培优点10 整数解问题（5大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

培优点10整数解问题

录

01重点解读........................................................................2

02思维升华........................................................................3

03典型例题........................................................................4

题型一：直接法....................................................................4

题型二：分离参数法................................................................6

题型三：分离函数法...............................................................10

题型四：隐零点法.................................................................14

题型五：必要性探路法.............................................................17

04课时精练.......................................................................20

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利用导数解决整数问题是高考数学中的一类特色题型，常出现在导数综合应用题中。这类问题通常结

合函数单调性、极值以及整数取值范围进行考察。

解题时，首先通过求导分析函数的单调性和极值点，确定函数在不同区间的变化趋势。接着，根据题

目条件，结合函数图像或性质，找出满足整数条件的自变量取值范围。这往往需要利用导数判断函数在关

键点（如整数点）的取值情况，或通过放缩法、不等式估计等方法确定整数解的边界。

高考中，这类问题注重考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力。备考时，应加强对导数性质的理解,

熟练掌握利用导数分析函数单调性和极值的方法，同时注重整数问题的解题技巧训练，如合理放缩、利用

函数单调性缩小范围等。

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02思维升华

利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：

(1)求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和

极值点。

(2)确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点(如极值点、边界点)的函数值，明确函数在这

些点的取值范围。

(3)结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量

的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足

条件的整数解。

(4)验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进

一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。

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03典型例题1

题型一：直接法

【例1】（2025•湖北•模拟预测）已知函数/（力=祀2*+工+15＜0）.

⑴当。=-1时，求函数J，=/（x）在点（0,/（。））处的切线方程；

⑵求函数/（x）的单调区间；

（3）若不等式/'（6+（。+2）/«0恒成立，求整数。的最大值.

【解析】（1）函数/（x）的定义域为R,/'（0）=l—2c2，L=-1,

则曲线在点（0.〃0））处的切线为V-0=-lx（x-0）.

即片t.

（2）因为/"）=1+2破2"

:"。时，由”小。,得f\加（-五1\，令小）＜。，得"”1＜一五1

22a

1，1M

所以/(x)在-8;ln--上单调递增，在上单调递减.

k2))UI1X1））

综上所述，/（》）的单调递增区间为卜单调递减区间为（gln（一

(3)依题知,/(x)+(a+2)e"0恒成立，即i+x+l+(a+2)e”0恒成立,

9(x)=x+ae2*+(〃+2)e，+l,xeR,

则“(X)=1+2ae2x+(a+2)ev=(aer+l)(2e¥+1),

当a<0时，由力'(x)>0,得由〃'(x)<0,得

所以力(%)在卜31n,上单调递增，在上单调递减,

则A(x)4〃1n-In-■-+a.(-)+(4+2)---+1W0恒成立,

整理得5so.

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设川(x)=ln，U]-Lx<0,则〃(幻=-1+4=1>0恒成立，所以“(X)在(-8,0)上单调递增，又

\XJXXXX

aeZ,且小(-1)=0+1=1>0,加(-2)=ln^^<ln-J=H-+0

故整数〃的最大值为-2.

【变式7】已知函数/(x)=lnx+(q-2)k2a+4m>0),若有且只有两个整数士使得/($)>0,且

/(x2)>0,则实数。的取值范围为()

A.[In3,2)B.(0,2-In3]C.(0,2-In3)D.[2-In3,2)

【答案】B

【解析】由函数/(x)=lnx+(叱2)x-2q+4(a>0),可得八幻=：+。一2,其中x>0,

若“22时，r(x)>0,则/(X)在(0,e)上单调递增，fi/(2)=ln2>0,

所以〃x)>0有无数个整数解，不符合题意，

若OV2时，当xe(O,-一时，f\x)>0；当——1T,+oo)时，

"2a-2

所以函数/(“在(0,—一二)上单调递增，在(-一上单调递减，

因为/⑴=2_Q〉0J⑵=ln2>0,所以/(3)=ln3+a_240,

所以aW2-M3,综上可得，实数。的取值范围为(0,2-M3].

故选：B.

【变式1・2】已知函数/(x)=ae'-2x.

⑴试讨论函数〃x)的单调性；

⑵当x>0时，不等式/(x)<(e-2)x+2e\a-l恒成立，求整数。的最大值.

