

木消卜、、、、昨彳

墙

地面。C平面镜A

A.1.2mB.L3mC.L4mD.1.5m

【答案】A

【分析】先证明△BRs△切%＞得到/=生，然后代值可得BC=3m,则A3=AC-3C=24m,再证明

BDDE

AGFC

得到一£=—上，代值计算出AG即可二

ABBC

【详解】解:由题意可得：FC//DE,

/."FCsABED

.HCFCBC1.5

即

~BD~~DEBC+4-35

解得：BC=3m,

JAB=AC-BC=5A-3=2.4m,

•・•光在镜面反射中的入射角等于反射角,

,AFBC=ZGBAf

乂：NFCB=NGAB=90°,

:.△BCFs^BAG,

AGFCAG1.5

——=——，l即fl——=——

ABBC2.43

解得：AG=L2m,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共20分）

11.如图，在△AAC中，。是A8边上一点，连接CO,要使△AQC与△AAC相似，应添加的条件是

ADAC

【答案】-46或4CO-N〃或/=而或=以"

【分析】根据公共角若两个三角形相似，则需添加•组对应角相等，或夹NA的两组对应边成比例.

【详解】•・•公共角NA，

当Z4DC=ZAC8或Z4CD=N5时，^ADC^ACB：

wADAC.

当下=—时，BADCsAACB,

ACAB

ADAC

故答案为：/A£>C=NAC8或NAC£>=4或K或AC2=ABM。.

ACAB

【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形

的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相

等，那么这两个三角形相似.

12.如图，RtA4^C的直角边AC=5,斜边AB=13,则8C=；它的内接正方形。>EF的边长为.

60

【答案】12—

【分析】由勾股定理可求出8c的长度，由正方形的性质证明△人力ESAACA,利用相似三角形的性质即可

求出正方形的边长.

【详解】解：:RLABC的直角边AC=5,斜边AB=13,

•二BC=y)AB2-AC2=V132-52=12>

设正方形SEb的边长为x,则相＞=5-x,

•・•四边形8EF是正方形，

，DE//BC,

ZAED=NB,ZADE=NC,

八ADE»FACB，

.DEADHrlx5-x

BCAC125

解得：x喈,

故答案为：12;yy.

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，正方形的

性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

13.在平面直角坐标系中，有三个点0(0,0),A(3,4),8(4,0).以点。为位似中心，在第三象限为作与△OAA

的位似图形△OCO,位似比为9，则点。的坐标为______.

4

【答案】信，

【分析】根据位似变换的性质解答即可.

【详解】解：••・以点。为位似中心，在第三象限内作与△QAB的位似图形△08.位似比为:，且A(3,4),

4

•・•点C的坐标为,即卜不一1),

故答案为：卜(，一1.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，

相似比为我,那么位似图形对应点的坐标的比等丁&或TI.

14.如图，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿A8及其影长班:和旗杆CD的影长。尸

进行了测量，测得A8=0.8m,BE=0.6m,DF=9m,根据这些数据计算出旗杆C£＞的高度为m.

BEDF

【答案】12

【分析】根据同一时刻的阳光光线平行，证明利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：如图，根据题意，AE//CF,

则NA£B=NCTO,又/ABE=NCDF=9()。,

・•・[\ABEs4CDF,

.ABBE

••=,

CDDF

VAB=0.8m,8E=0.6m,DF=9m,

.0.80.6

>•----=-----则CO=12(m),

CD9

故答案为：12.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键.

15.如图，在RiZ\A8C中，ZC=9O°,AC=3,8c=4,点E、尸分别在边AC、BC上，连接E广，沿EF

折叠该三角形，使点。的对应点。落在边48上，若V8O/是直角三角形，则C尸的长为.

【答案】三或〜

72

【分析】由勾股定理可知，A/?=5,由折叠的性质可知，CF=DF,设B=a,分两种情况讨论：①当

4FD=90°时;②当/加卯=90。时，利用相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案.