【解析】(1)由/(x)=e—2x,求导得，/”(x)=北—2,

当a«0时，r(x)<0,则/(工)在(一8,+8)上单调递减，

当G>0时，令/"(x)=0,则x=lnj

a

当IC(一8,In1),r(x)<0,则/在18,In：)上单调递减，

当«吟+8),r(x)>0,则/⑺在(吟+8)上单调递增，

故GWO时，“X)在(-8,+8)上单调递减，

。>0时，/(X)在(-8,1,上单;周递减，在l/,+a?]上单调递增.

\a)k«J

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(2)由x>0,不等式/(%)<(e-2)K+2e*+a-l恒成立,

转化为-ex+l-Q<0,

构造函数g(x)=("2)e'-6+1-。，

求导g'(x)=(a-2)e-e

若。42时,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)单调递减，

由于8(力<8(0)=-1<。对于x>0成立，

当a=3时，则g(x)=e'-s—2,

故g'(x)=e「e,令g”)=0,解得x=l,

当xc(O,l)时，gz(x)<0,g(x)单调递减，

当工«1,+8)时,g'(X)>0,g(X)单调递增,

故g(x)mm=g(l)=e—e—2=—2<0,但是8(10)飞1°一10。一2>0,不满足题意.

故整数。的最大值为2.

题型二：分离参数法

【例2】已知函数/(力=也『与函数g(x)=mx的图象相交于不同的两点彳(再,乂),8(占了2)，若存在唯一

的整数工«司,当)，则实数小的最小值是()

【答案】B

_.\nx+\―汨liir+1

［解析］由-----=〃次，可得〃?=——,

xx

.几“、liu-+1...-rm-/\x-2x(lav+l)1-2(lav+1)-(2\nx+1)

设A(A)=——(x>0),可得=-----------———t——L=——L,

XXXX

令〃(x)=0,EP21nx+l=0,解得丫_\,

当时，”(x)>5〃(x)单调递增；当时，〃(切<0,“X)单调递减,

故当x=e1时，函数取得极大值，目./?(£；［=］

又由x=,时，〃(x)=0；

e

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当iT+<»时，Inx+l>。,/>0,故〃（x）-0：

作出函数大致图像，如图所示：

由咐）=1,〃（2）=吟3暇

因为存在唯一的整数/£（4工），使得歹=〃?与""）=写整的图象有两个交点,

由图可知：A（2）</«<//（1）,即竽

【变式2・1】（2025•安徽淮北•二模）若关于x的方程2d—3/一121+々=0有3个不同实根，则满足条件的

整数％的个数是（）

A.24B.26C.29D.31

【答案】B

【解析】由2/-342・12%+〃=0，得2/_3/_]2%=-〃，

贝IJ关于x的方程2d—3.——12%+左=0有3个不同实根，

即为函数y=2f-3/-12工J=-上的图象有3个不同的交点，

令f（x）=2f—3$—12n贝l」/”（x）=6--6x-12=6（x-2）（x+l）,

当1>2或X<-1时，.f(x)>0,当一l<x<2时，/'(x)<0,

所以函数/（X）在（2,位）,（-8,-1）上单调递增，在（-1,2）上单调递减，

所以/（x）极大值=/（-9=7,/"鼠、值=/（2）=-20，

当[趋向负无穷时，/'（X）趋向负无穷，当》趋向正无穷时，/（1）趋向正无穷,

作出函数/（力=2丁一3/一12x的大致图象，如图所示，

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由图可得一20＜-kv7,所以一7vkv20,

所以满足条件的整数〃的个数是19-（-6）+1=26个.

故选:B.

【变式2・2】已知/'（X）是函数/（.二）的导函数，且对任意的实数工都有/'（x）=J-/（x）（。是自然对数的底

数），/（0）=0,若不等式/（X）-七之0的解集中恰有三个整数，则实数〃的取值范围是（）

【答案】C

【解析】因为/'（x）=C—/（刈，

e

所以［/（X）I/'（“）］＜/=1,即卜了⑺］.，

设g（x）=c'/（x）=x+e，

令x=0,可得c=0,

所以^/⑺=匕/⑴二^,则/，"）==，

ee

令r（x）＞0可得/（X）在（-8,1）上递增，令/'（》）＜0可得/（外在（1,+8）上递减,

所以〃丫）在1处取得极大值/⑴=:，作函数/（X）带的图象如图所示：

4

234

乂因为〃0)=0J(2)=r,/(3)==,/(4)=-

eee

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而不等式/(X)-&NO的解集中恰芍三个整数，等价于不等式/(x)NA的解集中恰有三个整数,

由图象知：当之•时，不等式不等式/(x)之上的解集中恰有三个整数L2,3,

ce

(43'

所以实数攵的取值范围是-，4，

(ee-J

故选:C.

【变式2-3］已知函数/(刈=里-。/,若存在唯一的整数%,使得/(/)之-；,则。的取值范围是()

XZ

fln31In2「

A.B.

18118168」：4

Qn21T(n3ir

C.____1____D.J_____

<1682JJT182J

【答案】C

【解析】由〃X)N—得44无箸1,

令函数g(x)=21n：：一,

令函数MM=l-41nx-x2,显然力(》)在(0.+的上单调递减.

因为Mi)=o,

所以当xe(0,l)时,h(x)>0,g*(x)>0,g(x)单调递增;

当工G(l,+oo)时，A(x)<0,gf(x)<0,g(x)单调递减.

e八\1八、In21

又g⑴=弓，^(2)=—+-，

2168

当工趋近于0时，g(x)趋近于负无穷，当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,

所以当存在唯一的整数工,使得时，〃的取值范围是(竽+K

2I16X2

故选:C

【变式2-4】当x>l时，匕>lnx-4.丫恒成立，则整数〃的最小值为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】由题意得，上>，+4在(l,+oo)上恒成立，

9/39

设g(x)=—+4,xe(l,+co),所以Qg(x)1Mx，

X

因为g'(x)=I：,当xe(l,e)时,g/(x)>0,当xw(e,+8)时,g>(x)<0,

所以g(x)在(l,e)上单调递增,在(e,*o)单调递减,g(x)=gle)=-+4e(4,5),

maxe

所以整数〃25,则整数攵的最小值为5.

故选：B.

题型三：分离函数法

【例3】定义在R上的函数/(x)满足/(0)=0,(广(x)为/(x)的导函数),若存在唯

一的整数与，使得则实数"的取值范围是()

f,2e2-H-

A.(1,2]B.C.D.

目、，3

【答案】B

【解析】因为f(x)=e7-r(x),所以e'/(x)+e、r(x)=l,

HPeV(x)=x+C(。为常数)，

又/(0)=0,所以c=o,即/“)=j

e

/'(x)==，当X£(—8,l)时，f(x)>0,/(x)单调递增,

C

当工«1,+8)时，/(力〈0,/(X)单调递减,

所以/a)g=/a)d，

又/(0)=0,当x<0时，/(x)<0,当x>0时，/(x)>0,

且当XTYO时，/(X)->79,当时，/(X)->O,

所以作出/(》)的大致图象如图所示.

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令g(x)=ax-"+l，易知g(x)的图象恒过点(U)，

在同一平面直角坐标系中作出g(D的图象，易知g⑴〉/⑴，数形结合可知,

g(0)</(0)

若存在唯一的整数/,使得4+1,贝人

g(-1)>/(-1)

\-a<0e+1

即《

\-2a>-c2

故选：B.

【变式3-1］若当xc(0,1)时，关于x的不等式e，一xcosx+cosxlncosx+ox?21恒成立，则满足条件的。

的最小整数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】当xJ。,1］时，cosxe(0,l),—>0.

k27COSX

所以e'-xcosx+cosxlncosx+Q储>1在x上恒成立，

等价于二一一x+lncosx+—>—ffixe0,g上恒成立，

COSXCOSXCOSXk2)

等价于1-lnf-2」一互-即Inf——在上恒成立，

COSXCOSXCOSXCOSXCOSXCOSXCOSXCOSXk2J

4-/(x)=lnx-x4-l,x>0,则f'(x)=--\=——♦

所以当xw(O,l)时/'(x)>0,当xw(l,+8)时/'(x)<0,

所以函数/(x)在(o/)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以/(x)</(l)=0,所以Inx-xW-l,

因为工->0,所以Inf———<-1,所以正———^-1BPl-aA-2<cosx，

COSXCOSXCOSXCOSXCOSX

令g(x)=COSX—1+5，。<XV5，贝ijg'(x)=—sinx+x=〃(x),

则〃(x)=-cosx+l>0在xe0弓J上恒成立，

所以函数Mx)即g'(x)在上单调递增，所以g'(x)>g'(0)=0,

函数g(x)在卜尚)上单调递增，所以g")2g(0)=0,所以cos*l-H,

\/2

11/39

所以原不等式等价于1-占21-加即2()在X£[0,,上恒成立,

2

所以。-320,所以满足条件的。的最小整数为1.