【详解】解：在RiAA"?中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=>IAC2+BC2=5*

由折叠的性质可知，CF=DF,

设CF=a,则£>F=a,BF=BC-CF=4-a,

①如图，当N8FD=90。时，此时VAZ）厂是直角三角形,

•/zBAD=ZC=90°,/DBF=ZABC,

:.ADBFSAABC,

HFDF

/.--=---,

BCAC

4-aa

---=—,

4--3

1212

解得：a=yf即。?=5；

②如图，当/瓦卯=90。时，此时V3Z»'是直角三角形,

•；4BDF=NC=/尸，/DBF=ZABC,

:△FBD^AABC,

RFDF

—=,

ABAC

4-aa

---=—,

5--3

33

解得：〃=；，即b=

综上可知，C尸的长为12?或3

72

故答案为：?1?或:3.

72

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题美键.

三、解答题（16・18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）

16.如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形A8co的顶点均在格点上.

（1）请以点0为位似中心，在网格图中作出四边形A&CD,使四边形49C7T与四边形48CQ位似，且

OCc

---=2；

OC

（2）填空：线段的长为，“1。。的面积为.

【答案】（1）见解析；

（2）85'=6上;△A'O'O的面积为10.

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出4B、C、。的对应点A、R、C、斤即可；

（2）利用勾股定理求得88'的长，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可.

【详解】（1）解：如图，四边形A'8'C。即为所求，

（2）线段的长=。6+62=6拉;

△A77O的面积=4X6-；X2X4-；X2X4—JX2X6=10.

【点睛】本题考查了位似变换（作图），勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是掌握位似变换的性

质，正确作出图形.

4/?RCAC

，7-如图’点.。上在一条直线上，跖与£相交于点区而=丽=益

A

(1)求证：NBAD=NCAE；

(2)若/曲0=21。，求NE8C的度数.

【答案】(1)见解析

(2)21。

【分析】(1)首先证明出△ABCS/XAOE,根据相似三角形的性质定理得到N84C=NA4£,即可证明

ZBAD=ZCAE；

(2)根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】⑴•••嘿=%=*，

ADDEAE

：.。8cs△A。©

/./BAC=NDAE,

・\/BAC-/DAF=ZDAE-ZDAF,即ABAD=ZC4E；

(2)VAABCCOAADE,

/.ZABC=ZADE.

*.*ZABC=ZABE+ZEBC,ZADE=ZABE+ABAD，

:.NEBC=/BAD=21。.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

18.四边形ABCQs四边形AB'C。'，AI3=4,A9=5,若四边形A8C/)的面积为12,求四边形A5'CNX

的面积.

【答案】v

4

【分析】由题意可求出四边形A8CD与四边形AB'CD的相似比为当=士,再根据相似图形面积比等于相

AD5

似比的平方求解即可.

【详解】解：•・•四边形48cos四边形AB'。。'，AB=4,A'B'=5,

ARA

，四边形A8c。与四边形Affciy的相似比为,

AB5

.S一边形八比。_♦A8、_J6即12_3

右边形AHcoIA"J25S四边形A‘B‘UO2’

•・,s3网边形A'&CTT-W9•

【点睛】本题考查相似图形的性质.掌握相似图形面积比等于相似比的平方是解题关键.

19.如图，在中，BC=12,高AO=6,正方形EFGH一边在BC上，点E,尸分别在/IB,AC上,

AD文EF于点、N,求AN的长.

【答案】2

【分析】设止方形EFG”的边长么尸二石〃=无，易证四边形£WQN是矩形，则。N=x，根据止方形的性质

得出样〃8C,推出尸s“t3C,根据相似三角形的性质计算即可得解.

【详解】解：设正方形EFG”的边长EF=EH=x,

•・•四边形EPGH是正方形，

AZHEF=ZEHG=90°,EF〃BC,

•・•AO是dBC的高，

・•・"ON=90。，

・•・四边形EWW是矩形，

/.DN=EH=x,NANE=4END=9Q0、

VBC=\2,AO=6,

:.AN=AD-DN=6-x,

•・•EF〃BC,

"AEFsgBC,

.ANEF

*'~AD~~BC'

.6-xx

..,=一，

612

解得：A=4,

AN=6—x=6-4=2,

:，AN的长为2.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质.解题的关键是掌握相似三角形的判定和

性质，矩形的判定和性质的运用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比.