故选：A

【变式3・2]已知函数/'(x)=t，若不等式/3-“》+1)>0的解集中有且仅有一个整数，则实数。的取

e

值范围是()

「11]「11、2121

A.—B.—c.D.

_e_ej|_e-e,_3e'2e)

【答案】D

【解析】ra)=二，

当xvl时,/'(x)>0,当x>l时，/"(x)<0.

所以/(丫)在(-8/)上单调递增，在(L+8)上单调递减,

所以/3a=/()=：，

乂当Xf-00时，当XfE时，〃X)>0且/(“TO,

作出y=/")的函数图象如图所示：

由/(“一。(x+l)>0仅有•个整数解,

得只有一个整数解，

设g(x)=a(x+l),由图象可知:

当。K0时,/(x)>g(x)在(0,+8)上恒成立,不符合题意,

当Q〉0时，若/(X)>g(X)只有1个整数解,则此整数解必为1,

2a

~>?,

/⑴〉g(DLJ

所以/(2)«g(2)'即；,解得力Ka〈丁.

2八3e2e

产

故选：D.

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【变式3・3】(2025•福建泉州•模拟预测)已知函数/(x)=?若不等式/")-如+2)>0的解集中有且

仅有一个整数，则实数。的取值范围是()

■111「11、r21r21)

A.—B.—C.D,[g•

_2e_3eJ[_2e，3eJ|_3e-2e

【答案】B

【解析】易知函数〃x)的定义域为R,且/'(可=与二

e

当"1时，/"(X)>0；当x>i时,r(x)<o,

所以〃式)在(-81)上单调递增，在(I,+动上单调递减：

即〃>)2=/(1)=9

又当X趋近于-8时，/(X)趋近于-8,当X趋近于+8时，/(力>。且趋近于0;

作出函数/(')的图象如下图所示：

易知y=a(x+2)恒过定点(-2,0),

由不等式/("-。(工+2)>0的解集中有且仅有一个整数可知/(i)>“x+2)只有一个整数解:

令g(x)=a(x+2),利用一次函数图象性质可知，

当心0时，/(x)>g(x)在(0,+“)上恒成立，不合题意；

当”>0时，若/(">g(x)只有1个整数解，因此整数必为1；

“⑴,g⑴二3"

所以可得即:“J解得才有

.e2

即实数”的取值范围是[二,

|_2e-3e；

故选：B

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题型四：隐零点法

【例4】已知函数/("=。工2+(q-2)x-lnx(«eR).

⑴当“=1时，，求曲线)，=/(力在x=l处的切线方程；

(2)讨论的单调性：

(3)当〃为整数时，若/(x)+2x>0恒成立，求。的最小值.

【解析】⑴当a=l时，/(x)=x2-x-lnx,⑴=0,

•・・/(丫)=21」，.•./()=(),

X

•••曲线y=/(x)在X=1处的切线方程为：y=0.

(2)/(x)的定义域为(0,+司，

、1lax1+(«-2)x-1(ax-1)(2x+1)

f'(x)=2ax+a-2-=------——2——-----△-----L,

XXX

①当a«0时，/'(“<0恒成立，/(x)在(0,十句上单调递减；

②当a>0时，令/'(Y)<0,得0<x<),令/'(x)>0,得

.•./(X)在上单调递减，在5,收)上单调递增.

Inx

(3)vx>0,/./(x)+2x=ar2+ax-Inx>0,即a(.，+x)>Inx<=>«>

X2+X.

x+l-(2x+l)lnx

设g(上果’则g’(小

(-2

设力(3)=*+1—(2工+1)||1k，则/i：x)=l-2Inx+(2x+l)x—=-2lnx-1—.

设P(x)=-21nx-l-g,贝ij//(x)=*+g=2j+l，

令P(x)>。，得Ovx<g；p(A)<0,得

:.XG°，g)时，P(x)为增函数，工c(g，+8)时，P(X)为减函数，

p(x)<pfiJ=21n2-3<0,即力'(x)<0,.•.力(x)在(0,+叫上为减函数.

vAi1)=2>0,A(2)=3-51n2=3-ln32=lne3-ln32<ln27-ln32<0,

.-.3x0e(l,2),使力(%)=x0+1-(2/+l)lnxo=O,

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.•.xe(0,Xo)时，/?(A)>0,从而g'(x)>0,g(x)为增函数;

xw(%,4<0)时，h(x)<0f从而g'(x)<o,g(x)为减函数;

・•.g(x)的最大值为g(xLx=g(拓)=-TT7

X0十%)

由M%)=,%+l-(2x0+l)lnx0=0得In.%=

4%+1

1

+x°x。+x°x0(2r0+1)

•.•xce(l,2),.-.x0(2x0+l)e(3,10),

111

・•・g(x0)=€,，

xo(2xo+l)lTo3j

二整数。的最小值为1.

【变式4-1】设函数/(x)=〃aTnx-2.

⑴求/(x)的单调区间:

(2)若〃=71,/为整数，且当x>l时，不等式f(x)wH+xT恒成立，求/的最大值.

X

【解析】(1)函数/(幻=〃a-卜.丫-2的定义域为(0,+00),求导得/'(X)=〃LJ

当阳40时，八x)<0,函数〃无)在(0,+OQ)上单调递减;

当m>0时，由/'(x)<0,得0<x<,；由/'(x)>0,得

m

函数"X)在(。中上单调递减,在弓,内)上单调递增,

所以当〃叱0时,函数/(X)的单证递减区间是(0,+8);

单调递增区间是/,+<»).

当心0时，函数/(大)的单调递减区间是(。康,

m

(2)当机=1时，/(x)=x-lnx-2,

t-\xlnx+1、

当J;>1时，不等式/(A)<-----f-x-rox-lnx-2<tot<-------十2,

xx-1

令ga)=的P+2,x>i,求导得g'(x)=(Inx+l)(x-1)-(xInx+1)x-\nx-2

x-\U-l)2Cv-i)2,

令Mx)=x-lnx-2,x>l,求导得力'(x)=l」>0,函数Mx)在(1,+8)上单调递增,

A(3)=l-ln3<0,A(4)=2-2In2>0,则存在x0e(3,4),使得h(x0)=0<=>lnx0=x0-2,

当l<x<Xo时，力(x)<0,即g'(x)〈o：当x>Xo时，g^x)>0,

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函数g(x)在(1，%)上单调递减，在(加,+8)上单调递增，

=g(x。)=2='。("。一?+1+2=x。+1c(4,5),

%-1x0-l

依题意，fWg(Xo),而/是整数，为此，K4,/CZ,

所以,的最大值为4.

【变式4-2］已知函数/&)=(v-2)er-x+ln.r.

⑴判断函数y=/(x)在区间(l,x)上的单调性，并说明理由；

⑵若函数/(X)在上的最大值在区间(见〃?+1)内，求整数川的值.

【解析】(1)XG(1,+O)),f(x)=e+(x-2)e-\+-=(x-\)［e

当jr〉l时，Af-1>0,cx>c>—<1,ev>—,

XX

.•.r(x)>()./(x)在(l,y)单调递增.

(2)r(x)=(x_l)e；1+g=(x—l)卜T，

令Mx)=e'-j则〃(x)=eX+《〉0,所以力(x)在上单调递增，

因为［「3)=段_2<0,A(l)=e-l>0,

r

所以存在X。e|i1,使得h(x(t)=0.即e"=—,即lnx0=-xit,

故当xw卜h〃(x)vO,当x«Xo』］时，〃(x)>0,

乂当xe々I时，x-l<0(等号仅在x=l时成立)，

4

所以当xw；,而卜h/'(切>0,

当％时，r(x)<0(等号仅在K-1时成立)，

所以/(工)在上单调递增，在(X。/上单调递减，

12

则f(x)a=g(Xo)=(/-2)e"7o+ln/=(/-2)----x0-x0=l-----2x0,

玉)X。

令G(x)=「■|_2x,Xeg，l),则G，(x)=a一2=2"、'lo,工｛(；』,

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所以G（x）在（对上单调递增，则G（x）＞G（g）=-4,G（x）＜G⑴=一3,