20.如图所示，矩形A8CO为台球桌面，AD=280cm,AB=140cm,球目前在七点位置，AE=35cm,如

果小丁瞄准8c边上的点尸将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到。点位置，求CT的长.

【分析】首先根据台球桌面的轴对称问题和矩形性质可证明48跖SACD/Z,得到崇二三，FC=.xcm,

CDFC

贝1」瞿=身±士，即可求出的长.

140x

【详解】解：••・N£FG=NDR7,

:2EFB=/DFC.

又・,・NB=NC,

..△BEFSACDF,

BEFB

——=——,

CDFC

、儿—nJ（）5280-x

设尸C=xcm,则--=------,

140x

解得％=160.

答：CF的长为160cm.

【点睛】本题考查了轴对称，矩形性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例求边长

是解答本题的关键.

21.如图，在AABC'中，NA=90。，AB=12cm,8C=16cm.点P从点A开始沿A4边向点B以lcm/s的

速度移动，点。从点B开始沿8C边向点。以2cm/s的速度移动，如果尸、Q分别从A、B同时出发，当一

个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为，秒.

c

⑴当，为何值时，"AQ的面枳等于35cm2?

（2）探究经过多少秒后，以点8,P,Q为顶点的三角形与△C8A相似？

【答案】（1）5或7

⑵二或T7

【分析】（I）分别用含t的代数式表示PB,BQ的长，利用面积公式列方程求解即可.

（2）分两种情况讨论，结合相似三角形的性质，即可得到答案.

【详解】（1）解：根据题意得：BP=AB-AP=\2-t.BQ=2t,

・・丁尸3。的面积等于35cm"

：.-PBxBQ=35t

即^（12-r）x2r=35,

整理，得产一⑵+35=0,

解得

故当【为5或7时，WBQ的面积等于35cm2.

⑵解：根据题意得：BP=AB-AP=\2-LBQ=2t,

当ABPQSABAC时，A3=12cm,BC=16cm

BABC

,12-/2/

・•----=一，

1216

24

解得：，=彳：

当△8QPs/\8AC时，丝=也，

BCBA

.12-f2t

••----=—，

1612

解得：£

嫁二所述，经过三■或天秒后，以点B,尸，。为顶点的三角形与△CB4相似.

J11

【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决

问题的关键，特别是最后一问，美键是利用分类思想讨论.

22.如图，矩形A8C3边在直角坐标系中点A的坐标为（4,0）,点。的坐标为（0,2）,反比例函

数》=勺2关0）的图象经过点C,连接OC.

⑴求反比例函数的表达式；

⑵求四边形044。的面积.

4

【答案】（1）丁=一

X

⑵13

【分析】（1）通过辅助线，构造相似三角形，求得C点的坐标，然后利用待定系数法即可求得;

（2）根据四边形。48C的面积是AABC和IMC的面积的和，求得AABC和“AAC的面积即可.

【详解】（1）解：•・•点A（4,0）,0（0,2）,

:.OA=4,OD=2,

过点。作y轴的垂线，垂足为连接AC.如图:

.\ZA£)C=90%

・'・ZADO+NCOM=9()。，

•・•ZA£X7+ZZMO=90°,

:.tCDM=4DAO,

'：4DMC=ZAOD=90°,

.'.△AODs&DMC,

.CMDMCD

''~OD~~OA~~AD'

\'AD=2AB，CD=AB,

.CMDM

••—=—,

242

:.CM=\,DM=2,

：,OM=DM+OD=2+2=4,

・••反比例函数)，=A(2/。)的图象经过点C,

-X,

AA=lx4=4,

4

・••反比例函数的表达式为y=?：

X

(2)解：•・・OA=4,OD=2,

•*-A£>=A/42+22=2X/5，

・•・AB=-AD=y[5,

2

:・s4ABe=；x2&亚=5,Sja=；x4x4=8,

••・四边形OABC的面积S=5+8=13.

【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质以及不规则四边形的面积

等知识，求得C点的坐标是解题的关键.

23.【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：

如图①，在正方形A8CO中，CE1DF.求证：CE=DF.

请你完成这•问题的证明过程.

【问题应用】如图，在正方形A8CD中，48=4,E、r分别是边48、8c上的点，且AE=8F.

(1)如图②，连接。£、。尸交于点G,〃