所以-4＜/（力四＜-3,所以旭=4

【变式4・3】（2025•安徽安庆•二模）对任意xw-,e2,使得不等式（Inx-A）x＞3lnx成立的最大整数攵为

e

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

/\,F(x-3)lnx[「1「

【解析】由题意知(lnx-%)x>31nx,有---------,xw-©,

-•JminL」

/、(x-3)lnxri»/\3Inx+x-3

令Ag")=1-------------则g(x)二———，

XX

3

令O(x)=31nx+x—3,则，(x)=-+l>0,

.X

所以,函数*(x)=31nx+x-3在(0,+8)上单调递增,

因为0(2)=31n2—1>0,

所以存在”停2,使得夕(Xo)=31n/+Xo-3=0,

1/7

因此，函数g（x）=（x3）ln%在1,与］单调递减，在卜°,，］单调递增,

x!_e，

㈣…安’吗卜甘

构造函数1卜）=2—；卜+g当VI，2）时,/，（上一L卜一兼＞0,

所以，函数心）在住,2）上单调递增，因为//。,21，则/（%）/-!；

）［26

所以最大整数k为-1，

故选：B.

题型五：必要性探路法

【例5】已知函数/（x）=ex-ln（x-阳）（其中e为自然对数的底数）.若对定义域内的一切实数x,

5

都有/（x）＞4,求整数"?的最小值.（参考数据：/。3.49）

17/39

【解析】由题意得/(X)的定义域为(〃7,+8)，因为对定义域内的一切实数X，都有/(x)>4,

所以/(〃?+l)=e'e>4,即m>ln4-l>0.因为“为整数，所以〃?开.

当机=1时，由题意可得/a)=e'-一L二(I)。—,显然/'(x)在(1,+00)上单调递增.

JV-1x-\

设g(x)=(x-l)ev-1,则g(x)在(1,+00)上单调递增.

因为g(二；c4-l<()O=；c2_1>0,

所以存在唯一Xo使得/1%)=0,即可得111(工0-1)=一%.

-1

(53、

于是/(X)min=/(%)=已"…(%-1)=1。+/，757，

14

(53、-5

设”(x)=e、+x,显然在上单调递增，则H(x)>e4+己>4成立.

、42J4

故加=1符合题意，即整数加的最小值为1.

【变式5・1】已知函数/(x)=e2'-(2a+l)e'+/+2a,g(x)=lnx+〃?，对V。e凡Dxe(0,+x1),不等式

/(x)Ng(x)恒成立，求整数〃?的最大值.

【解析】/(.r)=e2v-(2a+\)zx+a2+2a=e2x-(2tz+2)er+tr2+2t?+l+ex-1=[ev-(t?+l)]*+er-1

可得/(x)Nc'-l恒成立；

整数加满足c、-■Inx+加恒成立则•定满足/(X)>g(x)恒成立：

注意到x=l时，g(l)=w,取特殊值x=l,得到/«4e-l,

可验证当x=l时，若〃?取大于1的整数，都有a=e-l使得f(l)=e-l<〃?=g(l).

下面验证机=1满足fM>g(x)恒成立：

令〃(彳)=1-lnx_2,/(x)=e'-L

X

噌卜二<0,/r(l)=e-l>0,

所以存在与egI)使得〃(/)=0.

且当工£(0,小)，人也)<0,/仆)单调递减：

xe(Xo，+8),h\x)>0,4㈤单调递增;

/满足

18/39

x

A(x)>/7Cv0)=e0-lnx0-2=-+x0-2,当且仅当/='=1取等，-<x0<i,可得〃(%)>0恒成立,

工”0e

即e'-1>Inx+1恒成立,即x)>g(x)恒成立.

综上，可知满足题意的最大整数〃?为1.

【变式5-2】e'-axNx21nx对一切的x〉0恒成立，试求出整数。的最大值.

【解析】易知e*-oxNx21nx对一切的x>o恒成立,

当工=1时，可得a《e,故a仅可取1,2.

下面证明：当。=2时，e'-4x2x21nx恒成立.设g(x)=二-2-lnx,

x-x

贝展人^一—L

从而g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，

所以g(x)Ng(2)=z(e2—4-41n2)〉0.

当a=2时，不等式恒成立，故。的最大值为2.

19/39

1.若不等式2xe，-4x-1)<0(其中〃<1)的解集中恰有一个整数，则实数。的取值范围是1)

343

A.Wa<B.-―^<<1

141

C.—<a<\D.—-<a<—

c3e-e

【答案】D

【解析】令/(x)=2xeX,/'(x)=2(x+l)e1

当工<—1时，/'(x)<0,当x>T/'(x)>0,

故/(x)在(e,-l)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

7

所以八丫濡=/(7)=-?且/(。)=0，

而当x无限趋向于负无穷大时，/(》)无限趋向于0，

当)无限趋向于正无穷大时，/(x)无限趋向于正无穷大,

令g(x)=a(x-l),该函数图象为恒过(1,0)的动直线,

因为不等式/(X)<〃(X-1)的解集中恰有一个整数，

故选：D

2.已知/'(')是函数/G)的导函数，且对任意实数x都有/,/(0)=-1,若不等式

f(x)-a(x-\)<0(其中〃<1)的解集中恰有三个整数，则。的取值范围是()

757575、

A.B.豆,涯C..47,37；

【答案】C

【解析】令6")=坐，则G(x)=''(")二〃力=2,可设G*)=2x+c,

eleA

20/39

vG(O)=/(O)=-l..-.c=-l,.•/(x)=(2x-l)e\

:.f(x)=[2x+\)ex.

令/'(x)=(2x+l)e，>0解得，x>-1,令/'(x)=(2x+l)e'<0解得，x<-1,

可得：x=-;时，函数/(x)取得极小值，

/(0)=-l,/(-1)=-3e-',/(-2)=-5e~2,/(-3)=-7e-3,所以尸(一2,-56々),B(-3,-7e-?)

易知，直线歹=。(4-1)恒过定点”(1,0),

要满足不等式/(x)<a(x-1)(其中。<1)的解集中恰有三个整数，

如图，当x<0时，，直线y=a(x-l)与“X)图象的交点G,必须介于点B与点F之间.

因此直线y=a(x-\)的斜率a,必须满足々〃&<a<k,u..,

乂k-°-(-7e'3)-7k，…)=5所以

乂勒厂1-(-3)一府'21-2)W.以41_3e2'

故选：C.

3.(2025・湖南长沙•模拟预测)若当xe时，关于x的不等式c'-xcosx+coScrIncosx+aY21恒成立,

\乙)

则满足条件的。的最小整数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】设/(x)=e、-Acos.v+co&vlncosx+ax2,xe(0/,

贝ijf(x)=e'-cos^r+xsinx-sinxIncosx-sinx+2av,

设g(x)=e、-CO&Y+xsinx-sinJIncosx-sinx+lax,

.2

则g'(x)=e、+2sinx+xcosx-cosxlncosxd----------cosx+2c,

cosx

当zw0,—1时,Incosx<0,故2sinx+xcos."cosxlncosx>0,

\乙)

而e'-cosx>1-cosx>0，

21/39

故当时，g'(x)>0,故/'(用在为增函数，

故r(x)>r(o)=o,故/(不)在(。彳)为增函数，

所以/(X)>/(0)=1即e*-xcosx+cosxlnco&x+ax221恒成立.

当a<0时，g'(0)=2。<0,

故存在x°e(og｝使得任怠xe(0,x。)，总有g'(x)<0,

故g(x)在(0,%)为减函数，故任意xe(O,x。)，总有g(x)<g(0)=0,

所以任意“«0用)，总有广(力<0,

故“X)在(0,.%)为减函数，故/(力</(0)=1,这与题设矛盾，

故最小整数为0.

故选:A.

4.若关于x的不等式M/+2x)Rnx+l的解集中恰有2个整数，则上的取值范围是()

In2+1

A.—<上<1B.<k<-

3~S~3

cln3+l,ln2+lIn4+1In3+1

C.-----<k<----D.<k<

1582415

【答案】C

【解析】因为x>0,且Mx2+2x)=h(x+2)Wlnx+l,可得乂1+2)工生产,

构建/(切=型里，则/-牛，

X

令r(x)>0,解得0cx<1；令，(x)<0,解得X>1；

则f(x)在(0/)上单调递增，在(L+8)上单调递减，可得/(x)W/⑴=1,

且〃2)=匕譬J(3)=中，

1IIn2

4人《-----

,-2lr.3+1.In2+1

由题意可得，I1，，解A73得Zn一7「